Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.

БИЛЕТ 1

Рациональные числа – числа, записываемые в виде p/q, где q – натурал. число, а p- целое.

Два числа a=p1/q1 и b=p2/q2 назыв равными если p1q2=p2q1, а< b если p1q2> p2q1 и а> b если p1q2< p2q1. ab= p1p2/q1q2. Ждя любых рац чисел а и b однозачно наход их разность. Для люб рац a и b сущ-ет един c=a/b. Свойства: коммутативность а+б=б+а, ассотиативность (а+б)+с=а+(б+с), (а*б)*с=а*(б*с). Дистрибутивность (а*б)*с=ас+бс. а+0=а, а*1=а.. N- натур числа, Z- целые числа, Q- рац числа. Любое рац число должно быть записано в виде переодич десятич дроби (либо конечно с периодом 0). Правило сравнения действ. Чисел. Опр - два действ положит числа α =а0, а1, а2…, β =b0, b1, b2… говорят что число α < β если a0< b0, либо ai=bi. I=0, k. Говорят что положит число α больше отриц числа β если α =-а0, а1, а2 β =-b0, b1, b2 α > β. Модулем числа α назыв |α |=|+-а0, а1, а2…an|= а0, а1, а2…an. Говорят что отриц число α =-а0, а1, а2 < отриц числа β =-b0, b1, b2 если |α |> |β |. Если β и α действ числа причём α < β то сущ-ет рац число R такое что α < R. Геметр интерпритация действ чисел. Действ ось – числова ось. Начало корд- 0. Вся ось (-∞; +∞ ), интервал [a; b] – xЄR. Отрезок [a; b] __, M1__, 0__, __, M2__, __; M1< 0 x=a0, a1, M2> 0 x=-a0, a1.

БИЛЕТ 2

Комплексные числа. Комплексные числа

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: P_n(x) = 0, где P_n(x) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x, y). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x, y)-комплексное число.

x-вещественная часть z, y-мнимая часть z. Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂).

Определение 1. z₁ = z₂, если x₁ =x₂ и y₁ = y₂.

Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.

Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.

M(x, y) « z = x + iy.

½ OM½ = r =½ z½ = .(рисунок)

r называется модулем комплексного числа z.

j называется аргументом комплексного числа z. Он определён с точностью до ± 2pn.

х = rcosj, y = rsinj.

z = x + iy = r(cosj + isinj ) - тригонометрическая форма комплексных чисел.

Утверждение 3.

Если

= (cos + i sin ),

= (cos + i sin ), то

= (cos( + ) + i sin( + )),

= (cos( - )+ i sin( - )) при ¹ 0.

Утверждение 4.

Если z =r (cosj + i sinj ), то " натурального n:

= (cos nj + i sin nj ),

БИЛЕТ 3

Пусть X-числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).

x Î X - x содержится в Х.; x Ï X - x не принадлежит Х.

Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М(m) такое, что для любого x Î X выполняется неравенство x £ M (x ³ m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если $ M, " x Î Х: x £ M. Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если " M $ x Î Х: x > M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть $ М, m такие, что " x Î Х: m £ x £ M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если $ A > 0, " x Î X: ½ x½ £ A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ

(супремум). =SupХ. Аналогично можно определить точную

нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани:

Число называется точной верхней гранью множества Х, если: 1)" x Î X: х £ (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2)" < $ x Î X: х > (это условие показывает, что -

наименьшая из верхних граней).

Sup X= :

1. " xÎ X: x £ .

2. " < $ x Î X: x > .

inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?

Пример: Х = {x: x> 0} не имеет наименьшего числа.

Теорема о сущ-нии точной верх (ниж) грани. Всякое непустое огранич сверху (снизу) мн-во xÎ R имеет точ верх(ниж) грань.

Теорема об отделимости числовых мн-в: ▀ ▀ ▄

БИЛЕТ 4

Если каждому натуре числу n (n=1, 2, 3..) поставлено в соотв-е нек число Xn, то говорят что опред-на и задана последовательность x1, x2 …, пишут {Xn}, (Xn).Пример: Xn=(-1)^n: -1, 1, -1, 1, …После-ть назыв огранич. сверху (снизу) если мн-во точек x=x1, x2, …xn лежащ на числовой оси огранич сверху (снизу), т.е. $С: Xn£ C" Предел посл-ти: число а назыв пределом посл-ти, если для люб-го ε > 0 $: N (N=N/(ε )). " n> N выполн-ся неравенство |Xn-a|< ε. Т.е. – ε < Xn-a< ε => а–ε < Xn< а+ε: _.а–ε _.а_.а+ε _. Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если

при n > N.

