Исследование цепи однофазного синусоидального тока при последовательном соединении резистора, катушки индуктивности и батареи конденсаторов.

· Общие сведения

Рассмотрим цепь синусоидального тока с последовательным соединением R, L, C-элементов изображенную на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Эквивалентная схема замещения цепи синусоидального тока

с последовательным соединением R, L, C - элементов

Согласно второму закону Кирхгофа [1] комплексное напряжение , приложенное к входным зажимам цепи рис. 3.14, равно алгебраической (векторной) сумме комплексных напряжений на резистивном , индуктивном и емкостном элементах:

, (3.15)

где ; ; – комплексные напряжения на активном R, индуктивном X_L и емкостном X_C сопротивлениях, соответственно.

Из этих выражений получим формулу закона Ома в комплексной форме для цепи синусоидального тока с последовательным соединением R, L, C-элементов:

.

Отсюда ток в последовательной цепи

где Z = R+j(X_L-X_C) – комплексное сопротивление рассматриваемой цепи.

Величина общего реактивного сопротивления цепи

X = ç X_L – X_Cç. (3.16)

Комплексное сопротивление Z можно представить в показательной форме:

Здесь

(3.17)

– модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением цепи. Аргумент комплексного сопротивления, равный углу сдвига фаз между напряжением и током j = y_u–y_i, определяетсячерез составляющие сопротивлений цепи:

Знак угла сдвига фаз определяется знаком реактивного сопротивления
X = X_L – X_C. Если X_L > X_C, то участок цепи с R, L, C-элементами имеет активно-индуктивный характер, и при этом ток отстает по фазе от напряжения на угол j. При соотношении сопротивлений X_L < X_C нагрузка имеет активно-емкостной характер и ток опережает напряжение на фазовый угол j.

Построение векторных диаграмм

Векторная диаграмма тока и напряжений цепи с последовательным соединением элементов R, L и С (рис. 3.14) строится по (3.15), в соответствии со вторым законом Кирхгофа [1].

По этому закону комплекс (вектор) общего или входного напряжения определяется через алгебраическую сумму комплексных величин напряжений , , или геометрическую сумму векторов падений напряжений , , на отдельных элементах цепи, как показано на рис. 3.15.

а) б)

Рис. 3.15. Векторная диаграмма тока и напряжений для цепи с последовательным
соединением R, L, C - элементов

а) – активно-индуктивная нагрузка (U_L> U_C); б) – активно-емкостная нагрузка (U_L< U_C)

Векторная диаграмма строится по правилам, изложенным в разд. 1.4. Построение векторной диаграммы следует начинать с базового вектора тока , так как он является общим для всех трех последовательно соединенных R, L, C-элементов (рис. 3.14).

Далее откладываются векторы падений напряжений на отдельных элементах цепи в соответствии с элементарными векторными диаграммами, изображенными на рис. 3.1– рис. 3.3 (см. разд. 3.1). Вектор напряжения на активном сопротивлении R при этом совпадает с вектором тока , так как резистивный элемент не вызывает сдвига фаз между напряжением и током. Вектор напряжения на участке с индуктивным элементом L опережает ток по фазе на угол p / 2 (вектор повернут на этот угол относительно вектора тока против часовой стрелки ). Вектор напряжения на участке с емкостным элементом C отстает от тока на угол p / 2 (вектор повернут на этот угол относительно вектора тока по часовой стрелке ). Вектор полного (входного) напряжения определяют, исходя из формулы (3.15), как геометрическую сумму векторов , , по правилам сложения векторов, изложенным в Приложении 4. Из рис. 3.15 видно, что к концу вектора пристраивают вектор. . Вектор полного напряжения , равный геометрической сумме векторов соединяет начало первого вектора с концом последнего вектора .

Векторная диаграмма напряжений на рис. 3.15, а построена для случая, когда
U_L > U_C, и ток в цепи отстает по фазе от полного напряжения на угол j ( активно-индуктивный характер нагрузки ), а на рис. 3.15, б U_L < U_C и ток в цепи опережает по фазе напряжение на угол j ( активно-емкостной характер нагрузки ).

Из рис. 3.15 видно, что векторная диаграмма составляющих полного напряжения с последовательным соединением R, L, C-элементов имеет вид прямоугольного треугольника. Гипотенуза треугольника напряжений равна полному напряжению U, а катеты треугольника – активной составляющей
U_а = U_R = RI и реактивной составляющей U_P = U_LC =ç U_L–U_Cç = ç X_L – X_Cç I полного напряжения U. Реактивная составляющая напряжения U_Р опережает по фазе ток на угол p / 2 при активно-индуктивной нагрузке (рис. 3.15, а) и отстает по фазе от тока на угол p / 2 при активно-емкостной нагрузке (рис. 3.15, б).

