Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.

(общие теоремы о пределах)

Теорема 1. (единственность предела).

Если то .

Допустим противное, т.е. . Выберем , так, что бы окрестности т. , не пересекались, т.е. т.к. , то т.е. аналогично то т.е. .

Рассмотрим Тогда, и и , что невозможно, т.к. указанные окрестности не пересекаются.

Теорема 2 (локальная ограниченность функции, имеющий предел). Если предел при равняется А, то найдется окрестность , во всех точках которых функция ограниченна. Положим

Из условия теоремы следует существование окрестности: . Следовательно: Отсюда для указанных х что и означает ограниченность в .

Теорема 3.

Если (resp A< B) то $ окрестность в которой выполняется неравенство > B (resp < B) Пусть A> B положим тогда При выбранном левая из этих неравенств имеет вид > B resp доказывается 2 часть теоремы только в этом случае берем Следствие (сохранение функции знаки своего предела).

Полагая в теореме 3 B=0, получаем: если (resp ), то $ , во всех точках, которой будет > 0 (resp < 0), т.е. функция сохраняет знак своего предела.

Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).

Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то . На языке и . Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но

Теорема 5. (о пределе промежуточной функции).

(1) Если и в некоторой окрестности т. (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция имеет в т. предел и этот предел равен А. по условию (1) $ для (здесь - наименьшая окрестность точки ). Но тогда в силу условия (2) для значения так же будет находится в - окрестности точки А, т.е. .

БИЛЕТ 16

Определение 14.1. Функция у=α (х) называется бесконечно малой при х→ х₀, если

Свойства бесконечно малых.

1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство. Если α (х) и β (х) – бесконечно малые при х→ х₀, то существуют δ ₁ и δ ₂ такие, что |α (x)|< ε /2 и |β (x)|< ε /2 для выбранного значения ε. Тогда |α (x)+β (x)|≤ |α (x)|+|β (x)|< ε, то есть |(α (x)+β (x))-0|< ε. Следовательно, , то есть α (х)+β (х) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Если α (х) – бесконечно малая при х→ х₀, а f(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х₀, то α (х)f(x) – бесконечно малая при х→ х₀.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая.

Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. ( Третье определение предела ). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x) можно представить в виде f(x)=A+α (x), где α (х) – бесконечно малая при х→ х₀.

Доказательство.

1) Пусть Тогда |f(x)-A|< ε при х→ х₀, то есть α (х)=f(x)-A – бесконечно малая при х→ х₀. Следовательно, f(x)=A+α (x).

2) Пусть f(x)=A+α (x). Тогда значит, |f(x)-A|< ε при |x - x₀| < δ (ε ). Cледовательно, .

Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим.

Бесконечно большие функции.

Определение 15.1. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х₀, если

Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно:

1. Бесконечно большие f(x) и g(x) считаются величинами одного порядка, если

2. Если , то f(x) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x).

3. Бесконечно большая f(x) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(x), если .

Замечание. Отметим, что а^х – бесконечно большая (при а> 1 и х ) более высокого порядка, чем x^k для любого k, а log_ax – бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х^k.

Теорема 15.1. Если α (х) – бесконечно малая при х→ х₀, то 1/α (х) – бесконечно большая при х→ х₀.

Доказательство. Докажем, что при |x - x₀| < δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x₀| < δ |α (x)|< 1/M, следовательно,

|1/α (x)|> M. Значит, , то есть 1/α (х) – бесконечно большая при х→ х₀.

БИЛЕТ 17

Теорема 14.7 (первый замечательный предел). .

Доказательство. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол АОВ равен х (радиан). Сравним площади треугольника АОВ, сектора АОВ и треугольника АОС, где прямая ОС – касательная к окружности, проходящая через точку (1; 0). Очевидно, что .

B C

A x

Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что , или sinx< x< tgx. Разделив все части неравенства на sinx (при 0< x< π /2 sinx> 0), запишем неравенство в виде: . Тогда , и по теореме 14.4 .

Замечание. Доказанное справедливо и при x< 0.

Cледствия из первого замечательного предела.

5. где y = arcsinx.

6. где y = arctgx.

БИЛЕТ 18

Теорема 14.8 (второй замечательный предел). .

Замечание. Число е 2, 7.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что последовательность при имеет предел, заключенный между 2 и 3. По формуле бинома Ньютона

возрастающая переменная величина при возрастающем n. С другой стороны,

и т.д., поэтому

Следовательно, - ограниченная и возрастающая величина, поэтому она имеет предел (см. теорему 14.6). Значение этого предела обозначается числом е.

2. Докажем, что .

а) Пусть . Тогда

. При . Найдем пределы левой и правой частей неравенства:

Следовательно, по теореме 14.4 .

б) Если то и Теорема доказана.

Следствия из второго замечательного предела.

2. где a > 0, y = a^x- 1.

БИЛЕТ 19

Критерий Коши

Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши (для " e > 0 $ d > 0, " x' и x'', 0 < ½ x' - a½ < d, 0 < ½ x''- a½ < d: ½ f(x') - f(x'')½ < e

БИЛЕТ 20

Рассмотрим функции α (х) и β (х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х₀.

Если то α (х) и β (х )называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что α (х) и β (х) – эквивалентные бесконечно малые.

Если то α (х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β (х).

Если , то α (х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с β (х).

Обозначения: α (х)=О(β (х)) – бесконечно малые одного порядка, α (х)~β (х) – эквивалентные бесконечно малые, α (х)=о(β (х)) – α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.

Замечание 1. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х→ 0, эквивалентные х: sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ln(1+x), e^x-1.

Замечание 2. При раскрытии неопределенности вида , то есть предела отношения двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную – эта операция не влияет на существование и величину предела.