Тема 1. Элементы теории погрешностей

Методы вычислений

Учебно-методическое пособие

 

 

Кемерово 2004

Составители: ст. преподаватель О. Н. Гавришина,

ст. преподаватель М. Р. Екимова,

ст. преподаватель Л. Н. Фомина.

 

Методы вычислений: учеб.-метод. пособие ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; сост. О. Н. Гавришина, М. Р. Екимова, Л. Н. Фомина. Кемерово, 2004 – 63 с.

 

Пособие содержит теоретический материал, варианты для самостоятельной работы студентов и предназначено для использования на практических занятиях по курсам «Методы вычислений» (5, 6, 7 семестры, специальности «математика»), «Практикум на ЭВМ по численным методам» (5, 6, 7 семестры, специальности «прикладная математика»).

 

 

Рассмотрено на заседании кафедры вычислительной математики   ” “___________ 2004 г.   Зав.кафедрой Ю. Н. Захаров ____________

Утверждено методической комиссией математического факультета “ “ _____________ 2004 г.   Председатель методической комиссии Е. С. Каган ___________

Предисловие

 

Пособие предназначено для студентов третьих и четвертых курсов математического факультета Кемеровского госуниверситета.

В данном учебно-методическом пособии содержится материал, предусмотренный программой курса «Методы вычислений» и «Численные методы» для студентов математического факультета специальностей 0101 и 0102.

В пособии в краткой форме изложены основы численных методов, представлены теоретические аспекты девяти тем курса «Методы вычислений»: элементы теории погрешности; интерполирование; численное интегрирование; решение нелинейных уравнений; спектральная задача; системы линейных алгебраических уравнений; системы нелинейных алгебраических уравнений; обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных.

Каждый теоретический блок заканчивается вариантами заданий по численному решению соответствующих задач, главной целью которых является выполнение методических численных исследований, проводимых студентом с помощью самостоятельно составленной и отлаженной программы.

Предложенный список литературы рекомендован для более глубокого изучения численных методов.

При написании пособия мы опирались на опыт проведения практических занятий по курсам «Методы вычислений» (специальности 0101) и «Численные методы» (специальности 0102) студентов третьих, четвертых курсов математического факультета. Задачи пособия в различных вариантах прошли многократную проверку на практических занятиях в компьютерных классах.

 

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Определения

Приближенным числом называется число a*, отличающееся от точного числа A и заменяющее последнее в вычислениях. Например, для число 1, 41 будет приближенным значением по недостатку, а 1, 42 - по избытку, так как 1, 41 < < 1, 42.

Под ошибкой или погрешностью числа понимают разность между соответствующим точным числом A и данным приближением: D = A – a*. Таким образом, A = a* + D или точное число можно рассматривать как приближенное с ошибкой, равной нулю.

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютной погрешностью приближенного числа a* называют величину D(a*), для которой справедливо неравенство:

½ A – a* ½ ≤ D(a*).

Таким образом, информация о том, что a* является приближенным значением числа А с абсолютной погрешностью D(a*), записывается в виде:

a* - D(a*) ≤ A ≤ a* + D(a*).

Часто показателем точности результата измерений является другая величина, которая называется относительной погрешностью:

= d (a*).

В терминах относительной погрешности А имеем соотношение

a* (1- d ) ≤ A ≤ a* (1+ d ).

Погрешности арифметических действий

Кроме погрешности исходных данных на погрешность результата влияют также и погрешности выполнения арифметических действий.

Обозначим x₁*, x₂*, …, x_n*- приближенные числа. Для них справедливы следующие формулы:

1. Для суммы или разности:

D(g₁ x₁* +…+ g_n x_n*) = , g_i = const,

d (g₁ x₁* +…+ g_n x_n*) ≈ max (d (x₁*), …, d (x_n*)).

2. Для произведения:

D( x₁* x₂*… x_n*)≈ | x₁* x₂* … x_n| ,

d ( x₁* x₂*… x_n*)≈ .

3. Для частного:

D( ) ≈ ,

d ( ) ≈ (d(x*)+ d(y*)) .

