Постановка задачи интерполирования

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n+1 точки x₀, x₁, …, x_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих узлах:

f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, …, f(x_n)=y_n.

Требуется построить функцию F(x) (интерполирующую функцию), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x):

F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, …, F(x_n)=y_n.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=F(x)некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i(x_i, y_i)(i=0, 1, 2, …, n)(см. рис. 2.1).

Функцию F(x) будем искать в виде полинома P_n(x) степени не выше n. Полученную интерполяционную формулу y=F(x)обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) в точках x, отличных от узлов интерполирования, при этом, если xÎ [x₀, x_n], то речь идет о задаче интерполирования, если xÏ [x₀, x_n] - экстраполирования.

	Рис. 2. 1

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа степени n имеет вид

f(x) = L _n (x) = +R _n (x),

где R _n (x) = f(x) – L _n (x)– остаточный член, вычисляемый по формуле

R _n (x) = , где x Î [x₁, x₂],

x₁=min(x₁, x₂, …, x_n), x₂=max(x₁, x₂, …, x_n).

Оценка погрешности остаточного члена представлена в виде неравенства

|R _n (x)| , где M _n+1 = |f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|.

Интерполяционная формула Гаусса

В случае квадратичной интерполяции (n=2) вычисление значения функции в некоторой точке x, с заданной точностью ε, предполагает использование трех ближайших к x узлов. Пусть h = x _j – x _j-1 - шаг сетки узлов интерполирования, - значения функции в узлах сетки.

Обозначим за x_j ближайший узел к данной точке x.

Обозначим и конечные разности первого и второго порядка:

;

.

Тогда интерполяционная формула Гаусса запишется в виде:

f(x)=L₂(x)= ,

где R₂(x)=f(x)-L₂(x) – остаточный член, вычисляемый по формуле:

R₂ (x) = , где x Î [x_j-1, x_j+1].

Шаг h выбирается из условия | R₂ (x) | ≤ ε

Сплайн- интерполяция

Сплайном соответствующей функции f(x), построенным по данным узлам сетки {x _i}, i=0,..., n, называется функция S^m(x), удовлетворяющая следующим условиям:

a) условие кусочно-полиномиальной функции: на каждом отрезке [x_i-1, x_i] (i=1, …, n) функция является многочленом степени m;

б) условие непрерывности: сплайн-функция и ее (m-1) производная непрерывны в заданной области;

в) условие интерполирования: в узлах сетки значение сплайна и значение функции совпадают:

(i=0, …, n).

Линейный сплайн

Построим на отрезке [a, b] функцию S_i(x) так, чтобы на каждом отрезке [x _i-1, x _i ] (i=1,..., n) эта функция являлась бы линейным многочленом вида:

S_i(x)=a_i+(x_i-x)b_i.

Поскольку

S_i(x_i)=f(x_i);

S_i(x_i-1)=S_i-1(x_i-1)=f(x_i-1),

то, обозначив y_i=f(x_i) и h_i=x_i-x_i-1, получим формулы для вычисления коэффициентов:

a_i=y_i,

b_i= (i=1, …, n).

Таким образом, линейный сплайн имеет вид

S_i(x)= y_i +(x_i - x) .

Параболический сплайн

Параболические сплайны представляются в виде полинома второй степени: S_i(x)=a_i+(x-x_i)b_i+(x-x_i)²c_i с граничными условиями: b₁=A₁ либо b_n=A_n, где A₁ - значение первой производной в точке x=x₁; A_n - значение первой производной в точке x=x_n.

S_i(x) S_i+1(x)

x_i x_i+1 x_i+2

Для определения коэффициентов сплайна a_i, b_i, c_i используются условия:

S_i(x_i)=f(x_i) i=1, …, n;

S_i(x_i+1)=S_i+1(x_i+1)=f(x_i+1)

и условие непрерывности первой производной

(x_i+1)= (x_i+1).

Из граничных условий находим:

a_i=y_i, i=1, …, n;

c_i= (i=1, …, n-1).

Коэффициенты b_i вычисляются по одной из следующих рекуррентных формул:

при b₁=A₁; b_i+1 = z_i - b_i ; i=1, …, n-1;

при b_n=A_n; b_n-i = z_n-i - b_n-i+1 ; i=1, …, n-1;

z_i=2(y_i+1 - y_i) / h_i, h_i=x_i+1-x_i.

