Несобственные интегралы от неограниченных функций

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 11Следующая ⇒

Пусть функция y = f (x) непрерывна, но не ограничена, на полуинтервале [a, b), т.е. точка х = а является для нее точкой разрыва второго рода. Тогда можно дать следующее определение.

Определение. Несобственным интегралом от неограниченной на полуинтервале [a, b) функции f (x) называется предел:

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

ПРИМЕР:

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной, но неограниченной, на полуинтервале (a, b] функции f (x):

ПРИМЕР:

Рекомендуемая литература по теме 5: [1 ÷ 3].

ТЕСТ для самопроверки знаний по теме 5

1. Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна:

· подынтегральному выражению

· подынтегральной функции

· дифференциалу подынтегральной функции

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен:

· сумме этой функции и произвольной постоянной

· сумме производной этой функции и произвольной постоянной

· произведению этой функции и произвольной постоянной

3. Неопределенный интеграл равен:

4. Неопределенный интеграл равен:

5. Формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов принято записывать в виде:

6. Определенный интеграл равен:

· 0.

· 1.

· 2.

7. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций: f (x) = 0 и g (x) = - x², заданных на отрезке [0, 1], равна:

· 1.

· 1/3.

· 3.

8. Несобственный интеграл :

· расходится

· сходится и равен (− 1)

· сходится и равен 1

9. Несобственный интеграл :

· сходится и равен 3/2

· расходится

· сходится и равен 1

Тема 6. Функции нескольких переменных

6.1. Основные понятия и определения

Пусть Х – некоторое счетное множество точек (х₁, х₂, …, x_n) пространства Rⁿ.

Функцией нескольких переменных (n переменных) называется соответствие (закон) f, согласно которому каждой точке множества Х сопоставляется определенное число z. Такое соответствие записывается в виде z = f (x₁, x₂, …, x_n). При этом множество Х называется областью определения функции f.

Для наглядности и простоты изложения в рамках этой темы мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных (n = 2), хотя все основные понятия достаточно легко обобщаются на случай любого конечного числа переменных.

Функцию двух переменных z = f (x, y) можно изобразить графически, вычисляя для каждой точки (x, y) области ее определения Х значение функции z. В этом случае мы получим некоторую совокупность точек трехмерного пространства (x, y, z), которая и будет являться графиком функции. В самом общем случае график функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Например, на рис. 19 приведен график функции двух переменных z = x² + y².

Рис. 19.

ПРИМЕРЫ:

1. Многомерная функция полезности z = f (x₁, x₂, …, x_n) есть числовая оценка определенным индивидом полезности набора приобретенных им n товаров.

2. Производственная функция Кобба-Дугласа: , где А, α и β – неотрицательные константы, х₁ – объем производственных фондов, х₂ – объем трудовых ресурсов, z – объем выпуска продукции.

График функции двух переменных представляет собой значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Чаще всего, графическое представление на плоскости достаточно сложной поверхности – графика функции встречает серьезные трудности, а самое главное, не обладает достаточной информативностью. Поэтому для изучения свойств функций двух переменных вместо графика используют так называемые линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y) называется множество точек плоскости Oxy таких, что во всех этих точках значение функции равно постоянной величине С, Число С в этом случае называется уровнем.

Фактически линии уровня представляют собой «срезы» (сечения) поверхности графика функции плоскостями с уравнениями f (x, y) = C, параллельными плоскости Oxy. Для примера на рис. 20 приведены линии уровня для некоторой функции двух переменных.

Рис. 20.

Предел и непрерывность

Для дальнейшего нам понадобится понятие δ – окрестности точки на плоскости Oxy.

Для любого числа δ > 0 δ – окрестностью точки (x₀, y₀) называется множество всех точек плоскости (x, y), для которых выполняются неравенства и .

Число А называется пределом функции z = f (x, y) при x→ x₀ и y→ y₀ (или в точке M₀(x₀, y₀)), если для любого числа ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех точек M(x, y), лежащих в δ – окрестности точки М₀, выполняется неравенство . Обозначается этот предел: .

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x₀, y₀), если предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке, т.е.:

ПРИМЕР: Линейная функция является непрерывной в любой точке (x₀, y₀).

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8910 11 Следующая ⇒