Дифференцируемость функции в точке.

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке имеет вид:

(4)

где: А - постоянное число

- бесконечно малая при .

Теорема

Для того чтобы функция f(x), была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда имеет место равенство (4). Считая , из (4) получим:

переходим к пределу при :

, т.е. в точке х₀ существует конечная производная.

Обратно

Пусть в точке х₀ функция имеет конечную производную . Обозначим её А, она равняется:

, - откуда

, где - БМ при .

Умножая обе части на последнее уравнение, приходим к уравнению (4), т.е. f(x) в точке х₀ дифференцируема. q.e.d.

 

Таким образом, дифференцируемость функции в точке и существование в этой точке её конечной производной - понятия равносильные (для функции многих переменных это будет не так).

 

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

y B

C

A D

 

Δ x x

x0

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график функции y=f(x) и проведем касательную к нему при х=х₀. Тогда при прира-

щении аргумента Δ х приращение функции Δ у равно длине отрезка BD, а приращение ордина- ты касательной равно длине отрезка CD. Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной.

(под графиком- Линеаризация функции.)

Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Δ х, при приближенных вычислениях можно заменять Δ у на dy, то есть считать, что f(x₀ + Δ x) ≈ f(x₀) + dy = f(x₀) + f`(x₀)(x -x₀). При этом функция f(x) для значений х, близких к х₀, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции.

Пример.

Найдем приближенное значение . Пусть Тогда

 

БИЛЕТ 30

Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = j(x), то есть y = f(j(x)) º F(x).

Теорема Пусть функция t = j(x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = j(х₀). Тогда сложная функция F(x) = f(j(x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)× j'(х₀) = f'(j(х₀))× j'(х₀).

Доказательство:

Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f(j(x)) в точке х₀ можно представить в виде: Dy = f'(t₀)j'(х₀)Dx + a(Dx)Dx, (1), где a(Dx) ® 0 при Dx ® 0. a(0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное Dx. Тогда функция t = j(x) получит приращение Dt = j( х₀ + Dх) - j(х₀). Так как t = j(x) дифференцируема в точке х₀ +, то Dt можно представить в виде: Dt = j'(х₀)Dx + b(Dx)Dx. (2), где b(Dx) ® 0 при Dx ® 0. b(0) = 0. Приращению Dt соответствует приращение Dy = f(t₀+Dt) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то Dy можно представить в виде: Dy = f'(t₀) Dt + g(Dt)Dt. (2), где g(Dt) ® 0 при Dt ® 0. g(0) = 0. (3)

Подставляя (2) в (3), получим: Dy = f'( t₀ )(j'(х₀)Dx + [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)]Dx, где [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)] Û a(Dx). Очевидно, что a(Dx) ® 0 при Dх ® 0, Dх ® 0. Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана

БИЛЕТ 31

Теорема

Пусть функции y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о обратной функции и имеет в точке производную , тогда обратная функция так же имеет производную в соответствующей точке и справедлива формула (6).

Дадим аргументу y обр. ф-ции в точке приращение тогда в силу строгой монотонности обр. ф-ции ее приращение в точке будет отлично от 0 и поэтому можно записать . Перейдем в этом равенстве к пределу при (при этом в силу непрерывности функции y=f(x) в т. ).

Следовательно предел слева также и по определению производной есть производная .

Окончательно: .

Геометрическая иллюстрация.

имеем:

Дифференцирование функций, заданных параметрически.

 

Если функция y = f(x) задана в виде: , причем функция φ (t) имеет обратную функцию t = Φ (x), то у = ψ (Φ (х)), и . (18.7)

Полученная формула дает возможность находить производную функции, заданной параметрически, без определения непосредственной зависимости у от х.

 

Пример.

х = а(1 – cos t), y = a(t – sin t) – параметрические уравнения кривой, называемой циклоидой. Найдем у΄ (х): х΄ (t) = asin t, y΄ (t) = a(1-cost), .