Из векторных диаграмм (рис. 3.15) легко получаются формулы, связывающие модули напряжений на отдельных участках цепи, а также формулу угла сдвига фаз между напряжением и током:

U_а = U_R = Ucosj;

cosj = U_R/U;

U_Р = U_LC = ç U_L – U_Cç = Usinj; (3.18)

Формулы (3.18) показывают, что угол сдвига фаз между током и напряжением питающей сети зависит от характера сопротивлений, включенных в цепь синусоидального тока. Так, при X_L > X_C угол j > 0, и напряжение опережает ток на этот угол ( активно-индуктивная нагрузка ), а при X_L< X_C j < 0, и напряжение отстает по фазе от тока ( активно-емкостная нагрузка ).

Если составляющие напряжений U, Ua = U_R, U_LC = ç U_L – U_Cç = U_P, образующие на векторной диаграмме рис. 3.15 треугольник векторов напряжений, разделить на ток I, то на основании закона Ома получим три составляющие сопротивлений Z, R, X. Из них может быть получен прямоугольный треугольник сопротивлений (рис. 3.16), подобный треугольнику напряжений.

Рис. 3.16. Треугольник сопротивлений для цепи с последовательным соединением
R, L, C-элементов (при X_L> X_C)

Из треугольника сопротивлений получаются формулы, выражающие связь между сопротивлениями R, X_L и X_C, а также формулы полного сопротивления Z, угла сдвига фаз j и коэффициента мощности cosj:

R = Z cosj;

X = ç X_L–X_C ç = Z sinj;

;

cosj = ; (3.19)

sinj= ;

j = arctg .

Все эти формулы были приведены выше, но из треугольника сопротивлений они легко получаются и, благодаря этому, лучше запоминаются.

Формулы (3.19) показывают, что полное сопротивление Z цепи синусоидального тока зависит не только от параметров цепи R, L и С, но и от частоты w = 2pfпитающего напряжения подведенного к зажимам цепи, поскольку от этой частоты зависят индуктивное X_L и емкостное Х_С сопротивления:

X_L = wL; Х_С = 1/wС.

Умножив сопротивления R, X, Z, составляющие треугольник сопротивлений (рис. 3.16) на квадрат тока I² в цепи с последовательным соединением
R, L, C-элементов, получим составляющие мощностей P, Q, S, образующие треугольник мощностей (рис. 3.17), подобный треугольнику сопротивлений.

Рис. 3.17. Треугольник мощностей для цепи с R, L, C-элементами

Гипотенуза треугольника мощностей равна полной мощности S, а его катеты равны активной мощности Р и реактивной мощности Q. Активная мощность равна произведению действующего значения напряжения U на действующее значение тока I и на косинус угла сдвига фаз между напряжением и током:

P = UIcosj. (3.20)

Поскольку активная мощность выделяется на резисторе с активным сопротивлением R, а напряжение на этом сопротивлении U_R и ток I, текущий через него, совпадают по фазе (рис. 3.15), то активную мощность можно определить по формулам, аналогичным при определении активной мощности в цепях постоянного тока:

P = IU_R = I²R = (U_R)²/R (3.21)

Активная мощность измеряется в ваттах (Вт) и киловаттах (кВт). При этом 1 кВт = 10³ Вт.

Характеристики мощностей и коэффициента мощности

Активная мощность Р – это средняя за период мощность, выделяемая на резистивных элементах в цепи с синусоидальными напряжениями и токами. Она характеризует интенсивность однонаправленной передачи энергии от источника к электроприемнику и ее необратимое преобразование в другие виды энергии, в частности, в тепловую энергию [1]. В этом заключается физическая сущность активной мощности.

Реактивная мощность Q обусловлена наличием в цепи индуктивности и (или) емкости и рассчитывается по формулам:

Q= UI sinj, или Q = I²X, (3.22)

где X = ç X_L – X_Cç – реактивное сопротивление цепи.

Единица измерения реактивной мощности – ВАр (вольт-ампер реактивный) или кВАр (киловольт-ампер реактивный. При этом 1 кВАр = 10³ ВАр.

Если индуктивный и емкостной элементы соединены последовательно, как на рис. 3.13, то

Q = ç Q_L – Q_Cç, (3.23)

то есть полная реактивная мощность цепи синусоидального тока равна модулю разности реактивной индуктивной Q_L и реактивной емкостной Q_C мощностей.

