ТЕОРЕТИКО – ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС

Стр 1 из 11Следующая ⇒

ТЕОРЕТИКО – ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС

«ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ»

Учебное пособие по курсу

«Математический анализ»

Москва

Рекомендовано к изданию

Решением Ученого совета ИМЭС

(Протокол № 4 от 27 ноября 2014 г.)

Настоящее учебное пособие разработал кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и информатики ИМЭС Налимов Валерий Николаевич.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов первого курса заочной формы обучения и по тематическому объему полностью соответствует требованиям рабочей программы учебной дисциплины «Математический анализ», которая, в свою очередь, полностью соответствует требованиям действующего федерального государственного образовательного стандарта по направлению 38.03.01 «Экономика».

Порядок изложения разделов, тем и основных подразделов тем в данном учебном пособии соответствует порядку, принятому в рабочей программе учебной дисциплины «Математический анализ». Однако нумерация тем и подразделов в настоящем пособии может отличаться от нумерации, принятой в учебном пособии [1].

По каждой теме и подразделу темы данное пособие содержит теоретический материал, изложенный в предельно сжатой форме (теоремы и аксиомы, математические факты, формулы и их следствия, имеющие практическую значимость), а также примеры использования этого материала для решения задач. В конце изложения теоретического материала каждой темы приведены вопросы для самопроверки знаний по этой теме курса. Некоторые темы курса заканчиваются вопросами в форме тестов.

После ознакомления с теоретическим материалом студенту следует кратко и четко ответить на вопросы, самостоятельно оценив и отобрав материал, изложенный в литературе, ссылки на которую приведены в конце каждой темы, или подраздела, а полный список литературы приводится в конце пособия. Ваши ответы должны быть размещены непосредственно в Вашем экземпляре пособия. Причем при тестовом варианте ответов на вопросы Вы должны поставить любой значок (крестик, галочку и т.п.) только в одном квадрате, соответствующем верному, на Ваш взгляд, ответу на поставленный вопрос.

Настоящее пособие может быть полезно студентам 1 курса заочного отделения, обучающимся по направлению 38.03.02 «Менеджмент», при подготовке к экзамену по курсу «Математика», а также студентам первого курса очного (дневного) и очно-заочного отделений ИМЭС, при подготовке к сдаче экзаменов по дисциплинам «Математический анализ» и «Математика».

ЛИСТ СТУДЕНТА

Фамилия ___________________________________

Имя ________________________________________

Отчество ____________________________________

Факультет ___________________________________

Курс _________________________________________

Группа _______________________________________

Дата начала работы: «_____» _____________ 20___ г.

Дата окончания работы «_____» ______________ 20___ г.

Личная подпись _________________________

ЛИСТ РЕЦЕНЗИИ

Рецензент ______________________

______________________

«_____» _______________ 20____ г.

Тема 1. Элементы теории множеств

Понятие множества

В математике все понятия делятся на первичные и определяемые через первичные, или уже известные. Первичные понятия не определяются, а, как правило, разъясняются на примерах.

Основным фундаментальным первичным понятием математики является понятие множества. Простейшими примерами множеств можно считать: множество студентов данного института, множество студентов 1 курса, множество всех натуральных чисел и т.д.

Таким образом, множество может содержать конечное или бесконечное количество однородных объектов произвольной природы, называемых элементами или точками.

Математические множества могут состоять из векторов, чисел, функций, матриц и других объектов. Множества обозначаются прописными буквами A, B, C и т.д. Элементы множества обозначаются строчными буквами a, b, c и т.д.

Если x есть элемент множества X, то пишут (х принадлежит Х). Запись означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.

Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А содержится в множестве В. Если , то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом , то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком Ø. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество называется конечным , если оно содержит конечное число элементов: А=(а₁, а₂, …, а_n). Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов.

Числовые множества задаются на оси действительных чисел, которую принято обозначать R. Наиболее часто используются следующие числовые множества: N – множество натуральных чисел, Z – целых чисел, Q – рациональных чисел, отрезок [a, b], интервал (a, b).

Если каждому элементу одного множества поставлен в соответствие один и только один элемент другого множества, то говорят, что между множествами установлено однозначное соответствие. Если такое соответствие установлено в обе стороны, то оно называется взаимно однозначным соответствием, а такие множества называют эквивалентными.