Таблица производных

y=sinx

(sinx)’=lim(^{∆ x®0})[sin(x+∆ x)-sinx]/∆ x=lim(^{∆ x®0})[2sin(∆ x/2)cos((2x+∆ x)/2)]/∆ x=lim[2(∆ x/2)cos(x+(∆ x/2))]/∆ x=cosx

(sinx)’=cosx

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+∆ x)-cos(x)]/∆ x=lim[-2sin(∆ x/2)sin((2x+∆ x)/2)]/∆ x=lim[-2(∆ x/2)sin(x+(∆ x/2))]/∆ x=-sinx

(cos(x))’=-sinx

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos²x=[cos²x+sin²x]/cos²x=1/cos²x

(tg(x))’=1/cos²x

y’(x)=lim[(x+∆ x)ⁿ-xⁿ]/∆ x=lim[xⁿ(1+(∆ x/x))-1]/∆ x=/∆ x/x®0, ∆ x®0\=lim[xⁿ(∆ x/x)n]/∆ x=nx^n-1

(xⁿ)’=nx^n-1

 

 

БИЛЕТ 32

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [ab]. В таком случае ее производная представляет собой тоже некоторую функцию х. Продифференцировав эту функцию, мы получим так называемую вторую производную (или производную второго порядка) функции f(x). Продолжая эту операцию, можно получить производные третьего, четвертого и более высоких порядков. При этом f`(x) будем называть производной первого порядка.

 

Определение 19.1. Производной n-го порядка (или n-й производной) от функции f(x) называется производная (первого порядка) от ее (n-1)-й производной.

Обозначение: у⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))΄ =f⁽ⁿ⁾(x). Производные 2-го и 3-го порядка обозначаются соответственно y′ ΄ и y΄ ′ ΄.

Примеры.

1) Найдем производную 3-го порядка от функции y=x³ -5x² +3x+12.

y΄ =3x² -10x+3, y΄ ΄ =(y΄ )΄ =6x-10, y΄ ΄ ΄ =(y΄ ΄ )΄ =6.

2) Получим общую формулу для производной n-го порядка функции y=a^bx.

y΄ =a^bx· lna· b, y΄ ΄ =lna· b(a^bx)΄ =a^bx· ln² a· b², …, y⁽ⁿ⁾=a^bx· lnⁿa· bⁿ.

 

Свойства производных высших порядков.

 

Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

1. (cf(x))⁽ⁿ⁾=c· f⁽ⁿ⁾(x).

2. (f(x)+g(x))⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)+g⁽ⁿ⁾(x).

3. Для y=x^m y⁽ⁿ⁾=n(n-1)…(n-m+1)x^m-n. Если m – натуральное число, то при n> m y⁽ⁿ⁾=0.

4. Можно вывести так называемую формулу Лейбница, позволяющую найти производную n-го порядка от произведения функций f(x)g(x):

.

Заметим, что коэффициенты в этой формуле совпадают с соответствующими коэффициентами формулы бинома Ньютона, если заменить производные данного порядка той же степенью переменной. Для n=1 эта формула была получена при изучении первой производной, для производных высших порядков ее справедливость можно доказать с помощью метода математической индукции.

5. Получим формулу для второй производной функции, заданной параметрически. Пусть x = φ (t), y = ψ (t), t₀ ≤ t ≤ T. Тогда . Следовательно,

БИЛЕТ 33

Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть y = f(x), где х - независимая переменная. Тогда оп определению dy = f'(x)dx (1) Где dx = Dx. dy называется также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = j(x), t - независимая переменная. y = f(j(t)) º F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:

F'(t) = f'(j(t))j'(t).

dy = f'(j(t))j'(t)dt.

Но, так как x = j(t), то dx = j'(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = Dx, если же x = j(t), то dy = j'(t)dt ¹ Dx.

Дифференциалом n-го порядканазывается первый дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:

dⁿy = d(d^n-1y) = (f^(n-1)(x)d^n-1x)΄ = f⁽ⁿ⁾(x)dⁿx. (19.4)

 

Свойства дифференциалов высших порядков.

 

1. Производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

. (19.5)

2. Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности.

Покажем это на примере второго дифференциала. Если y=F(φ (x))=F(u), где u=φ (x), то d² y=d(F΄ (u)du). Но du=φ ΄ (x)dx зависит от х, поэтому d² y=d(F΄ (u))du+F_u΄ (u)d(du)=F΄ ΄ _uu(u)(du)² +F_u΄ (u)d² u, где d² u=φ ΄ ΄ (x)(dx)². Таким образом, форма второго дифференциала изменилась при переходе к аргументу u.

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ФУНКЦИИ МИОКАРДА
3. III. Вегетативные функции НС.
4. Xlabel('Значения x'); ylabel('Значения функции'), grid
5. Анализ структуры и выполняемые функции информационной подсистемы «Кадры» ОГУ
6. Асимптоты графика функции и их отыскание
7. Билет 5 Основные черты, функции и Юридические свойства Конституции
8. Биологические функции пептидов и белков
9. Блок 20. Функции администратора зала и администратора кассы
10. Бухгалтерский учет: его задачи, функции и
11. В том, что любой живой организм состоит из клеток, но клетки выполняют разные функции.
12. Виды, функции и стадии правотворчества