Необходимый признак экстремума

Задача поиска подходящей эмпирической формулы обычно разбивается на два основных этапа. На первом этапе устанавливают, или выбирают, общий вид такой зависимости y = f (x), т.е. решают, является ли данная зависимость линейной, квадратич­ной, показательной, логарифмической и т.д. При таком выборе часто привлекаются дополнительные соображения, как правило, нематематического характера. На втором этапе находят неизвестные параметры выбранной эмпирической функции, используя только массив экспериментально получен­ных данных.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров эмпиричес­кой функции f (x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов “невязок” δ _i (отклонений “теоретических” значений функции от экспериментально полу­ченных значений) была бы минимальной, т.е.:

,

где и - экспериментальные данные, а n – общее количество пар этих данных.

Рассмотрим простейшую задачу такого рода. Пусть в качестве эмпири­чес­кой функции выбрана линейная функция, т.е. (рис. 22), и необ­ходимо найти такие значения параметров a и b, которые доставят минимум функции: .

Рис. 22.

Очевидно, функция будет функцией двух переменных a и b до тех пор, пока не найдены и не зафиксированы их “наилучшие” значе­ния, поскольку все и есть постоянные числа, найденные экспериментально. Поэтому для нахождения параметров прямой, наилучшим образом согласован­ной с опытными данными, достаточно решить систему уравнений:

После соответствующих вычислений производных и тождест­венных преобразований эта система может быть пред­став­­лена в виде системы нормальных уравнений:

Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:

;

Таким образом, наилучшим линейным приближением экспериментальной зависимости по методу наименьших квадратов будет являться прямая .

ПРИМЕР: Зависимость между прибылью предприятия Y и стои­мостью основных фондов Х, выраженных в условных единицах, задается таблицей.

Для выяснения вида эмпирической формулы связи построим график экспериментальной зависимости (кружки на рис. 23). По расположению экспериментальных точек на графике можно предположить, что зависимость между Х и Y является линейной, т.е. имеет вид:

Рис. 23.

Для определения числовых значений параметров а и b проведем расчет коэффициентов системы нормальных уравнений, а для удобства сведем вычисления в таблицу.

По данным таблицы:

Подставляя найденные значения (с учетом того, что n = 7) в формулы для расчета параметров а и b, найдем:

Таким образом, эмпирическая зависимость имеет вид (на рис. 23 изображена сплошной прямой): y = 0, 557x – 5, 143.

Рекомендуемая литература по теме 6: [1 ÷ 3].

ВОПРОСЫ для самоконтроля знаний по теме 6:

1. Задает ли уравнение функцию нескольких переменных?

____________________________________________________________

2. Является ли функция непрерывной?

____________________________________________________________

3. В некоторой точке М частная производная по х функции y = f (x, y) равна нулю. Можно ли утверждать, что точка М является точкой экстремума этой функции?

____________________________________________________________

4. Пусть в стационарной точке Δ > 0 и вторая частная производная по х положительна. Какой экстремум будет иметь место в этой точке?

____________________________________________________________

5. Будет ли точка (0, 0) точкой экстремума функции ?

____________________________________________________________

6. Можно ли построить аппроксимирующую функцию по методу наименьших квадратов, если известны всего два наблюдения ?

____________________________________________________________

Тема 7. Бесконечные ряды

ПРИМЕР: Как известно из школьного курса алгебры, сумма n членов геометрической прогрессии определяется формулой:

Очевидно, что если ½ q½ < 1, то и , а числовой ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, называемый геометрическим рядом, сходится. Если же ½ q½ ³ 1, то , и геометрический ряд расходится.