Счетное множество – это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N. Для того множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид: , где . Счетное множество иногда называют упорядоченным, а его элементы записывают в круглых скобках: .

Мощность конечных множеств определяется числом их элементов. Континуумом называется мощность множества действительных чисел.

Грани числовых множеств

Непустое множество Х называется ограниченным сверху, если существует число С такое, что для любого элемента выполняется неравенство x ≤ C. При этом число С называется верхней гранью множества Х.

Непустое множество Х называется ограниченным снизу, если существует число с такое, что для любого элемента выполняется неравенство x ≥ c. При этом число с называется нижней гранью множества Х.

Если множество ограничено и сверху и снизу, оно называется ограниченным. Ограниченное множество обладает верхней и нижней гранями.

Существуют множества, неограниченные снизу (сверху), или с обеих сторон.

ПРИМЕРЫ: Множество [2, 5] – ограниченное, т.к., по крайней мере, числа 2 и 5 являются гранями этого множества. Множество натуральных чисел N ограничено снизу (числом 1 и любым другим числом, меньшим 1) и не ограничено сверху, т.е. – неограниченное. Множество целых чисел Z не имеет граней с обеих сторон и является неограниченным.

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней, которые образуют множество чисел, ограничивающих это множество сверху (снизу). Возникает вопрос существования таких граней, которые были бы единственными и характеризовали рассматриваемое множество.

Точной верхней гранью множества Х называется наименьшее из чисел, ограничивающих множество сверху; обозначение sup X.

Точной нижней гранью множества Х называется наибольшее из чисел, ограничивающих множество снизу; обозначение inf X.

ПРИМЕРЫ: Для множества X = [3, 6] можно записать: sup X = 6 и inf X = 3. Для множества Y = [2, +∞ ) запишем: inf Y = 2, а точной верхней грани это множество не имеет, т.е. sup Y = +∞.

Свойство точной верхней (нижней) грани: как бы мало ни было число ε > 0, обязательно найдется число такое, что будет справедливо неравенство: x > sup X – ε (x < inf X + ε ).

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет свою точную верхнюю (нижнюю) грань.

Рекомендуемая литература по теме 1: [1 ÷ 2].

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι x_n – a Ι < ε.

Неравенство Ι x_n – a Ι < ε можно переписать в следующем виде: a – ε < x_n < a + ε . Геометрически последние неравенства означают, что числа x_n принадлежат интервалу (а – ε, а + ε ). Поэтому понятие предела имеет следующую геометрическую интерпретацию: число а будет являться пределом последовательности {x_n}, если для любого интервала (а – ε, а + ε ) существует номер N такой, что для всех номеров, больших этого номера, соответствующие элементы последовательности обязательно будут принадлежать указанному интервалу.

Существование предела последовательности {x_n} обозначается следующим образом:

Бесконечно большие последовательности не имеют предела, поэтому принято считать, что они имеют бесконечный предел, и писать:

Бесконечно малые последовательности имеют предел, равный нулю, т.е.:

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет, или имеет бесконечный предел.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для всех элементов последовательности выполняется неравенство Ι x_n Ι < M.

Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел

Всякая сходящаяся последовательность ограничена

Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел

Для отыскания пределов различных последовательностей существуют полезные правила, справедливые только для сходящихся последовательностей.

Если , то:

1. .

2. .

3. .

4. при условии, что все b_n ≠ 0 и b ≠ 0.

Рекомендуемая литература по теме 2: [1 ÷ 2].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 2:

1. Будет ли монотонной последовательность с одинаковыми членами?

2. Будут ли числа 0 и 1 пределами последовательности {0, 1, 0, 1, …}?

3. Можно ли из ограниченной последовательности {1/n} извлечь (выделить) бесконечно большую последовательность?

4. Пусть число 5 является пределом последовательности. Будет ли конечным число членов этой последовательности, содержащихся в интервале (3, 5; 4, 5)?

