Следствие (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение) (2 т.Коши)

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], f(а) = A, f(b) = B А≠ В. Тогда " С Î [A, B] $ c Î [a, b]: f(c) = C.

Доказательство.

Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - C. Пусть, для определённости, A < C < B. Тогда

g(a) = f(a) - С = A - C < 0, g(b) = f(b) - C = B - C > 0. Кроме того, g(x) непрерывна на сегменте

[a, b]. Следовательно, по теореме «Если f(x) непрерывна на [a, b] и f(а) и f(b) – разных знаков, то $ c Î [a, b]: f(c) = 0», то c Î [a, b]: g(c) = 0, то есть f(c) - C = 0 Þ f(c) = C, что и требовалось доказать.

Следствие:

Если F(x) непрерывна на промежутке Х то ее значение сами сплошь заполняют промежуток Х=(inff(x), supf(x)).

Доказательство: Пусть м=инфинум М=супремум возьмем " у Î (м, М). Тогда $ х1 и х2: м≤ f(x1)< y< f(x2) ≤ M

По 2 теореме Коши: $ х: f(x)=у, то есть все значения из (м, М) явл значениями f(x).

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно малой, если " ε > 0 $ Nε: при " n > Nε выполняется: |x_n| < ε.

1. бм+бм=бм

2. бм-бм=бм

3. бм*огр=бм

Все члены = одному числу С, то С=0

БИЛЕТ 26

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

Непрерывность элементарных функций.

1) y = sin x, (-¥ < x < +¥ ).

Ранее мы доказали непрерывность функции sin x в точке x = 0.

Докажем непрерывность sin x в произвольной точке а. Для этого нужно доказать, что

sin x = sin a, или что sin x - sin a ® 0 при x ® a. Воспользуемся формулой

sin x - sin a = 2sin cos .

Если x ® a, то ® 0, поэтому sin ® 0, а так как 2cos - ограниченная функция, то sin x - sin a ® 0, что и требовалось доказать. Непрерывность sin x в любой точке доказана.

Рассмотрим теперь функцию у = , Х =[- £ x £ ]. На этом сегменте функция y = sin x является непрерывной и возрастающей (возрастание следует из формулы

sin - sin = 2sin cos ).

Следовательно, по теореме об обратной ф-ции, множеством значений данной функции является сегмент

Y = [sin(- ), sin( )] = [-1, 1], на Y= [-1, 1] существует обратная функция x = arcsin y, возрастающая и непрерывная на [-1, 1].

БИЛЕТ 27

Равномерная непрерывность функции.

Определение непрерывности, точки разрыва функции.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)

Примеры:

f(x) = sin x непрерывна в точке х =0, так как sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.

Рациональная функция f(x) = непрерывна в любой точке а, в которой (а) ¹ 0,

так как было доказано, что = ( (а) ¹ 0). Замечаение:

Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде

f(x) = f( x). Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.

Определение 2.

f(x) называетмя непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f(x) - f(а) | < e при | х - а | < d.

Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём e = f(a). По определнию 2

$ d > 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < d, то есть -f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в d- окрестности точки а.

Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в d- окрестности точки а.

Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.

Пусть f(x) определена на [a, a + d). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Пример:

f(x) = [x].

" целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n) ¹ f(n - 0).

Следовательно, в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.

Теорема

Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.

Доказательство:

По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).

Отсюда по теореме 2.1 следует, что $ f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а. Теорема доказана.

2. Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке x₀, то f(x)-непрерывна в точке x₀.

3. Ф-ция f(x) -непрерывна в точке x₀, если lim(f(x))=f(x₀), при x→ x₀

+Арифм действия с ф-циями связаны с пределами ф-ций, равными A и B

(Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.

БИЛЕТ 28

Геометрический смысл производной.

Определение

Касательной к графику функции называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке вдоль графика(при этом стремится нулю).

Предположим, что кривая имеет в точке касательную. Очевидно, .

Имеем право перейти к пределу при , т.к. предположили, что кривая имеет касательную

или, в силу непрерывности функции

Таким образом, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой к графику функции в точке .

Запишем уравнение касательной .

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку имеет вид

для касательной будем, следовательно, иметь уравнение (T)

В частности, если то касательная имеет уравнение , т.е. горизонталь.

Заметим, что если производная функции в точке бесконечная, то касательная к её графику в точке М вертикальна и имеет уравнение .

Нормалью к графику функции в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т).

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

- уравнение нормали (N)

Производная.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и точки x₀ и

x₀ +Dx лежат на этом промежутке

Определение 1:

Производной функции в точке x₀ называют предел (если он существует и конечен):

Если в точке x₀ выполняется условие:

то говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀бесконечную производную.

В отличии от бесконечной производной введённая выше производная называется конечной.

Определение 2:

Говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀ правую ( resp. левую) производную, если существует предел:

Каждая из односторонних производных может быть бесконечностью(определённого знака)

Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения Df в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия при Dх®0

Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при Dх®0 Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $ б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx.

Примеры.

1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const " x, тогда y‘=0 для " х. В этом случае Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.

2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) " kÎ N. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем " т-ку х и дадим приращение Dх составим разностное отношение Dу/Dх=(х+Dх)^2-x^2/Dx=2х+ Dх => lim(Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.

3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x(e^Dx-1)/ Dx. Одеако предел дробного сомножителя = 1.

4)y=f(x)=½ x½ =(x, x> 0; -x, x< 0). Ясна что для " х¹ 0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1при x> 0 y‘=-1 при x< 0. Однако в т-ке x=0 пр-ная не $. Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1, +1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не $ при x0=0. При Dx> 0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=> lim(Dx®0, Dx> 0)Dy/Dx=1 А левый предел разн-го

БИЛЕТ 29

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