Единственность предела ограниченной и сходящейся последовательности

Свойство1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: от противного пусть а и b пределы сходящейся последовательности {x_n}, причем a не равно b. рассмотрим бесконечно малые последовательности {α _n}={x_n-a}и {β _n}={x_n-b}. Т.к. все элементы б.м. последовательности {α _n-β _n} имеют одно и тоже значение b-a, то по свойству б.м. последовательности b-a=0 т.е. b=a и мы пришли к противоречию.

Свойство2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть а – предел сходящейся последовательности {x_n}, тогда α _n=x_n-a есть элемент б.м. последовательности. Возьмем какое-либо ε > 0 и по нему найдем N_ε: / x_n-a/< ε при n> N_ε. Обозначим через b наибольшее из чисел ε +/а/, /х1/, /х2/, …, /х _N_{ε -1}/, х _N_ε. Очевидно, что / х_n/< b при любом n=1, 2, …отсюда и следует ограниченность последовательности {x_n}.

Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящаяся.

БИЛЕТ 6

Последовательность а_n называется бесконечно малой, это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a_n – бесконечно малая Û lim(ⁿ^®⁺^¥)a_n=0 то есть для любого ε > 0 существует N, такое что для любого n> N выполняется |a_n|< ε

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

a_nb_n®бесконечно малое Þ a_n+b_n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

a_n- бесконечно малое Û " ε > 0 $ N₁: " _n> N₁ Þ |a_n|< ε

b_n- бесконечно малое Û " ε > 0 $ N₂: " _n> N₂ Þ |b_n|< ε

Положим N=max{N₁, N₂}, тогда для любого n> N Þ одновременно выполняется оба неравенства:

|a_n|< ε |a_n+b_n|£ |a_n|+|b_n|< ε +ε =2ε =ε ₁" n> N

|b_n|< ε

Зададим " ε ₁> 0, положим ε =ε ₁/2. Тогда для любого ε ₁> 0 $N=maxN₁N₂: " n> N Þ |a_n+b_n|< ε ₁ Û lim(ⁿ^®^¥)(a_n+b_n)=0, то

есть a_n+b_n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

a_n, b_n – бесконечно малое Þ a_nb_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим " ε ₁> 0, положим ε =Ö ε ₁, так как a_n и b_n – бесконечно малое для этого ε > 0, то найдётся N₁: " n> N Þ |a_n|< ε

$N₂: " n> N₂ Þ |b_n|< ε

Возьмем N=max {N₁; N₂}, тогда " n> N = |a_n|< ε

|b_n|< ε

|a_nb_n|=|a_n||b_n|< ε ²=ε ₁

" ε ₁> 0 $N: " n> N |a_nb_n|< ε ²=ε ₁

lim a_nb_n=0 Û a_nb_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

ⁿ^®^¥

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

a_n –бесконечно малая последовательность Þ a_na_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная Û $С> 0: " nÎ N Þ |a_n|£ C

Зададим " ε ₁> 0; положим ε =ε ₁/C; так как a_n – бесконечно малая, то ε > 0 $N: " n> NÞ |a_n|< ε Þ |a_na_n|=|a_n||a_n|< Cε =C·ε ₁/C=ε ₁

" ε ₁> 0 $N: " n> N Þ |a_na_n|=Cε =ε ₁ Þ lim(ⁿ^®^¥) a_na_n=0Û a_na_n – бесконечно малое

Последовательность называется ББП (последовательностью) если Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n члены , то пишут это значит, что как только .

Аналогично определяется смысл записи

Бесконечно большие последовательност a_n=2ⁿ ; b_n=(-1)ⁿ2ⁿ; c_n=-2ⁿ

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim(ⁿ^®^¥)a_n=+¥, если " ε > 0$N: " n> N Þ a_n> ε где ε - сколь угодно малое.

2) lim(ⁿ^®^¥)a_n=-¥, если " ε > 0 $N: " n> N Þ a_n< -ε

3) lim(ⁿ^®^¥)a_n=¥ Û " ε > 0 $N: " n> N Þ |a_n|> ε

БИЛЕТ 7

Теорема “О сходимости монотон. посл-ти”

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£ x* " n. " e > 0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой): xm> x*-e при " n> m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e£ xn£ x*+e при n> m эквивалентно ½ xn-x*½ < e при n> m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.

