Тема 1. Элементы теории множеств

Понятие множества

В математике все понятия делятся на первичные и определяемые через первичные, или уже известные. Первичные понятия не определяются, а, как правило, разъясняются на примерах.

Основным фундаментальным первичным понятием математики является понятие множества. Простейшими примерами множеств можно считать: множество студентов данного института, множество студентов 1 курса, множество всех натуральных чисел и т.д.

Таким образом, множество может содержать конечное или бесконечное количество однородных объектов произвольной природы, называемых элементами или точками.

Математические множества могут состоять из векторов, чисел, функций, матриц и других объектов. Множества обозначаются прописными буквами A, B, C и т.д. Элементы множества обозначаются строчными буквами a, b, c и т.д.

Если x есть элемент множества X, то пишут (х принадлежит Х). Запись означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.

Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А содержится в множестве В. Если , то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом , то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком Ø. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество называется конечным , если оно содержит конечное число элементов: А=(а₁, а₂, …, а_n). Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов.

Числовые множества задаются на оси действительных чисел, которую принято обозначать R. Наиболее часто используются следующие числовые множества: N – множество натуральных чисел, Z – целых чисел, Q – рациональных чисел, отрезок [a, b], интервал (a, b).

Если каждому элементу одного множества поставлен в соответствие один и только один элемент другого множества, то говорят, что между множествами установлено однозначное соответствие. Если такое соответствие установлено в обе стороны, то оно называется взаимно однозначным соответствием, а такие множества называют эквивалентными.

Счетное множество – это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N. Для того множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид: , где . Счетное множество иногда называют упорядоченным, а его элементы записывают в круглых скобках: .

Мощность конечных множеств определяется числом их элементов. Континуумом называется мощность множества действительных чисел.

Основные операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: С = А U В, причем: А U Ø = А.

Пересечением множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из этих множеств: D = A ∩ B.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: E = A \ B.

ПРИМЕР: Для двух множеств А = {1, 3, 6, 8} и B = {2, 4, 6, 8} объединением будет множество C = {1, 2, 3, 4, 6, 8}, пересечением будет множество D = {6, 8}, а разностью – множество E = {1, 3}.

Грани числовых множеств

Непустое множество Х называется ограниченным сверху, если существует число С такое, что для любого элемента выполняется неравенство x ≤ C. При этом число С называется верхней гранью множества Х.

Непустое множество Х называется ограниченным снизу, если существует число с такое, что для любого элемента выполняется неравенство x ≥ c. При этом число с называется нижней гранью множества Х.

Если множество ограничено и сверху и снизу, оно называется ограниченным. Ограниченное множество обладает верхней и нижней гранями.

Существуют множества, неограниченные снизу (сверху), или с обеих сторон.

ПРИМЕРЫ: Множество [2, 5] – ограниченное, т.к., по крайней мере, числа 2 и 5 являются гранями этого множества. Множество натуральных чисел N ограничено снизу (числом 1 и любым другим числом, меньшим 1) и не ограничено сверху, т.е. – неограниченное. Множество целых чисел Z не имеет граней с обеих сторон и является неограниченным.

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней, которые образуют множество чисел, ограничивающих это множество сверху (снизу). Возникает вопрос существования таких граней, которые были бы единственными и характеризовали рассматриваемое множество.

Точной верхней гранью множества Х называется наименьшее из чисел, ограничивающих множество сверху; обозначение sup X.

Точной нижней гранью множества Х называется наибольшее из чисел, ограничивающих множество снизу; обозначение inf X.

ПРИМЕРЫ: Для множества X = [3, 6] можно записать: sup X = 6 и inf X = 3. Для множества Y = [2, +∞ ) запишем: inf Y = 2, а точной верхней грани это множество не имеет, т.е. sup Y = +∞.

Свойство точной верхней (нижней) грани: как бы мало ни было число ε > 0, обязательно найдется число такое, что будет справедливо неравенство: x > sup X – ε (x < inf X + ε ).

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет свою точную верхнюю (нижнюю) грань.

Рекомендуемая литература по теме 1: [1 ÷ 2].

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