![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 1. Элементы теории погрешностейСтр 1 из 8Следующая ⇒
Методы вычислений Учебно-методическое пособие
Кемерово 2004 Составители: ст. преподаватель О. Н. Гавришина, ст. преподаватель М. Р. Екимова, ст. преподаватель Л. Н. Фомина.
Методы вычислений: учеб.-метод. пособие ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; сост. О. Н. Гавришина, М. Р. Екимова, Л. Н. Фомина. Кемерово, 2004 – 63 с.
Предисловие
Пособие предназначено для студентов третьих и четвертых курсов математического факультета Кемеровского госуниверситета. В данном учебно-методическом пособии содержится материал, предусмотренный программой курса «Методы вычислений» и «Численные методы» для студентов математического факультета специальностей 0101 и 0102. В пособии в краткой форме изложены основы численных методов, представлены теоретические аспекты девяти тем курса «Методы вычислений»: элементы теории погрешности; интерполирование; численное интегрирование; решение нелинейных уравнений; спектральная задача; системы линейных алгебраических уравнений; системы нелинейных алгебраических уравнений; обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Каждый теоретический блок заканчивается вариантами заданий по численному решению соответствующих задач, главной целью которых является выполнение методических численных исследований, проводимых студентом с помощью самостоятельно составленной и отлаженной программы. Предложенный список литературы рекомендован для более глубокого изучения численных методов. При написании пособия мы опирались на опыт проведения практических занятий по курсам «Методы вычислений» (специальности 0101) и «Численные методы» (специальности 0102) студентов третьих, четвертых курсов математического факультета. Задачи пособия в различных вариантах прошли многократную проверку на практических занятиях в компьютерных классах.
Тема 1. Элементы теории погрешностей Определения Приближенным числом называется число a*, отличающееся от точного числа A и заменяющее последнее в вычислениях. Например, для Под ошибкой или погрешностью числа понимают разность между соответствующим точным числом A и данным приближением: D = A – a*. Таким образом, A = a* + D или точное число можно рассматривать как приближенное с ошибкой, равной нулю. Абсолютная и относительная погрешности Абсолютной погрешностью приближенного числа a* называют величину D(a*), для которой справедливо неравенство: ½ A – a* ½ ≤ D(a*). Таким образом, информация о том, что a* является приближенным значением числа А с абсолютной погрешностью D(a*), записывается в виде: a* - D(a*) ≤ A ≤ a* + D(a*). Часто показателем точности результата измерений является другая величина, которая называется относительной погрешностью: В терминах относительной погрешности А имеем соотношение a* (1- d ) ≤ A ≤ a* (1+ d ). Погрешности арифметических действий Кроме погрешности исходных данных на погрешность результата влияют также и погрешности выполнения арифметических действий. Обозначим x1*, x2*, …, xn*- приближенные числа. Для них справедливы следующие формулы: 1. Для суммы или разности: D(g1 x1* +…+ gn xn*) = d (g1 x1* +…+ gn xn*) ≈ max (d (x1*), …, d (xn*)). 