Индуктивная мощность Q_L характеризует интенсивность обмена электроэнергией между источником питания и индуктивным элементом L, а емкостная мощность Q_C определяет обмен энергией между источником питания и емкостным элементом С.

Если индуктивный и емкостной элементы находятся в одной цепи, то они могут обмениваться электроэнергией не только с источником, но и друг с другом.

В этом случае имеет место процесс колебания энергии, но необратимых преобразований энергии нет (если пренебречь сравнительно небольшими потерями энергии в поводах катушки индуктивности и в соединительных проводниках между L и С). Мощность энергии, колеблющейся между источником и электроприемником и не преобразующейся в другие виды энергии, называется реактивноймощностью Q.

Полной мощностью S цепи синусоидального тока с R, L, C-элементами называют максимально возможную мощность при заданном входном напряжении U и общем токе I цепи. Максимальная мощность получается при cosj =1, то есть когда угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю (cos 0˚ = 1):

S = UI или S = I²Z = U²/Z, (3.24)

где Z – полное сопротивление цепи.

Размерности активной мощности Р и полной мощности S совпадают, но для отличия полной мощности от других мощностей ее единицу называют вольт-ампер (ВА). В практике используют более крупные единицы полной мощности: киловольт-ампер (кВА), причем 1 кВА=10³ ВА.

Коэффициентом мощности называется отношение активной мощности Р к полной мощности S, которое является безразмерной величиной и принимает значения в интервале от 0 до 1:

cosj=P/S. (3.25)

Коэффициент мощности имеет большое практическое значение: он показывает, какая часть полной мощности является активной, то есть какая часть электрической энергии необратимо преобразуется в другие виды энергии и, в частности, используется на выполнение полезной работы.

Из треугольника мощностей можно установить взаимосвязь между активной Р, полной S и реактивной Q мощностями и коэффициентом мощности cosj:

P = S cosj= UI cosj;

Q = S sinj = UI sinj;

S = UI = ; (3.26)

cosj=

Формулу полной мощности цепи синусоидального тока с R, L, C-элементами можно записать в комплексной форме [1]:

где – сопряженное значение комплексного тока, отличающееся от комплексного тока обратным знаком аргумента.

Если в цепи преобладает индуктивность (j > 0), то = P + jQ_L, а если преобладает емкость (j < 0), то = P – jQ_C.

· Содержание работы

Лабораторная работа делится на четыре части:

1. Подготовительная часть.

2. Измерительная часть (проведение опытов и снятие показаний приборов).

3. Расчетная часть (определение расчетных величин по формулам).

4. Оформительская часть (построение векторных диаграмм).

Примечание

Электромонтажные работы по исследованию цепи с последовательным соединением R, L, C-элементов на модернизированном лабораторном стенде ЭВ-4 с собранной цепью последовательно соединенных электроприемников не проводятся, в отличие от работ на старых стендах (см. в [2] – Работа 2а, п.2. Электромонтажная часть).

1. Подготовительная часть

Подготовка к проведению лабораторной работы включает:

1.. Изучение теоретической части настоящего пособия и литературы [1, 2, 3, 4], относящихся к теме данной работы.

2.. Предварительное оформление лабораторной работы в соответствии с существующими требованиями [2, 3].

В результате предварительного оформления лабораторной работы №2а в рабочей тетради или журнале (на листах формата А4 с компьютерной распечаткой) студентом должен быть заполнен титульный лист, в работе должны быть указаны название работы и ее цель, приведены основные сведения по работе, взятые из раздела выше и формулы, необходимые для вычисления расчетных величин, представлены принципиальные и эквивалентные схемы замещения, заготовлены таблицы, соответственно числу опытов в работе.

Кроме этого, должно быть оставлено свободное место для построения векторных диаграмм.

2. Измерительная часть

Необходимые измерения параметров исследуемой цепи однофазного тока с последовательным соединением электроприемников проводятся с помощью принципиальной схемы (рис. 3.18). Данная схема соответствует панели модернизированног стенда ЭВ-4 [4] с аналогичной мнемосхемой и цифровыми измерительными приборами (см. фото на рис. 3.19).

1. Перед подачей питания к исследуемой цепи на панели стенда с мнемосхемой (рис. 3.19) перевести все выключатели (S₁ ÷ S₆, S'₁ ÷ S'₆), расположенные на этой панели, в нижнее положение (состояние – «откл»).