4. Для степени:

D((x*)^m) ≈ m ,

d ((x*)^m) ≈ m d (x*).

Задания

1. Определить:

a) предельную абсолютную погрешность по известным точным x и приближенным x* числам;

б) предельную относительную погрешность по известным точным x, приближенным x* числам или абсолютной погрешности D(x*).

2. Определить верные и значащие цифры числа по известному приближенному числу x* и его абсолютной погрешности D(x*).

3. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности в приведенных двух функциях по заданным приближенным числам и их абсолютным погрешностям.

Варианты

№ 1

1. a) x= , x*= 6, 63;

б) x*= 21°37'; D(x*)=2" .

2. x*=0, 23845; D(x*)=0, 0001.

3. a) X= , a*= 3, 456; D(a*)= 0, 002; b* =0, 642; D(b*)=0, 0005; c*=7, 12; D(c*)= 0, 02;

б) y= , =2, 712± 0, 003; =0, 0256± 0, 005.

№ 2

1. а) x=7/15, x*=0, 467;

б) x*=22, 553, D(x*)= 0, 016.

2. x*=12, 3680, D(x*)=0, 00007.

3.а) , a*=23, 16, D(a*)=0, 02; b*=8, 230, D(b*)=0, 005;

c* = 145, 226, D(c*)=0, 08; d*=28, 6, D(d*)= 0, 1; m*=0, 25, D(m*)=0, 06;

б) y=x₁ sin(x₁) tg(x₂), =0, 256± 0, 005; =1, 238± 0, 001.

№ 3

1. a) x= , x*=5, 48;

б) x*=6, 4257, D(x*)=0, 0024.

2. x*=100, 588000, D(x*)=0, 000008.

3. a)V= , a*=8, 51, D(a*)=0, 002; A*=23, 42, D(A*)=0, 01; S*=45, 80, D(S*)=0, 02; h*=3, 81, D(h*)= 0, 08;

б) y= x₁ sin(x₁x₂)+x₂ cos(x₂x₃), =π /2, 5± 0, 02; =π /6 ± 0, 006; =π /3, 68±0, 0007.

 

№ 4

1. а) x= , x*=3, 24;

б) x*=12, 36858, x= 12, 36867.

2. x*=365, 002300, D(x*)=0, 01.

3. a) , =27, 16± 0, 02; =5, 03± 0, 01; =3, 6± 0, 2; =12, 375± 0, 004; =86, 20± 0, 05;

б) y= , =10, 252 ± 0, 002; =12, 365± 0, 009; =0, 956±0, 02.

№ 5

1. а) x= , x*=3, 1622;

б) x*=0, 36500, D(x*)=0, 00005.

2. x*=100, 87502, D(x*)=0, 00001.

3. a) X= , =0, 643, D( )=0, 005; =2, 17, D( )=0, 02, =5, 843, D( )=0, 008;

б) y=1, 2 x₁² cos (x₂)+ 8, 68 x₂³ +sin²(x₁ x₃), =1, 048± 0, 001; =36, 0687±0, 0005; =π /3± 0, 0006.

№ 6

1. а) x= , x*= 1, 77245;

б) x*=17, 8974, D(x*)= 0, 001.

2. x*= 2, 718218, D(x*)=0, 00001.

3. a) S= , a*=21, 1, D(a*)= 0, 2, b*=31, 112,

D(b*)= 0, 005; h*=22, 08, D(h*)= 0, 03;

б) y= +sin (x₁ x₂ x₃), =12, 361± 0, 005; = -0, 936± 0, 009; =8, 7361±0, 003.

№ 7

1. а) x=6/7, x*=0, 85716;

б) x*= 189, 0026, D(x*)= 0, 0007.

2. x*= 0, 0036001, D(x*)= 0, 000001.

3. a) : , =0, 3575± 0, 0002, =2, 63± 0, 01,

=0, 854± 0, 005;

б) y= sin (x₁ x₂ sin (x₂)), =5, 36± 0, 02; =0, 056± 0, 003.