2. Для произведения: D( x1* x2*… xn*)≈ | x1* x2* … xn| d ( x1* x2*… xn*)≈ 3. Для частного: D( d ( 4. Для степени: D((x*)m) ≈ m d ((x*)m) ≈ m d (x*). Задания 1. Определить: a) предельную абсолютную погрешность по известным точным x и приближенным x* числам; б) предельную относительную погрешность по известным точным x, приближенным x* числам или абсолютной погрешности D(x*). 2. Определить верные и значащие цифры числа по известному приближенному числу x* и его абсолютной погрешности D(x*). 3. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности в приведенных двух функциях по заданным приближенным числам и их абсолютным погрешностям. Варианты № 1 1. a) x= б) x*= 21°37'; D(x*)=2" . 2. x*=0, 23845; D(x*)=0, 0001. 3. a) X= б) y= № 2 1. а) x=7/15, x*=0, 467; б) x*=22, 553, D(x*)= 0, 016. 2. x*=12, 3680, D(x*)=0, 00007. 3.а) c* = 145, 226, D(c*)=0, 08; d*=28, 6, D(d*)= 0, 1; m*=0, 25, D(m*)=0, 06; б) y=x1 sin(x1) tg(x2), № 3 1. a) x= б) x*=6, 4257, D(x*)=0, 0024. 2. x*=100, 588000, D(x*)=0, 000008. 3. a)V= б) y= x1 sin(x1x2)+x2 cos(x2x3),
№ 4 1. а) x= б) x*=12, 36858, x= 12, 36867. 2. x*=365, 002300, D(x*)=0, 01. 3. a) б) y= № 5 1. а) x= б) x*=0, 36500, D(x*)=0, 00005. 2. x*=100, 87502, D(x*)=0, 00001. 3. a) X= б) y=1, 2 x12 cos (x2)+ 8, 68 x23 +sin2(x1 x3), № 6 1. а) x= б) x*=17, 8974, D(x*)= 0, 001. 2. x*= 2, 718218, D(x*)=0, 00001. 3. a) S= D(b*)= 0, 005; h*=22, 08, D(h*)= 0, 03; б) y= № 7 1. а) x=6/7, x*=0, 85716; б) x*= 189, 0026, D(x*)= 0, 0007. 2. x*= 0, 0036001, D(x*)= 0, 000001. 3. a) б) y= sin (x1 x2 sin (x2)), № 8 1. а) x= 2/21, x*= 0, 095; б) x*= 2, 13654321, x= 2, 13654231. 2. x*= 10, 009000, D(x*)= 0, 000001. 3. a) V = б) y=a1 sin2 (a2 ) cos (a1+a3), № 9 1. а) x= б) x*= 1928, 192635, D(x*)= 0, 00001. 2. x*= 389, 2300100, D(x*)= 0, 0001. 3. a) Y = б) y=sin № 10 1. а) x=12/11, x*= 1, 091; б) x*= 0, 000000935, D(x*)= 10 -10. 2. x*= 0, 00230003500, D(x*)= 10 -13. 3. a) V = б) y= № 11 1. а) x= б) x*= 2, 3745 10 -4, D(x*)= 10 -7. 2. x*= 1000, 00300800, D(x*)= 10 -5. 3. a) S = D(D*)= 0, 08, d*=26, 35, D(d*)=0, 02; б) y= sin ( x1+x3)+sin2 x2+x1 x2 sin3 x3; № 12 1. а) x=π /15, x*= 0, 20943; б) x*= 13, 163845, D(x*)= 2, 5 10 -4. 2. x*= 0, 0123691500, D(x*)=10 -9. 3. a) б) y= cos (x1+0, 5 x2) - x1 x2 № 13 1. а) x= б) x*= 225, 86345, D(x*)= 3, 6 .10 -4. 2. x*= 13, 05060700, D(x*)= 3, 8 .10 -6. 3. a) n*=3, 78, D(n*)=0, 01, c*=0, 156, D(c*)= 0, 08; б) № 14 1. а) x=65/23, x*= 2, 8260; б) x*= 102645, 02, x= 102645. 2. x*= 0, 003600, D(x*)=0, 000001. 3. a) X = D(b*)=0, 0004, c*=962, 6, D(c*)=0, 1; б) y= № 15 1. а) x= 17/13, x*= 1, 30769; б) x*= 1, 564379, D(x*)= 3, 8 10 -6. 2. x*= 20, 6973000, D(x*)= 3, 8 10 -6. 3. a) Y = б) y=cos (x1 cos (x2 cos x3)), Тема 2. Интерполирование Сплайн- интерполяция Сплайном соответствующей функции f(x), построенным по данным узлам сетки {x i}, i=0,..., n, называется функция Sm(x), удовлетворяющая следующим условиям: a) условие кусочно-полиномиальной функции: на каждом отрезке [xi-1, xi] (i=1, …, n) функция б) условие непрерывности: сплайн-функция и ее (m-1) производная непрерывны в заданной области; в) условие интерполирования: в узлах сетки значение сплайна и значение функции совпадают: Линейный сплайн