2. Подключить лабораторный автотрансформатор (ЛАТР) (рис.3.18), установленный на горизонтальной панели блока питания (см. рис. 3.20) к сетевому напряжению (~220 В), нажав черные кнопки «вкл» выключателей. При этом загораются две сигнальные лампы «сеть». После этого нужнообязательноповернуть ручку регулятора ЛАТРАа против часовой стрелки до упора, тем самым, снизив напряжение на его выходе до нуля.

Рис. 3.18. Принципиальная схема цепи синусоидального тока с последовательно

соединенными электроприемниками

3. Подать регулируемое напряжение от ЛАТРа ко входу исследуемой цепи и подключить цифровые измерительные приборы, установив на панели стенда с мнемосхемой (рис. 3.19) кнопки выключателей (S₁, S'₁) в положение «вкл». При этом должны засветиться зеленые цифры на электроизмерительных приборах.

Рис. 3.19. Паналь модернизированного стенда СБ-4 с цифровыми измерительными приборами и
мнемосхемой для лабораторой работы 2а «Однофазная цепь
с последовательно соединенными электроприемниками.

4. Плавным поворотом по часовой стрелке ручки регулятора ЛАТРа (рис. 3.20) установить напряжение U на входе цепи порядка 80 ÷ 100 В, контролируя его цифровым вольтметром V (прибор ЩП02М, установленный слева на панели стенда – рис. 3.19). Это напряжение должно оставаться неизменным для обоих опытов. При этом ручку регулируемого сопротивления R на панели стенда установить в среднее положение.

5. В процессе исследования цепи с последовательно соединенными электроприемниками провести два опыта. Для этого следует выполнить следующее:

5.1. В первом опыте – исследование последовательной цепи с меньшей емкостью конденсатора – вначале следует установить общую емкость конденсаторов порядка С = 40 ÷ 80 мкФ нажатием соответствующих черных кнопок выключателей рядом с подключаемыми конденсаторами на панели №4 стенда с мнемосхемой батареи конденсаторов (рис. 3.21).

5.2. Подключить данную цепь к источнику питания (выходу ЛАТРа) с помощью выключателей (S₂ ÷ S₆, S'₂ ÷ S'₆), переведя кнопки этих выключателей в верхнее положение «вкл» (рис. 3.19).

5.3. Измерить входное напряжение U, потребляемую активную мощность Р и протекающий через последовательную цепь ток I, соответственно цифровыми измерительными приборами: вольтметром V, ваттметром W и амперметром А (см. принципиальную схему на рис. 3.18 и панель стенда на рис. 3.19).

5.4. Напряжение на батарее конденсаторов U_С и напряжение на катушке индуктивности с параметрами R_K, L_K измерить цифровыми вольтметрами, соответственно V_C и V_K, установленными на панели стенда (см. рис. 3.19).

5.5. Полученные результаты измерений первого опыта занести в таблицу 3.3.

Рис. 3.20 Панель блока питания лабораторного стенда СБ-4

Рис. 3.21. Панель №4 стенда СБ-4 с мнемосхемами батареи конденсаторов
и катушки индуктивности

5.6. В конце 1-го опыта отключить цепь от источника питания с помощью выключателей S₁, S'₁, переведя кнопки этих выключателей в нижнее положение «откл» (рис. 3.19).

5.7. Во втором опыте – исследование последовательной цепи с бó льшей емкостью конденсатора установить емкость батареи конденсаторов порядка
С » 160 ÷ 200 мкФ нажатием соответствующих черных кнопок выключателей рядом с подключаемыми конденсаторами на панели №4 стенда с мнемосхемой батареи конденсаторов.

5.8. Вновь подключить цепь к источнику питания с помощью выключателей S₁, S'₁, переведя кнопки этих выключателей в верхнее положение «вкл» (рис. 3.19).

5.9. Поддерживая с помощью ЛАТРа неизменным входное напряжение U (оно должно быть как в первом опыте), провести необходимые измерения, аналогично пунктам 5.3 и 5.4.

5.10 Полученные результаты измерений второго опыта занести в таблицу 3.3.

5.11. После проведения измерительной части работы, результаты измерений, относящиеся к данной работе, предъявляются преподавателю или учебному мастерудо отключения стенда.

5.12. В конце измерительной части данной работы нужно отключить исследуемую цепь от источника питания и сам блок питания от силового щитка с помощью выключателей S₁ и S₁^' на панели с мнемосхемой (см. рис. 3.19) и красной кнопки «выкл» выключателя на панели блока питания (см. рис. 3.20). Сообщить преподавателю об окончании измерений и приступить к вычислениям параметров цепи.

Таблица № 3.3

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