№ 8

1. а) x= 2/21, x*= 0, 095;

б) x*= 2, 13654321, x= 2, 13654231.

2. x*= 10, 009000, D(x*)= 0, 000001.

3. a) V = p h(3a²+h²), a*=2, 456, D(a*)=0, 003; h*=1, 768, D(h*)=0, 008

б) y=a₁ sin² (a₂ ) cos (a₁+a₃), =12, 365± 0, 001; =365, 12± 0, 09; =0, 0012365± 0, 00001.

№ 9

1. а) x= , x*= 2, 19;

б) x*= 1928, 192635, D(x*)= 0, 00001.

2. x*= 389, 2300100, D(x*)= 0, 0001.

3. a) Y = , =16, 342± 0, 001, =2, 53±0, 03, =38, 176± 0, 002, =9, 14± 0, 02, =3, 61± 0, 04;

б) y=sin , =0, 983± 0, 005, = -12, 381± 0, 009, =13, 936±0, 001.

№ 10

1. а) x=12/11, x*= 1, 091;

б) x*= 0, 000000935, D(x*)= 10 ^-10.

2. x*= 0, 00230003500, D(x*)= 10 ^-13.

3. a) V = , p*=3, 149, D(p*)= 10 ^–3, D*= 54, 9, D(D*)= 10 ^–1, d*=8, 235, D(d*)=10 ^-2;

б) y= , =25, 3687± 10 ^–4, = 0, 000635± 10 ^–6,

=0, 0000054± 10 ^-7.

№ 11

1. а) x= , x*= 4, 69;

б) x*= 2, 3745 10 ^-4, D(x*)= 10 ^-7.

2. x*= 1000, 00300800, D(x*)= 10 ^-5.

3. a) S = , p*=3, 15, D(p*)= 0, 01, D*= 36, 55,

D(D*)= 0, 08, d*=26, 35, D(d*)=0, 02;

б) y= sin ( x₁+x₃)+sin² x₂+x₁ x₂ sin³ x₃; = π /8± 2 10 ^–4,

= π /16± 8 10 ^–5, = π /32± 3, 5 10 ^-4.

№ 12

1. а) x=π /15, x*= 0, 20943;

б) x*= 13, 163845, D(x*)= 2, 5 10 ^-4.

2. x*= 0, 0123691500, D(x*)=10 ^-9.

3. a) , c*= 2, 435, D(c*)=0, 1; b*=0, 15, D(b*)=0, 03, g*=1, 275, D(g*)=0, 008;

б) y= cos (x₁+0, 5 x₂) - x₁ x₂ , = π /3, 5± 0, 0003,

=0, 638± 0, 001, =11, 23±0, 09.

№ 13

1. а) x= , x*= 4, 4816;

б) x*= 225, 86345, D(x*)= 3, 6 ^.10 ^-4.

2. x*= 13, 05060700, D(x*)= 3, 8 ^.10 ^-6.

3. a) , m*= 1, 6531, D(m*)= 0, 0003,

n*=3, 78, D(n*)=0, 01, c*=0, 156, D(c*)= 0, 08;

б) , = 1, 32± 0, 03,

= 0, 0325± 0, 001, = 5, 3649± 0, 0004.

№ 14

1. а) x=65/23, x*= 2, 8260;

б) x*= 102645, 02, x= 102645.

2. x*= 0, 003600, D(x*)=0, 000001.

3. a) X = , a*=3, 85, D(a*)=0, 01, b*=2, 0435,

D(b*)=0, 0004, c*=962, 6, D(c*)=0, 1;

б) y= , =2, 4368± 0, 0002,

=0, 023± 0, 002, = - 0, 356± 0, 0035, =265, 00365± 0, 00008.

№ 15

1. а) x= 17/13, x*= 1, 30769;

б) x*= 1, 564379, D(x*)= 3, 8 10 ^-6.

2. x*= 20, 6973000, D(x*)= 3, 8 10 ^-6.