Кубический сплайн

Построим на отрезке [a, b] функцию S_i(x) так, чтобы на каждом отрезке

[x _i-1, x _i ] (i=1,..., n) функция S_i(x)представляла собой полином третьей степени

S_i(x)=a_i+ b_i (x_i-x) + c_i(x_i-x)²+ d_i(x_i-x)³

и в узлах x_i имела первую и вторую непрерывные производные:

(x)= -b_i -c_i(x_i-x) - d_i(x_i-x)²,

(x)=c_i+d_i(x_i-x),

(a) = =0.

Используя условие интерполирования и непрерывности, имеем:

S_i(x_i)= f(x_i),

S_i(x_i)= S_i+1(x_i),

(x_i)= (x_i),

(x_i)= (x_i),

далее, обозначив y_i=f(x_i) и h_i+1=x_i+1-x_i, получим, что

a_i=y_i, (2.1)

a_i=a_i+1+b_i+1h_i+1+ c_i+1 + d_i+1 , (2.2)

b_i=b_i+1+c_i+1h_i+1 + d_i+1 , (2.3)

c_i=c_i+1+d_i+1h_i+1. (2.4)

Из (2.4) следует:

d_i+1= (i=0, 1,..n-1).(2.5)

Подставим (2.5) в (2.2) и выразим b_i+1:

b_i+1= (i=0, 1, …n-1).(2.6)

Подставим (2.6) и (2.5) в (2.3) и получим систему из (n-1) трехточечного уравнения относительно переменной c:

α _i c_i-1 +β _i c_i+ γ _i c_i+1 = φ _i, (i=1, …, n-1), (2.7)

где

α _i = h_i,

β _i = 2(h_i+1+h_i),

γ _i = h_i+1,

φ _i = 6 .

Уравнение (2.7) при краевых условиях ( (a) = =0) c₀=0, c_n=0 решается методом прогонки:

c_i = p_i+1 c_i+1 + q_i+1 (i=n-1, …, 1).(2.8)

Запишем формулу (2.8) для c_i-1 и подставим в уравнение (2.7):

α _i (p_i c_i + q_i ) +β _i c_i + γ _ic_i+1 =φ _i.

Выразим отсюда c_i:

c_i= c_i+1+ .

Сравнивая с формулой (2.8), выпишем формулы для прогоночных коэффициентов p_i+1 и q_i+1:

p_i+1= ,

q_i+1= (i=1, …, n-1).

Для вычисления p₁, q₁ запишем краевое условие c₀=0 в виде (2.8):

с₀=p₁c₁+q₁=0.

Отсюда следует, что p₁=0, q₁=0. Определим все p_i+1, q_i+1 для i=1, …n-1 и, зная граничное условие c_n=0 по (2.8) для i=n-1, …, 1, найдем все c_i.. Затемиз формул (2.5) и (2.6) получим оставшиеся коэффициенты для кубического сплайна.

Задания

1. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа степени n, построить на отрезке [a, b] графики заданной функции y=f(x) и полинома Лагранжа y=L_n(x). Вывести величину теоретической и практической погрешностей:

e _теор. = | R _n (x) |,

e _практ. = | f(x) – L _n (x) |.

2. Используя полином Гаусса при n=2, найти значение функции y = f(x) в точке x = x₀ с заданной точностью e.

3. Используя интерполирование функции сплайнами, построить графики заданной функции y = f(x), линейного сплайна y = S¹(x) и кубического сплайна y = S³(x). Вывести практическую погрешность для сплайнов.

Варианты функций

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Цель и задачи духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся.
2. II. ЦЕЛИ, ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ЗАДАЧИ ПРОФСОЮЗА
3. III. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ, ОЖИДАЕМЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
4. III. Цель, задачи развития территориального общественного самоуправления «Жуковский Актив»
5. IV. ОЧЕРЕДНЫЕ ЗАДАЧИ ПАРТИЙНОЙ ПРОПАГАНДЫ, АГИТАЦИИ И ОРГАНИЗАЦИИ
6. V. МЕЖДУНАРОДНЫЕ ЗАДАЧИ ШВЕЙЦАРСКИХ СОЦИАЛ-ДЕМОКРАТОВ
7. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИТУАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ № 1
8. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИТУАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ № 4
9. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИТУАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ № 9
10. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР СОЗДАНИЯ ГПС И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
11. Антропогенетика как наука. Её предмет, методы, задачи.
12. Банковская система. Центр. и ком-кие банки, их задачи и функции.