БИЛЕТ 8

Экспонента или число е

Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1). Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2, 7128… Число е

БИЛЕТ 9

Принцип вложенных отрезков

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], …

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1, bn+1]Ì [an, bn], " n=1, 2, …;

2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥ )(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.

Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.

{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥ )an и с2=lim(n®¥ )bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥ )(bn-an)= lim(n®¥ )(bn)- lim(n®¥ )(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥ )(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с

Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку " n an£ c£ bn. Теперь докажем что она одна.

Допустим что $ другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an}, {bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.

БИЛЕТ 10

Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.

Док-во

1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " m£ xn£ M, " n.

D1=[m, M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти.

D2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2> n1. В отрезке D3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkÎ Dk.

БИЛЕТ 11

БИЛЕТ 12

Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности.

В заключении рассмотрим вопрос критерия сходимости числовой последовательности.

Пусть т.е.: на ряду с натуральным числом можно подставить в последнее неравенство другое натуральное число , тогда

Мы получили следующее утверждение:

Если последовательность сходится, выполняется условие Коши:

(5)

Критерий Коши.

Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, что бы она была фундаментальной.

Второй смысл критерия Коши. Члены последовательности и где n и m – любые неограниченно сближающиеся при .

БИЛЕТ 13

Односторонние пределы.

Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀ слева (справа), если такое, что |f(x)-A|< ε при x₀– х < δ (х - х₀< δ ).

Обозначения:

Теорема 13.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х₀, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.

Доказательство.

1) Если , то и для x₀– х < δ, и для х - х₀< δ |f(x) - A|< ε, то есть

1) Если , то существует δ ₁: |f(x) - A| < ε при x₀– x < δ ₁ и δ ₂: |f(x) - A| < ε при х - х₀< δ ₂. Выбрав из чисел δ ₁ и δ ₂ меньшее и приняв его за δ, получим, что при |x - x₀| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана.

Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.

Определение 4 (по Гейне)

Число А называется пределом функции при если любой ББП значений аргумента последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Определение 4 (по Коши).

Число А называется если . Доказывается, что эти определения равносильны.

БИЛЕТ 14 и 15

Свойства предела ф-ции в точке

1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный

2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A

lim(x®x0)g(x)£ B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.

а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B

б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B

в) lim(x®x0)(f(x): g(x))=A/B

г) lim(x®x0)C=C

д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A

Теорема 3.

Если (resp A< B) то $ окрестность в которой выполняется неравенство > B (resp < B) Пусть A> B положим тогда При выбранном левая из этих неравенств имеет вид > B resp доказывается 2 часть теоремы только в этом случае берем Следствие (сохранение функции знаки своего предела).

Полагая в теореме 3 B=0, получаем: если (resp ), то $ , во всех точках, которой будет > 0 (resp < 0), т.е. функция сохраняет знак своего предела.

Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).

Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то . На языке и . Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но

Теорема 5. (о пределе промежуточной функции).

(1) Если и в некоторой окрестности т. (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция имеет в т. предел и этот предел равен А. по условию (1) $ для (здесь - наименьшая окрестность точки ). Но тогда в силу условия (2) для значения так же будет находится в - окрестности точки А, т.е. .

БИЛЕТ 16

Определение 14.1. Функция у=α (х) называется бесконечно малой при х→ х₀, если

Свойства бесконечно малых.

1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство. Если α (х) и β (х) – бесконечно малые при х→ х₀, то существуют δ ₁ и δ ₂ такие, что |α (x)|< ε /2 и |β (x)|< ε /2 для выбранного значения ε. Тогда |α (x)+β (x)|≤ |α (x)|+|β (x)|< ε, то есть |(α (x)+β (x))-0|< ε. Следовательно, , то есть α (х)+β (х) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Если α (х) – бесконечно малая при х→ х₀, а f(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х₀, то α (х)f(x) – бесконечно малая при х→ х₀.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая.

Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. ( Третье определение предела ). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x) можно представить в виде f(x)=A+α (x), где α (х) – бесконечно малая при х→ х₀.

Доказательство.

1) Пусть Тогда |f(x)-A|< ε при х→ х₀, то есть α (х)=f(x)-A – бесконечно малая при х→ х₀. Следовательно, f(x)=A+α (x).

2) Пусть f(x)=A+α (x). Тогда значит, |f(x)-A|< ε при |x - x₀| < δ (ε ). Cледовательно, .

Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим.

Бесконечно большие функции.

Определение 15.1. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х₀, если

Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно:

1. Бесконечно большие f(x) и g(x) считаются величинами одного порядка, если

2. Если , то f(x) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x).

3. Бесконечно большая f(x) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(x), если .