Si(x)=ai+(xi-x)bi. Поскольку Si(xi)=f(xi);
то, обозначив yi=f(xi) и hi=xi-xi-1, получим формулы для вычисления коэффициентов: ai=yi, bi= Параболический сплайн Параболические сплайны представляются в виде полинома второй степени: Si(x)=ai+(x-xi)bi+(x-xi)2ci с граничными условиями: b1=A1 либо bn=An, где A1 - значение первой производной в точке x=x1; An - значение первой производной в точке x=xn. Si(x) Si+1(x)
xi xi+1 xi+2 Для определения коэффициентов сплайна ai, bi, ci используются условия: Si(xi)=f(xi) i=1, …, n; Si(xi+1)=Si+1(xi+1)=f(xi+1) и условие непрерывности первой производной Из граничных условий находим: ai=yi, i=1, …, n; ci= Коэффициенты bi вычисляются по одной из следующих рекуррентных формул: при b1=A1; bi+1 = zi - bi ; i=1, …, n-1; при bn=An; bn-i = zn-i - bn-i+1 ; i=1, …, n-1; zi=2(yi+1 - yi) / hi, hi=xi+1-xi. Кубический сплайн Построим на отрезке [a, b] функцию Si(x) так, чтобы на каждом отрезке [x i-1, x i ] (i=1,..., n) функция Si(x)представляла собой полином третьей степени Si(x)=ai+ bi (xi-x) + и в узлах xi имела первую и вторую непрерывные производные: Используя условие интерполирования и непрерывности, имеем: Si(xi)= f(xi), Si(xi)= Si+1(xi), далее, обозначив yi=f(xi) и hi+1=xi+1-xi, получим, что ai=yi, (2.1) ai=ai+1+bi+1hi+1+ bi=bi+1+ci+1hi+1 + ci=ci+1+di+1hi+1. (2.4) Из (2.4) следует: di+1= Подставим (2.5) в (2.2) и выразим bi+1: bi+1= Подставим (2.6) и (2.5) в (2.3) и получим систему из (n-1) трехточечного уравнения относительно переменной c: α i ci-1 +β i ci+ γ i ci+1 = φ i, (i=1, …, n-1), (2.7) где α i = hi, β i = 2(hi+1+hi), γ i = hi+1, φ i = 6 Уравнение (2.7) при краевых условиях ( ci = pi+1 ci+1 + qi+1 (i=n-1, …, 1).(2.8) Запишем формулу (2.8) для ci-1 и подставим в уравнение (2.7): α i (pi ci + qi ) +β i ci + γ ici+1 =φ i. Выразим отсюда ci: ci= Сравнивая с формулой (2.8), выпишем формулы для прогоночных коэффициентов pi+1 и qi+1: pi+1= qi+1= Для вычисления p1, q1 запишем краевое условие c0=0 в виде (2.8): с0=p1c1+q1=0. Отсюда следует, что p1=0, q1=0. Определим все pi+1, qi+1 для i=1, …n-1 и, зная граничное условие cn=0 по (2.8) для i=n-1, …, 1, найдем все ci.. Затемиз формул (2.5) и (2.6) получим оставшиеся коэффициенты для кубического сплайна. Задания 1. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа степени n, построить на отрезке [a, b] графики заданной функции y=f(x) и полинома Лагранжа y=Ln(x). Вывести величину теоретической и практической погрешностей: e теор. = e практ. = 2. Используя полином Гаусса при n=2, найти значение функции y = f(x) в точке x = x0 с заданной точностью e. 3. Используя интерполирование функции сплайнами, построить графики заданной функции y = f(x), линейного сплайна y = S1(x) и кубического сплайна y = S3(x). Вывести практическую погрешность для сплайнов. Варианты функций
Квадратурные формулы Пусть для функции y=f(x)требуется вычислить интеграл J(f)= Выбрав шаг h= Построим, например, полином Лагранжа: f(x)≈ L n (x) = Заменяя функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом, получим квадратурную формулу
Для формулы трапеции (n=1) p(x)=1, A0=A1=1/2.