3. a) Y = , =0, 25± 0, 02; =3, 68± 0, 08, =0, 026± 0, 009, =12, 1± 0, 9, =165, 36584± 0, 00007;

б) y=cos (x₁ cos (x₂ cos x₃)), =π /3± 10 ^–3, =2 π /8± 10 ^–6,
= ± 0, 002.

Тема 2. Интерполирование

Сплайн- интерполяция

Сплайном соответствующей функции f(x), построенным по данным узлам сетки {x _i}, i=0,..., n, называется функция S^m(x), удовлетворяющая следующим условиям:

a) условие кусочно-полиномиальной функции: на каждом отрезке [x_i-1, x_i] (i=1, …, n) функция является многочленом степени m;

б) условие непрерывности: сплайн-функция и ее (m-1) производная непрерывны в заданной области;

в) условие интерполирования: в узлах сетки значение сплайна и значение функции совпадают:

(i=0, …, n).

Линейный сплайн

Построим на отрезке [a, b] функцию S_i(x) так, чтобы на каждом отрезке [x _i-1, x _i ] (i=1,..., n) эта функция являлась бы линейным многочленом вида:

S_i(x)=a_i+(x_i-x)b_i.

Поскольку

S_i(x_i)=f(x_i);

S_i(x_i-1)=S_i-1(x_i-1)=f(x_i-1),

то, обозначив y_i=f(x_i) и h_i=x_i-x_i-1, получим формулы для вычисления коэффициентов:

a_i=y_i,

b_i= (i=1, …, n).

Параболический сплайн

Параболические сплайны представляются в виде полинома второй степени: S_i(x)=a_i+(x-x_i)b_i+(x-x_i)²c_i с граничными условиями: b₁=A₁ либо b_n=A_n, где A₁ - значение первой производной в точке x=x₁; A_n - значение первой производной в точке x=x_n.

S_i(x) S_i+1(x)

x_i x_i+1 x_i+2

Для определения коэффициентов сплайна a_i, b_i, c_i используются условия:

S_i(x_i)=f(x_i) i=1, …, n;

S_i(x_i+1)=S_i+1(x_i+1)=f(x_i+1)

и условие непрерывности первой производной

(x_i+1)= (x_i+1).

Из граничных условий находим:

a_i=y_i, i=1, …, n;

c_i= (i=1, …, n-1).

Коэффициенты b_i вычисляются по одной из следующих рекуррентных формул:

при b₁=A₁; b_i+1 = z_i - b_i ; i=1, …, n-1;

при b_n=A_n; b_n-i = z_n-i - b_n-i+1 ; i=1, …, n-1;

z_i=2(y_i+1 - y_i) / h_i, h_i=x_i+1-x_i.

Кубический сплайн

Построим на отрезке [a, b] функцию S_i(x) так, чтобы на каждом отрезке

[x _i-1, x _i ] (i=1,..., n) функция S_i(x)представляла собой полином третьей степени

S_i(x)=a_i+ b_i (x_i-x) + c_i(x_i-x)²+ d_i(x_i-x)³

и в узлах x_i имела первую и вторую непрерывные производные:

(x)= -b_i -c_i(x_i-x) - d_i(x_i-x)²,

(x)=c_i+d_i(x_i-x),

(a) = =0.

Используя условие интерполирования и непрерывности, имеем:

S_i(x_i)= f(x_i),

S_i(x_i)= S_i+1(x_i),

(x_i)= (x_i),

(x_i)= (x_i),

далее, обозначив y_i=f(x_i) и h_i+1=x_i+1-x_i, получим, что

a_i=y_i, (2.1)

a_i=a_i+1+b_i+1h_i+1+ c_i+1 + d_i+1 , (2.2)

b_i=b_i+1+c_i+1h_i+1 + d_i+1 , (2.3)

c_i=c_i+1+d_i+1h_i+1. (2.4)

Из (2.4) следует:

d_i+1= (i=0, 1,..n-1).(2.5)

Подставим (2.5) в (2.2) и выразим b_i+1:

b_i+1= (i=0, 1, …n-1).(2.6)

Подставим (2.6) и (2.5) в (2.3) и получим систему из (n-1) трехточечного уравнения относительно переменной c:

α _i c_i-1 +β _i c_i+ γ _i c_i+1 = φ _i, (i=1, …, n-1), (2.7)

где

α _i = h_i,

β _i = 2(h_i+1+h_i),

γ _i = h_i+1,

φ _i = 6 .