Замечание. Отметим, что а^х – бесконечно большая (при а> 1 и х ) более высокого порядка, чем x^k для любого k, а log_ax – бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х^k.

Теорема 15.1. Если α (х) – бесконечно малая при х→ х₀, то 1/α (х) – бесконечно большая при х→ х₀.

Доказательство. Докажем, что при |x - x₀| < δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x₀| < δ |α (x)|< 1/M, следовательно,

|1/α (x)|> M. Значит, , то есть 1/α (х) – бесконечно большая при х→ х₀.

БИЛЕТ 17

Теорема 14.7 (первый замечательный предел). .

Доказательство. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол АОВ равен х (радиан). Сравним площади треугольника АОВ, сектора АОВ и треугольника АОС, где прямая ОС – касательная к окружности, проходящая через точку (1; 0). Очевидно, что .

B C

A x

Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что , или sinx< x< tgx. Разделив все части неравенства на sinx (при 0< x< π /2 sinx> 0), запишем неравенство в виде: . Тогда , и по теореме 14.4 .

Замечание. Доказанное справедливо и при x< 0.

Cледствия из первого замечательного предела.

5. где y = arcsinx.

6. где y = arctgx.

БИЛЕТ 18

Теорема 14.8 (второй замечательный предел). .

Замечание. Число е 2, 7.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что последовательность при имеет предел, заключенный между 2 и 3. По формуле бинома Ньютона

возрастающая переменная величина при возрастающем n. С другой стороны,

и т.д., поэтому

Следовательно, - ограниченная и возрастающая величина, поэтому она имеет предел (см. теорему 14.6). Значение этого предела обозначается числом е.

2. Докажем, что .

а) Пусть . Тогда

. При . Найдем пределы левой и правой частей неравенства:

Следовательно, по теореме 14.4 .

б) Если то и Теорема доказана.

Следствия из второго замечательного предела.

2. где a > 0, y = a^x- 1.

БИЛЕТ 19

Критерий Коши

Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши (для " e > 0 $ d > 0, " x' и x'', 0 < ½ x' - a½ < d, 0 < ½ x''- a½ < d: ½ f(x') - f(x'')½ < e

БИЛЕТ 20

Рассмотрим функции α (х) и β (х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х₀.

Если то α (х) и β (х )называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что α (х) и β (х) – эквивалентные бесконечно малые.

Если то α (х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β (х).

Если , то α (х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с β (х).

Обозначения: α (х)=О(β (х)) – бесконечно малые одного порядка, α (х)~β (х) – эквивалентные бесконечно малые, α (х)=о(β (х)) – α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.

Замечание 1. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х→ 0, эквивалентные х: sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ln(1+x), e^x-1.

Замечание 2. При раскрытии неопределенности вида , то есть предела отношения двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную – эта операция не влияет на существование и величину предела.

Пример.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

10. 11. 12.

БИЛЕТ 21 и 22

Теорема

Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.

Доказательство:

По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).

Отсюда по теореме 2.1 следует, что $ f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а.

Теорема доказана.

2. Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке x₀, то f(x)-непрерывна в точке x₀.

3. Ф-ция f(x) -непрерывна в точке x₀, если lim(f(x))=f(x₀), при x→ x₀

+Арифм действия с ф-циями связаны с пределами ф-ций, равными A и B

Точки разрыва функции.

Определение:
Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.

Примеры:

1) f(x) = [x].

x = n (целое)-точка разрыва.

2) D(x) = (функция Дирихле).

D(x) имеет разрыва в каждой точке числовой прямой, так как " точки а D(x) не существует.

3) f(x) = x× D(x)

f(x) непрерывна в точке х = 0, так как f(x) = 0 = f(0).

f(x) разрывна во всех остальных точках, так как " а ¹ 0 f(x) не существует- (докажите самостоятельно).

БИЛЕТ 23

БИЛЕТ 24

Теорема. ( вторая теорема Вейерштрасса ) Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, что f(x), непрерывная на сегменте [a, b], не принимает ни в одной точке значения

M = f(x), тогда " x Î [a, b]: f(x) < M.

Введем функцию: F(x) = > 0 и непрерывна на [a, b]. По теореме 7.2, $ A > 0, " xÎ [a, b]: F(x) = £ A. " x Î [a, b]: f(x) £ M - < M.

Но это противоречит тому, что M – наименьшая из верхних граней функции на [a, b]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [a, b] своей точной верхней грани.

Теорема доказана.

//Замечание 1. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример перед теоремой).

12 3 4 5 6 Следующая ⇒