Остаточный член формулы трапеции равен: R= где ξ Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так:
где R(h)=
![]() ![]() Остаточный член формулы Симпсона равен R= где ξ
Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид: где R(h)= Приведем формулу «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем: где R(h)= Задание. Вывести обобщенную формулу трапеции f(x)=yi+(yi+1-yi) на каждом отрезке [xi, xi+1] (i=0, 1, …, n-1), а формулу Симпсона получить, заменив подынтегральную функцию f(x)квадратичным интерполяционным многочленом f(x)=yi+(yi+1-yi) на каждом отрезке [xi, xi+2] (i=0, 2, 4, …, n-2).
Самостоятельно получить формулы прямоугольника из вида площади на графике (рис.3.3). Вывести отдельно левую, правую и центральную формулы и их погрешности. Выбор шага интегрирования Для вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования с заданной точностью ε можно выбрать шаг h, обеспечивающий эту точность вычисления интеграла, используя формулу остаточного члена:
при этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε /2. Другой способ заключается в последовательном удвоении количества шагов. Сначала вычисляется интеграл по выбранной квадратурной формуле при числе шага n, а затем при 2n. Погрешность приближенного значения интеграла определяется по правилу Рунге: Δ n= где Процесс вычислений заканчивается, если для очередного значения n будет получена погрешность Δ n = ε. Следует учесть, что при удвоении числа шагов нет необходимости вычислять значения подынтегральной функции заново во всех узлах сетки, т. к. все они являются узлами сетки и при числе шагов 2n. Данный алгоритм может быть полезен при вычислении интеграла с разрывом. Квадратурная формула Гаусса В формулах Гаусса коэффициенты Ai абсциссы ti подбираются так, чтобы формула была точной для всех многочленов наивысшей возможной степени 2n-1 (табл. 3.1). При вычислении интеграла xi= Задания 1. Вычислить приближенное значение интеграла 2. Вычислить значение интеграла - выбрать шаг интегрирования из оценки остаточного члена, - использовать метод последовательного удвоения числа шагов. 3. Вычислить значение интеграла 4. Вычислить значение интеграла 5. Вычислить двойной интеграл Варианты Для заданий 1, 2, 4: 1. f(x)=x3 e2x; a=0; b=1. 2. f(x)= 3. f(x)= 4. f(x)= 5. f(x)= 6. f(x)= 7. f(x)= 8. f(x)= 9. f(x)= 10.f(x)= 11.f(x)=cos(x)/(x+2); a=0, 4; b=1, 2. 12.f(x)= 13.f(x)=(x+1)sin(x); a=1, 6; b=2.4. 14.f(x)=(x+1)cos(x2); a=0, 2; b=1. 15.f(x)=sin(x2-0, 4)/(x+2); a=0, 8; b=1, 2. 16.f(x)=ln(1+x2)/(1+x2); a=0; b=1. 17.f(x)=ln(5+4cos(x)); a=0; b=3, 1416. 18.f(x)=x*ln(1+x); a=0; b=1. Для задания 3: 1. f(x)= 2. f(x)= 3. f(x)= 4. f(x)= 5. f(x)= 6. f(x)= 7. f(x)= 8. f(x)= 9. f(x)= 10.f(x)= Для задания 5: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Отделение корней Отделение корней можно осуществить графическим или аналитическим способом. Для того чтобы отделить корни графически, нужно построить график функции y=f(x). Для отделения корней аналитически используем следующее утверждение: если непрерывная функция f(x)
Если к этому добавить, что f'(x)и f" (x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на заданном отрезке, то можно говорить о единственном корне уравнения на этом интервале (рис.4.1). Метод Чебышева Приведем формулу третьего порядка точности: xn+1= xn- Задания 1. Отделить корни уравнения f(x)=0 на заданном отрезке [a, b]. 2. Уточнить корни уравнения с заданной точностью e всеми из предложенных выше методов. Варианты уравнений
Метод вращения Любую действительную, симметричную матрицу A можно привести к виду A = U ∙ D ∙ U–1 , где U – ортогональная матрица (U –1 = U T ), D – диагональная матрица, где λ i – собственные значения матрицы A. Следовательно, имеем U–1 ∙ A ∙ U = D. На этом свойстве матрицы основан метод вращения: если некоторым ортогональным преобразованием V свести матрицу A к диагональной: Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-10; Просмотров: 864; Нарушение авторского права страницы