Уравнение (2.7) при краевых условиях ( (a) = =0) c₀=0, c_n=0 решается методом прогонки:

c_i = p_i+1 c_i+1 + q_i+1 (i=n-1, …, 1).(2.8)

Запишем формулу (2.8) для c_i-1 и подставим в уравнение (2.7):

α _i (p_i c_i + q_i ) +β _i c_i + γ _ic_i+1 =φ _i.

Выразим отсюда c_i:

c_i= c_i+1+ .

Сравнивая с формулой (2.8), выпишем формулы для прогоночных коэффициентов p_i+1 и q_i+1:

p_i+1= ,

q_i+1= (i=1, …, n-1).

Для вычисления p₁, q₁ запишем краевое условие c₀=0 в виде (2.8):

с₀=p₁c₁+q₁=0.

Отсюда следует, что p₁=0, q₁=0. Определим все p_i+1, q_i+1 для i=1, …n-1 и, зная граничное условие c_n=0 по (2.8) для i=n-1, …, 1, найдем все c_i.. Затемиз формул (2.5) и (2.6) получим оставшиеся коэффициенты для кубического сплайна.

Задания

1. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа степени n, построить на отрезке [a, b] графики заданной функции y=f(x) и полинома Лагранжа y=L_n(x). Вывести величину теоретической и практической погрешностей:

e _теор. = | R _n (x) |,

e _практ. = | f(x) – L _n (x) |.

2. Используя полином Гаусса при n=2, найти значение функции y = f(x) в точке x = x₀ с заданной точностью e.

3. Используя интерполирование функции сплайнами, построить графики заданной функции y = f(x), линейного сплайна y = S¹(x) и кубического сплайна y = S³(x). Вывести практическую погрешность для сплайнов.

Варианты функций

1. sin (sin x) 2. exp (sin x) 3. sin (exp x) 4. sin2 x + sin x + x 5. sin (exp x2) 6. cos (sin x2) 7. ln (x2+x+1) 8. cos (sin (cos x)) 9. cos2 x+cos (x+1)+x 10. x exp x+sin x 11. exp (x+sin x) 12. ln (x2+ sin2 x) 13. ln2 x+ln x+1 14. x sin (x2+x) 15. x2 exp (x2+1) 16. cos (cos (5 x2)) 17. ln (cos x)+ln x 18. exp(sin (3x)+x2) 19. ln2 x+ln x+x 20. x cos (exp (x2+1))

21. sin (cos (ln x)) 22. ln (x2+cos2 x) 23. cos2 (sin 3x) 24. sin (cos (sin x)) 25. exp(sin 5x)+ln x 26. ln (e2x + x) 27. ln (e3x+2 x)+ex2 28. exp (x2-1)+x 29. exp (5x2-3)2+sin x 30. cos (sin2 x) 31. ln2 x+sin x 32. sin2 x cos (x+1) 33. exp (sin x+x) 34. x exp(x2+x+1) 35. ex+cos( x2+1) 36. x cos(e-x) x sin(ex) 37. x sin (e-x) 38. x2 ln ( sin (x2+1)) 39. sin (cos (ex)) 40. sin (cos (ex))

Квадратурные формулы

Пусть для функции y=f(x)требуется вычислить интеграл J(f)= .

Выбрав шаг h= , разобьем отрезок [a, b] на n равных частей: x₀=a, x_i=x₀+ih ( i=1, 2, …, n-1), x_n=b и пусть y_i=f(x_i)( i=0, 1, 2, …, n), p(x) =1.

Построим, например, полином Лагранжа:

f(x)≈ L _n (x) = +R _n (x).

Заменяя функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом, получим квадратурную формулу

,

где A_i - некоторые постоянные коэффициенты, не зависящие от функции f(x), а зависящие лишь от расположения узлов сетки x_i.

