Моделирование временных рядов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени, называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

В практике исследования динамики явлений и прогнозирования принято считать, что значения уровней временных рядов могут содержать следующие компоненты (составные части или структурообразующие элементы):

- тренд;

- сезонную компоненту;

- циклическую компоненту;

- случайную составляющую.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т. д.

При большем периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, исследованные Н. Кондратьевым, демографические, инвестиционные и др.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная случайная компонента.

Отметим, что в значениях уровней каждого временного ряда не обязательно должны участвовать одновременно все компоненты. В изменении значений одного показателя может отсутствовать трендовая компонента, другого - периодические составляющие, динамика третьего показателя может описываться лишь случайной компонентой.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, так как на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов и сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики.

Иногда на стадии графического анализа можно определить характер сезонных колебаний: аддитивный или мультипликативный. Отличие аддитивной модели в том, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения тренда от среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.

Часто экономические показатели, представленные временными рядами, имеют настолько сложную структуру, что попытки описания их динамики путем построения моделей тренда, сезонности и применения других традиционных подходов не приводят к удовлетворительным результатам. Во временном ряду ошибок остаются статистические зависимости, которые можно моделировать. Как правило, ряд ошибок - это стационарный ряд.

Формально, ряд называется строго стационарным, если свойства строго стационарного временного ряда не зависят от начала отсчета времени.

Временной ряд может быть и нестационарным. Стационарным может считаться временной ряд, уровни которого, меняясь со временем, не изменяют среднего значения на достаточно продолжительно отрезке времени. Это так называемая «слабая стационарность». Стационарный ряд, как правила, не имеет ярко выраженной тенденции (тренда).

Стационарный характер временного ряда можно выявить, применив метод сравнения средних уровней временного ряда.

По этому методу временной ряд разбивают на две примерно равные части, каждая из которых рассматривается как самостоятельная выборочная совокупность (n₁n₂). Если временной ряд имеет тенденцию, то средние значения и дисперсии, вычисленные по каждой совокупности, должны существенно отличаться между собой.

По каждой половине ряда рассчитываются среднее значение и дисперсия. Для проверки равенства дисперсий рассчитывается F-критерий Фишера:

F=S₁/S₂,

где S₁ и S₂- выборочные оценки дисперсии первой и второй половин временного ряда.

Если будет выполняться условие F< Fкр при α =0, 05, то дисперсии считаются равными, а ряд – условно стационарным.

Далее проверяется гипотеза о равенстве средних. Для этого рассчитывается t-критерий Стьюдента:

t= ( - ) / S,

где и - средние значения каждой половины исходного временного ряда,

S = среднее квадратическое отклонение разности средних:

S= .

Если t < t_табл при уровне значимости α =0, 05 и числе степеней свободы (n₁+ n₂-2), то принимается гипотеза об отсутствии тенденции.

Прогноз значений стационарного временного ряда делается на основании его среднего арифметического значения.

Рассмотрим построение простейших моделей временного ряда при наличии тенденции.

По временным рядам рассчитываются значения автокорреляции.

Для стационарного временного ряда с увеличением τ автокорреляционная функция должна демонстрировать убывать по абсолютной величине, так как взаимосвязь между уровнями ряда с ростом τ ослабевает.

Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

где r (τ ) – выборочная оценка коэффициента автокорреляции;

n – длина временного ряда,

τ – временной сдвиг τ (τ =1, 2, …, n-1).

На практике рекомендуется поддерживать соотношение длины временного сдвига τ ≤ n/4;

- оценка среднего значения, найденная по формуле:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют временным лагом.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и последующих порядков, называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммом.

Наличие сильной автокорреляционной зависимости рассматривается как фактор, искажающий полученные модели. Однако с ее помощью можно достаточно точно определить состав модели.

Если наиболее высоким по модулю оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высокое значение у коэффициента автокорреляции порядка τ, то в исследуемом временном ряду присутствует также сезонность (или цикличность с периодичностью τ ) [4].

Рассмотрим построение простейших моделей временного ряда.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (E) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение - мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: Y=T+S+E;

мультипликативная модель: Y=T·S·E.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Важной задачей, возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях она может не просматриваться из-за ощутимых колебаний.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов

сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Процедуры скользящих средних опираются на известную теорему Вейерштрасса, согласно которой «любая гладкая функция при самых общих допущениях может быть локально (т. е. в ограниченном интервале изменения ее аргумента t) представлена алгебраическим полиномом подходящей степени» [4].

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

1. Сначала необходимо определить длину интервала сглаживания k, включающего в себя k последовательных уровней ряда (k < п). При этом исследователь должен иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Затем исходный временной ряд следует разбить на участки, каждый из которых содержит k уровней. Последующий участок сдвигается по отношению к предыдущему на один такт времени, т. е. интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным 1.

3. На заключительном этапе центральное значение на каждом участке заменяется на значение средней арифметической из уровней ряда, образующих этот участок.

Более подробно этот материал изложен в [ 4].

При этом удобно брать длину интервала сглаживания k в виде нечетного числа: k=2р + 1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.
Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, при этом не будет выполняться условие нечетности. В таком случае еще раз рассчитывается среднее арифметическое значение соседних уровней сглаженного временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить волны, то целесообразно использовать взвешенную скользяшую среднюю .

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной.

где - весовые коэффициенты, определяемые по таблице 3.1 [4].

Таблица 3.1

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