Тест для самопроверки знаний

По Теме 1. Элементы теории множеств

 

1. Упорядоченное множество, состоящее из двух элементов, принято обозначать следующим образом:

• {x₁, x₂}
• (x₁, x₂)
• [x₁, x₂]

 

 

2. Пересечением двух множеств A и B называется множество С, состоящее:

· из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

· из всех элементов А, не принадлежащих В.

· из всех элементов как множества А, так и В

 

3. Объединение С двух множеств А и В принято обозначать следующим образом:

· C = A ∩ B

· C = A U B

· C = A \ B

 

4. Разность D двух множеств А и В принято обозначать следующим образом:

· D = A ∩ B

· D = A / B

· D = A \ B

 

5. Интервал (-5, + ∞ ) есть множество:

· неограниченное.

· ограниченное

· замкнутое

 

6. Отрезок [-3, 2] есть множество:

· неограниченное

· ограниченное

· разомкнутое

 

7. Точная нижняя грань множества Х есть:

· наибольшее из чисел, ограничивающих множество сверху

· наибольшее из чисел ограничивающих множество снизу

· наименьшее из чисел ограничивающих множество снизу

 

 

Тема 2. Числовые последовательности

2.1. Основные понятия и примеры

Если каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие одно действительное число x_n , то множество действительных чисел {x₁, x₂, …, x_n, …} называется числовой последовательностью, или просто последователь­ностью. Числа x₁, x₂, x₃, … называются элементами или членами последовательности, а число x_n – общим элементом (членом) последовательности.

Последовательность считается заданной, если задана формула общего элемента последовательности, как некоторая функция от номера n.

 

ПРИМЕРЫ:

· арифметическая прогрессия: {2n – 1} = {1, 3, 5, 7, …}.

· геометрическая прогрессия: {2ⁿ} = {2, 4, 8, 16, …}.

· гармоническая последовательность: {1/n} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, …}.

 

Последовательность {x_n} называется возрастающей (убы­ваю­щей), если для каждого справедливо неравенство x_n < x_n+1 (x_n > x_n+1).

Последовательность {x_n} называется неубывающей (невоз­раста­ю­щей), если для каждого справедливо неравенство x_n ≤ x_n+1 (x_n ≤ x_n+1).

Все такие последовательности принято называть монотон­ными.

В приведенных выше примерах арифметическая и геометри­ческая прогрессии являются возрастающими последователь­но­стями, а гармоническая последовательность – убывающей.

 

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого числа A > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι x_n Ι > A.

 

Последовательность {α _n} называется бесконечно малой, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι α _n Ι < ε.

 

 

ПРИМЕРЫ:

1. Последовательность {n} = {1, 2, 3, …} будет бесконечно большой, т.к. какое бы большое число А мы не взяли (например, А = 1000), для него найдется номер N (например N = 1000) такой, что для всех номеров, превышающих этот номер, элементы последовательности будут больше этого заданного числа А (например, x₁₀₀₁ = 1001 > 1000 = A, x₁₀₀₂ = 1002 > 1000 = A и т.д.).

2. Последовательность {1/n} = {1, 1/2, 1/3, …} будет бесконечно малой, т.к. какое бы малое число ε мы не взяли (например, ε = 1/1000), для него найдется номер N (например, N = 1000) такой, что для всех номеров, превышающих этот номер, элементы последовательности будут меньше этого заданного числа ε (например, x₁₀₀₁ = 1/1001 < < 1/1000 = ε и т.д.).

 

Сумма, разность, произведение бесконечно малых последовательностей и произведение бесконечно малой последовательности на число будут являться также бесконечно малыми последовательностями.

Если последовательность {x_n} – бесконечно большая и все ее члены отличны от нуля, то последовательность {α _n} = {1/x_n} будет бесконечно малой. Справедливо и обратное утверждение.

 

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι x_n – a Ι < ε.

Неравенство Ι x_n – a Ι < ε можно переписать в следующем виде: a – ε < x_n < a + ε . Геометрически последние неравенства означают, что числа x_n принадлежат интервалу (а – ε, а + ε ). Поэтому понятие предела имеет следующую геометрическую интерпретацию: число а будет являться пределом последовательности {x_n}, если для любого интервала (а – ε, а + ε ) существует номер N такой, что для всех номеров, больших этого номера, соответствующие элементы последовательности обязательно будут принадлежать указанному интервалу.

Существование предела последовательности {x_n} обозначается следующим образом:

 

Бесконечно большие последовательности не имеют предела, поэтому принято считать, что они имеют бесконечный предел, и писать: .

 

Бесконечно малые последовательности имеют предел, равный нулю, т.е.: .

 

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет, или имеет бесконечный предел.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для всех элементов последовательности выполняется неравенство Ι x_n Ι < M.

 

Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел

 

Всякая сходящаяся последовательность ограничена

 

Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел

Для отыскания пределов различных последовательностей существуют полезные правила, справедливые только для сходящихся последовательностей.

Если , то:

1. .

2. .

3. .

4. при условии, что все b_n ≠ 0 и b ≠ 0.

 

Рекомендуемая литература по теме 2: [1 ÷ 2].

 

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 2:

1. Будет ли монотонной последовательность с одинаковыми членами?

 

 

 

 

2. Будут ли числа 0 и 1 пределами последовательности {0, 1, 0, 1, …}?

 

 

 

 

3. Можно ли из ограниченной последовательности {1/n} извлечь (выделить) бесконечно большую последовательность?

 

 

 

 

4. Пусть число 5 является пределом последовательности. Будет ли конечным число членов этой последовательности, содержащихся в интервале (3, 5; 4, 5)?

 

 

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. C.Для предоставления возможности сравнивать рыночные стоимости акций компаний одной отрасли
2. I. 2. ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ
3. I. Цифровой тест В. мегедь—А. Овчарова
4. II этап. Обоснование системы показателей для комплексной оценки, их классификация.
5. II. ТЕМЫ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
6. III. Источники для изучения Греческой церкви XVII в.
7. IV Методическая выставка - презентация. Итоговая аттестация слушателей
8. IV. Источники для изучения той же истории XVIII в.
9. IX. ЗНАЧЕНИЕ «УНИВЕРСАЛИЙ» КОСМОС, ВРЕМЯ, ПРОСТРАНСТВО И РЕАЛЬНОСТЬ ДЛЯ ПСИХОДРАМЫ
10. IX. Магическое заклинание для Дальнего путешествия
11. Teсm для проверки реальности соединения с высшим Я
12. V. Источники для изучения Греческой церкви XIX в.