Для формулы трапеции (n=1) p(x)=1, A₀=A₁=1/2.

= (y₀+y₁).

Остаточный член формулы трапеции равен:

R= - (y₀+y₁)= ,

где ξ (x₀, x₀+h).

Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так:

,

где R(h)= , М₂= .

Формула Симпсона при n=2 и p(x)=1. Интерполирование функции выполняется по трем ее значениям. A₀=1/6, A₁=2/3, A₂=1/6 или, так как x₂-x₀=2h,

(y₀+4y₁+y₂).

Остаточный член формулы Симпсона равен

R= - (y₀+4y₁+y₂)= ,

где ξ (x₀, x₂).

 

Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид:

,

где R(h)= , М₄= .

Приведем формулу «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем:

,

где R(h)= , М₄= .

Задание. Вывести обобщенную формулу трапеции , заменив подынтегральную функцию f(x)линейным интерполяционным многочленом

f(x)=y_i+(y_i+1-y_i)

на каждом отрезке [x_i, x_i+1] (i=0, 1, …, n-1), а формулу Симпсона получить, заменив подынтегральную функцию f(x)квадратичным интерполяционным многочленом

f(x)=y_i+(y_i+1-y_i)

на каждом отрезке [x_i, x_i+2] (i=0, 2, 4, …, n-2).

Самостоятельно получить формулы прямоугольника из вида площади на графике (рис.3.3). Вывести отдельно левую, правую и центральную формулы и их погрешности.

Выбор шага интегрирования

Для вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования с заданной точностью ε можно выбрать шаг h, обеспечивающий эту точность вычисления интеграла, используя формулу остаточного члена:

,

при этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε /2.

Другой способ заключается в последовательном удвоении количества шагов. Сначала вычисляется интеграл по выбранной квадратурной формуле при числе шага n, а затем при 2n. Погрешность приближенного значения интеграла определяется по правилу Рунге:

Δ _n= ,

где для формулы трапеции и для формулы Симпсона.

Процесс вычислений заканчивается, если для очередного значения n будет получена погрешность Δ _n = ε.

Следует учесть, что при удвоении числа шагов нет необходимости вычислять значения подынтегральной функции заново во всех узлах сетки, т. к. все они являются узлами сетки и при числе шагов 2n. Данный алгоритм может быть полезен при вычислении интеграла с разрывом.

Квадратурная формула Гаусса

В формулах Гаусса

коэффициенты A_i абсциссы t_i подбираются так, чтобы формула была точной для всех многочленов наивысшей возможной степени 2n-1 (табл. 3.1).

При вычислении интеграла следует сделать замену

x_i= .

Задания

1. Вычислить приближенное значение интеграла , используя формулы трапеции, Симпсона, трех-восьмых, прямоугольников и Гаусса (n=4, 5 или 7). Оценить остаточный член формул.

2. Вычислить значение интеграла с заданной точностью e, используя формулу трапеции или Симпсона, двумя способами:

- выбрать шаг интегрирования из оценки остаточного члена,

- использовать метод последовательного удвоения числа шагов.

3. Вычислить значение интеграла с заданной точностью e, если функция f(x)имеет разрыв второго рода.

4. Вычислить значение интеграла , заменив функцию f(x) кубическим сплайном.

5. Вычислить двойной интеграл .

Варианты

Для заданий 1, 2, 4:

1. f(x)=x³ e^2x; a=0; b=1.

2. f(x)= ; a=0; b=4.

3. f(x)= ; a= -2; b= -1.

4. f(x)= ; a=0; b=1.

5. f(x)= ; a=0; b=1.

6. f(x)= ; a=1; b=3.

7. f(x)= ; a=1; b=2.

8. f(x)= ; a=0, 5; b=2, 5.

9. f(x)= ; a=5; b=7.

10.f(x)= ; a=0; b=5.

11.f(x)=cos(x)/(x+2); a=0, 4; b=1, 2.

12.f(x)= ; a=0, 4; b=1.2.

13.f(x)=(x+1)sin(x); a=1, 6; b=2.4.

