Предел функции в точке и в бесконечности

Пусть функция y = f (x) определена на некотором множестве Х, а некоторое число х₀ принадлежит этому множеству, или не принадлежит ему.

Определение 1. Число А называется пределом функции f (x) в точке х₀ (или при х→ х₀), если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента {x_n}, отличных от х₀, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к числу А. При этом записывают:

ПРИМЕР: Предел функции y = x² в точке х₀ = 2 равен 4, или:

 

Определение 2. Число А называется правым (левым) преде­лом функции f (x) в точке х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента, элементы x_n которой больше (меньше) числа х₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Приняты следующие обозначения таких пределов: правый предел ; левый предел

ПРИМЕР: Для функции определенной для всех х ≠ 0 на основании определения модуля имеем:

 

 

Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны между собой. В этом случае предел функции в точке равен односторонним пределам в этой же точке.

ПРИМЕР: Функция, рассмотренная в предыдущем примере, в точке х₀ = 0 предела не имеет, поскольку существующие правый и левый пределы этой функции в этой точке не равны между собой.

 

Можно определить предел функции в точке и другим способом на языке (ε, δ ).

 

 

Определение 3. Число А называется пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее от ε ) такое, что для всех и удовлетворяю­щих неравенству , выполняется неравенство .

Геометрический смысл этого определения состоит в том, что если число А является пределом функции f (x) в точке х₀, то для всех значений аргумента х, содержащихся в δ – окрестности точки х₀, соот­ветствующие значения функции попадут в ε – окрестность числа А (рис. 4):

Рис.4.

 

Определение 4. Предел функции y = f (x) в точке х₀ равен +∞ (− ∞ ), если для любой последовательности {x_n} значений аргумента, сходящейся к х₀, соответствующая последовательность значений функции {f (x_n)} является бесконечно большой, т.е. имеет своим пределом + ∞ (− ∞ ).

Аналогично определяются правый и левый бесконечные пределы функции в точке.

 

ПРИМЕРЫ: Для функции имеем: . Для функции можно записать: .

 

Определение 5. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

 

ПРИМЕР: Для функции в соответствии с определением можно записать .

 

Для пределов функций выполняются следующие важные для практического применения свойства:

 

Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке х0 пределы, равные В и С, и а – любое число. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)∙ g (x), a∙ f (x) и f (x)/g (x) (при С ≠ 0) имеют в точке х0 пределы, соответственно равные: В ± С, В∙ С, аВ и В/С.

 

Пусть функции f (x), g (x) и h (x) определены в некоторой окрестности точки х0 и для всех х из этой окрестности выполняются неравенства f (x) ≤ g (x) ≤ h (x). Тогда, если функции f (x) и h (x) имеют в точке х0 предел равный А, то и предел функции g (x) в этой точке будет равен А.

 

Существуют два стандартных предела, которые традиционно называются замечательными.

Первый замечательный предел: .

ПРИМЕР применения:

Второй замечательный предел: .

ПРИМЕР применения:

 

 

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f (x)называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.: .

 

ПРИМЕРЫ:

1. Функция y = x² будет непрерывной в точке х₀ = 2, поскольку выполнено условие определения: предел этой функции и ее значение в этой точке равны между собой и равны 4.

2. Функция y = 1/x не будет непрерывной в точке х₀ = 0, поскольку в этой точке не существует предел функции, а также не определена сама функция.

 

Сформулируем еще одно определение непрерывности функции в точке. Дадим аргументу х₀ приращение Δ х, тогда функция y = f (x) получит приращение Δ y = f (x₀ + Δ x) – f (x₀). Заметим, что в этом случае условия Δ х → 0 и х → х₀ будут равносильны.

 

Определение 2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и при приращении аргумента, стремящегося к нулю, приращение функции также стремится к нулю, т.е. .

Перечислим основные свойства функций, непрерывных в точке:

 

Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х0, то функции: f (x) ± g (x), f (x)∙ g (x) и f (x)/g (x) (при условии g (x) ≠ 0) будут также непрерывными в точке х0.

 

Если функция y = f (x) непрерывна в точке х0 и f (x0) ≠ 0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция f (x) имеет тот же знак, что и f (x0).

 

Если функция z = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция y = f (z) непрерывна в точке z0 = φ (x0), то сложная функция y = f [φ (x)] будет непрерывна в точке х0.

 

Определение 3. Точка х₀ называется точкой разрыва некоторой функции, если в этой точке эта функция не является непрерывной.

 

Точки разрыва различных функций можно подразделить на точки разрыва двух родов.

 

Определение 4. Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f (x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу, правый и левый пределы.

 

ПРИМЕР: Для функции точка х₀ = 0 будет точкой разрыва первого рода, поскольку в этой точке правый и левый пределы этой функции существуют конечны, но не равны друг другу:

 

Определение 5. Точка х₀ называется точкой разрыва второ­го рода функции f (x), если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов, или хотя бы один из них бесконечен.

 

ПРИМЕР: Для функции точка х₀ = 0 будет точкой разрыва второго рода, поскольку:

 

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Можно показать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Функция y = f (x), заданная на отрезке [a, b] называется непре­рывной на этом отрезке, если она непрерывна в каждой внутрен­ней точке этого отрезка, или в каждой точке интервала (a, b).

Перечислим основные свойства функций, непрерывных на отрезке:

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. E) граждане РК, находящиеся за пределами страны
3. I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ФУНКЦИИ МИОКАРДА
4. III. Вегетативные функции НС.
5. IV. Порядок разработки дополнительных противопожарных мероприятий при определении расчетной величины индивидуального пожарного риска
6. PEST-анализ макросреды предприятия. Матрица профиля среды, взвешенная оценка, определение весовых коэффициентов. Матрицы возможностей и матрицы угроз.
7. Rк- определяет максимальный ток коллектора транзистора, создает нагрузку коллекторной цепи и своей величиной влияет на коэффициент усиления каскада.
8. Xlabel('Значения x'); ylabel('Значения функции'), grid
9. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения.
10. Анализ баланса реактивной мощности на границе раздела энергоснабжающей организации и потребителя, и при необходимости определение мощности батарей конденсаторов для сети напряжением выше 1 кВ
11. Анализ распределения и использования прибыли
12. Анализ распределения и использования прибыли