Понятие функции

Пусть X и Y – некоторые числовые множества. Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (x, y) таких, что: и каждое число х в одну и только одну пару этого множества, а каждое число y входит по крайней мере в одну пару этого множества. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число y и пишут y = f (x). Число y называют значением функции в точке x. Переменную y называют зависимой переменной, а переменную x – независимой переменной (или аргументом ); множество Х – областью определения функции, а множество Y – множеством значений функции.

Примерами функций, используемых в экономике, являются: функция спроса, которая выражает зависимость спроса на некоторый товар от его цены; функция предложения – выражает зависимость предложения некоторого товара от его цены; производственная функция – выражает зависимость объема выпускаемой продукции от объема перерабатываемого ресурса и т.д.

Задать функцию f (x) означает указать, каким образом для каждого значения аргумента х находить соответствующее ему значение функции y = f (x). Функции можно задавать:

· аналитически, т.е. с помощью формул;

· с помощью таблиц;

· графически.

ПРИМЕРЫ:

1. Зависимость между величиной дохода х и величиной спроса y на товары первой необходимости задается функцией Торнквиста, аналитическое задание которой имеет вид:

2. Налоговая ставка для конкретно выбранных доходов может быть задана таблицей:

Доход х, усл.ед.
Налоговая ставка y, %

3. Функция Торнквиста, приведенная в примере 1, может быть задана графически – рис. 1.

Рис. 1.

Над функциями, если они имеют общую область определения, можно производить различные арифметические операции: умножать функции на число или друг на друга; делить друг на друга; складывать, вычитать и т.д.

Если на некотором множестве Х определена функция z = φ (x) с множеством значений Z, а на множестве Z определена функция y = f (z), то функцию y = f [φ (x)] принято называть сложной функцией от х, или суперпозицией (наложением) функций φ (х) и f (z), а переменную z – промежуточной переменной сложной функции.

ПРИМЕР: Функция y = sin (x²) является сложной, поскольку она представляет собой суперпозицию двух функций y = f (z) = sin z и z = φ (x) = x².

Пусть Х и Y – некоторые числовые множества и пусть задана функция f, т.е. множество пар чисел (x, y) в смысле данного выше определения функции. Если в каждой паре этого множества числа х и y поменять местами, то получится множество пар чисел (y, x), которое называется обратной функцией φ к функции f, т.е. x = φ (y).

ПРИМЕР: Для функции y = x² при условии х ≥ 0 функция будет обратной функцией.

Если обратная функция однозначна, то множество значений Y функции f служит областью определения обратной функции φ , а область определения Х функции f – областью значений функции φ .

Функция y = f (x) и обратная ей функция x = φ (y) имеют один и тот же график в декартовой системе координат. Если для данного значения х₁ ищется (по графику) соответствующее ему значение y₁, то используемый график – график функции y = f (x). Если же для данного значения y₂ ищется соответствующее ему значение х₂, то та же линия является графиком функции x = φ (y) (рис. 2):

Рис. 2.

Классификация функций

Постоянная функция f (x) = С, степенная функция f (x) = x^α, показательная функция f (x) = a^x, логарифмическая функция f (x) = log_a x, тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x и обратные им функции: arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x называются простейшими элементарными функциями.

Все функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий и (или) конечного числа суперпозиций простейших элементарных функций составляют довольно обширный класс элементарных функций.

Класс элементарных функций, в свою очередь, может быть подразделен на подклассы: рациональных, иррациональных и трансцендентных функций.

Функции вида: P_m (x) = a₀ x^m + a₁ x^m^-1 + … + a_m_-1 x + a_m , где m ≥ 0 и целое число, а коэффициенты а с различными индексами – любые действительные числа и а₀ ≠ 0, называются целыми рациональными функциями или многочленами степени m. При этом, многочлен первой степени (m = 1) называется линейной функцией, а многочлен нулевой степени (m = 0) называется постоянной функцией.

Функции, представляющие собой отношение двух многочленов разных степеней, т.е. функции вида: R (x) = P_m (x)/Q_n (x) называются дробно-рациональными функциями .

Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует подкласс рациональных функций.

Функции, полученные с помощью конечного числа суперпозиций и (или) четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями, и не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Например, и т.д. Эти функции образуют подкласс иррациональных функций.

Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, относится к подклассу трансцендентных функций. Например, и т.д.

Примером неэлементарной функции является функция y = Ι xΙ, график которой представлен на рис. 3.

Рис. 3.

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f (x)называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.: .

ПРИМЕРЫ:

1. Функция y = x² будет непрерывной в точке х₀ = 2, поскольку выполнено условие определения: предел этой функции и ее значение в этой точке равны между собой и равны 4.

2. Функция y = 1/x не будет непрерывной в точке х₀ = 0, поскольку в этой точке не существует предел функции, а также не определена сама функция.

Сформулируем еще одно определение непрерывности функции в точке. Дадим аргументу х₀ приращение Δ х, тогда функция y = f (x) получит приращение Δ y = f (x₀ + Δ x) – f (x₀). Заметим, что в этом случае условия Δ х → 0 и х → х₀ будут равносильны.

Определение 2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и при приращении аргумента, стремящегося к нулю, приращение функции также стремится к нулю, т.е. .

Перечислим основные свойства функций, непрерывных в точке:

Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х₀, то функции: f (x) ± g (x), f (x)∙ g (x) и f (x)/g (x) (при условии g (x) ≠ 0) будут также непрерывными в точке х₀.

Если функция y = f (x) непрерывна в точке х₀ и f (x₀) ≠ 0, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция f (x) имеет тот же знак, что и f (x₀).

Если функция z = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция y = f (z) непрерывна в точке z₀ = φ (x₀), то сложная функция y = f [φ (x)] будет непрерывна в точке х₀.

Определение 3. Точка х₀ называется точкой разрыва некоторой функции, если в этой точке эта функция не является непрерывной.

Точки разрыва различных функций можно подразделить на точки разрыва двух родов.

Определение 4. Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f (x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу, правый и левый пределы.

ПРИМЕР: Для функции точка х₀ = 0 будет точкой разрыва первого рода, поскольку в этой точке правый и левый пределы этой функции существуют конечны, но не равны друг другу:

Определение 5. Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f (x), если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов, или хотя бы один из них бесконечен.

ПРИМЕР: Для функции точка х₀ = 0 будет точкой разрыва второго рода, поскольку:

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Можно показать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Функция y = f (x), заданная на отрезке [a, b] называется непрерывной на этом отрезке, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка, или в каждой точке интервала (a, b).

Перечислим основные свойства функций, непрерывных на отрезке:

Первая теорема Вейерштрасса

Если функция определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

Рекомендуемая литература по теме 3: [1 ÷ 3].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 3

1. Пусть левый предел функции . Может ли при этом быть справедливой запись: ?

2. Пусть предел функции . Может ли при этом быть справедливой запись: ?

3. Существует ли предел , если существуют пределы: ? Как в этом случае называется точка х₀?

4. Пусть функция непрерывна на отрезке [1, 3]. Может ли быть ?

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной функции равна нулю, т.е.

2. Производная аргумента равна единице, т.е.

Если заданы две дифференцируемые функции u = u (x) и v = v (x), то для них справедливы следующие правила:

3. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух функций равна:

5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

6. Производная частного двух функций (при условии v (x) ≠ 0) равна

7. Если функция x = φ (t) имеет производную в точке t₀, а функция y = f (x), в свою очередь, имеет производную в соответствующей точке x₀ = φ (t), то сложная функция y = f [φ (t)] имеет производную в точке t₀, которая вычисляется по формуле:

8. Если функция y = f (x) имеет в точке х₀ производную , то обратная ей функция x = φ (y) также имеет в соответствующей точке y₀ = f (x₀) производную, которая вычисляется по формуле:

Таблица производных элементарных функций

Функция y	Производная	Функция y	Производная



С
e^x	e^x

Примеры решения задач

Задача 1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке М (2, 4).

Решение. Любая прямая, проходящая через точку М, будет иметь уравнение: . Очевидно, что и касательная к графику рассматриваемой функции будет иметь такое же уравнение. Неизвестный нам угловой коэффициент k может быть найден, исходя из условия, что угловой коэффициент касательной численно равен значению производной функции, вычисленной в точке касания: . Таким образом, искомое уравнение можно записать в виде: 4x – y – 4 = 0.

Задача 2. Для функции спроса D (p) = 40 – 2p найдите эластичность спроса по цене при p = 4.

Решение. Используя формулу для эластичности функции, имеем:

Подставляя в эту формулу значения: , получим:

Полученный результат означает, что при возрастании цены на 1%, спрос упадет на 0, 25%, т.е. в рассматриваемом случае спрос будет неэластичным.

Теорема Ферма

Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в этой точке существует производная, то она равна нулю, т.е.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точках максимума и минимума функции касательная к ее графику горизонтальна, т.е. составляет нулевой угол с осью абсцисс.

Теорема Ролля

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f (a) = f (b), то существует хотя бы одна точка

такая, что

Теорема Лагранжа

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется такая точка

, в которой выполняется условие:

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если угловой коэффициент секущей М₁М₂ равен отношению приращения функции на отрезке [a, b] к длине этого отрезка, то на интервале (a, b) обязательно найдется такая точка c, что касательная, проведенная к графику функции в точке М₀ (c, f (c)), будет иметь такой же угловой коэффициент, как у секущей (рис. 6).

Рис. 6.

Правило Лопиталя

Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в точке х₀ и выполняется равенство: , то справедлива формула:

Приведенную формулу можно сформулировать в виде правила Лопиталя:

Предел частного двух дифференцируемых функций в случае неопределенности вида {0/0} равен пределу частного производных этих функций, если этот предел существует.

Это правило остается верным и в случае, когда и , а также и в том случае, когда под знаком предела имеется неопределенность вида: , т.е.:

ПРИМЕР:

Поскольку неопределенности вида могут быть сведены к неопределенностям вида , то к раскрытию таких неопределенностей также можно применять правило Лопиталя. Кроме того, правило Лопиталя после логарифмирования можно применять для раскрытия неопределенностей видов .

Эскиза ее графика

Исследование заданной функции y = f (x) и построение эскиза ее графика целесообразно проводить по следующей схеме.

1). Найти область определения (существования) функции, а также точки разрыва функции, если таковые имеются.

2). Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3). Определить вид функции (четная, нечетная, периодическая, общего вида) в целях упрощения построения эскиза ее графика.

4). Найти асимптоты графика функции, если таковые имеются. Рекомендуется отыскивать их в следующей последовательности: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

5). Вычислить первую производную функции f′ (x). Решив уравнение f′ (x) = 0, найти стационарные точки (точки возможного экстремума). Исследуя знаки производной на различных промежутках и в окрестностях стационарных точек, найти участки монотонности функции и точки экстремума, если таковые имеются.

6). Вычислить вторую производную функции. Решив уравнение f″ (x) = 0, найти критические точки (точки возможного перегиба). Исследуя знаки второй производной на различных промежутках и в окрестностях критических точек, найти участки постоянства направлений выпуклости и точки перегиба графика функции, если таковые имеются.

7). Вычислить значения функции в найденных точках экстремума и перегиба, а также, при необходимости, и в некоторых добавочных точках.

8). По результатам исследования, т.е. после выполнения п.п. 1 ¸ 7, построить эскиз графика функции.

ПРИМЕР: По приведенной выше схеме провести исследование и построить эскиз графика функции: .

Решение. 1). Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, за исключением точек х = − 2 и х = 2 в которых знаменатель обращается в нуль. Нетрудно убедиться в том, что исключенные точки являются точками разрыва второго рода.

2). Поскольку при x = 0 и y = 0, график функции пересекает обе оси координат сразу в единственной точке – начале координат.

3). Поскольку числитель и знаменатель выражения для функции содержат только квадраты аргумента, данную функцию следует считать четной, т.е. ее график должен иметь осевую симметрию относительно оси ординат.

4). Для нахождения асимптот вначале используем результаты выполнения п. 1, т.е. факт, что точки и являются точками разрыва второго рода. Это означает, что график нашей функции имеет две вертикальные асимптоты с уравнениями: и .

Для отыскания горизонтальных асимптот с учетом четности заданной функции вычислим предел: Это означает, что график нашей функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением

Поскольку найдена горизонтальная асимптота поиски наклонной асимптоты, как отмечалось выше, смысла не имеют.

5). Для нахождения стационарных точек (точек возможного экстремума) вычислим первую производную нашей функции:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