14.f(x)=(x+1)cos(x²); a=0, 2; b=1.

15.f(x)=sin(x²-0, 4)/(x+2); a=0, 8; b=1, 2.

16.f(x)=ln(1+x²)/(1+x²); a=0; b=1.

17.f(x)=ln(5+4cos(x)); a=0; b=3, 1416.

18.f(x)=x*ln(1+x); a=0; b=1.

Для задания 3:

1. f(x)= ; a= 0; b= 0, 5.

2. f(x)= ; a= 0; b= 1.

3. f(x)= ; a= 0; b= 1.

4. f(x)= ; a= 0; b= 2.

5. f(x)= ; a= 0; b= 1.

6. f(x)= ; a= 1; b= 2.

7. f(x)= ; a= -1; b= 1.

8. f(x)= ; a= -1; b= 1.

9. f(x)= ; a= -1; b= 1.

10.f(x)= ; a= 0; b= 1.

Для задания 5:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. правильный шестиугольник, вписанный в единичный круг.

8. .

9. .

10. ромб с центром в начале координат и с вершинами в точках (0, -4); (0, 4); (-2, 0); (2, 0).

Отделение корней

Отделение корней можно осуществить графическим или аналитическим способом. Для того чтобы отделить корни графически, нужно построить график функции y=f(x). Для отделения корней аналитически используем следующее утверждение: если непрерывная функция f(x) С₂ [a, b] принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т. е. f(a) f(b)< 0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0 (рис. 4.2).

Если к этому добавить, что f'(x)и f" (x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на заданном отрезке, то можно говорить о единственном корне уравнения на этом интервале (рис.4.1).

Метод Чебышева

Приведем формулу третьего порядка точности:

x_n+1= x_n- (n=0, 1, 2, …) .

Задания

1. Отделить корни уравнения f(x)=0 на заданном отрезке [a, b].

2. Уточнить корни уравнения с заданной точностью e всеми из предложенных выше методов.

Варианты уравнений

1. x2 - x – 5=0 2. x3 + 3 x + 1= 0 3. x2 + 4 sin (x)= 0 4. x lg (x) – 1, 2= 0 5. x2 – sin (x) = 0, 25 6. - cos (0, 387 x)= 0 7. tg (0, 4 x + 0, 4) = x2 8. x3 - 20 sin (x) = 0 9. x3 + 3 x2 + 6 x –1= 0 10. 3 x – cos (x) –1= 0 11. 2 lg( x) - + 1= 0 12. x3 - x - 3= 0 13. ctg (x) - = 0 14. x3 – 6 x– 8 =0 15. (0, 2 x)3-cos (x)=0

16. x-10 sin (x)=0 17. 2-x - sin (x)=0 18. 2x -2 cos (x)=0 19. lg (x+5 ) –cos (x)=0 20. x sin (x)-1=0 21. 8 cos (x)-x-6=0 22. 10 cos (x)-0, 1 x2=0 23. 2 lg (x+7)-5 sin (x)=0 24. 4 cos (x)+0, 3 x=0 25. x4 + 2 x3 - 24, 1 - 13 x2 – 14, 2 x=0 26. 2 x 2 -5 - 2x=0 27. 0, 5 x2 - 10 + 2-x=0 28. 4 x 4- 6, 2 – cos (0, 6 x)=0 29. 3 sin (8 x )- 0, 7 x + 0, 9=0 30. 1, 2 - ln (x) – 4 cos (2 x)=0 31. ln (x+6, 1 )- 2 sin (x-1, 4)=0 32. ex - 1/x =0 33. tg (0, 58 x + 0, 1) = x2

 

Метод вращения

Любую действительную, симметричную матрицу A можно привести к виду A = U ∙ D ∙ U^–1 , где U – ортогональная матрица (U ^–1 = U ^T ),

D – диагональная матрица,

где λ _i – собственные значения матрицы A.

Следовательно, имеем U^–1 ∙ A ∙ U = D.

На этом свойстве матрицы основан метод вращения: если некоторым ортогональным преобразованием V свести матрицу A к диагональной: