Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с соотношением площадей поперечных сечений A₁/A₂= 2 находится под действием сосредоточенных сил и собственного веса (рис. 1.4, а). Материал стержня на всех участках одинаков. Требуется построить эпюры распределения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня и определить перемещение сечения а–а.

Решение

Строим эпюры изменения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня. Собственный вес стержня принято учитывать, заменяя его распределенной по всей длине нагрузкой. Интенсивность распределенной нагрузки равна собственному весу, действующему на единицу длины стержня, т. е.

на первом и втором участках

на третьем участке

Рис. 1.4. К решению задачи № 2: а – схема нагрузки на стержень; б, в – эпюры продольной силы и напряжений

где g – объемный вес материала стержня.

Эпюры продольной силы и напряжений строим, используя метод сечений, аналогично тому, как это делали в задаче № 1. Заметим, что угол наклона эпюры продольной силы зависит от величины q и, следовательно, при построении эпюры N в масштабе угол ее наклона на первом и втором участке должен быть больше, чем на третьем участке, так как A₁ по условию больше, чем A₂(рис. 1.4, б). Угол же наклона эпюры напряжений зависит от объемного веса g, и поэтому угол наклона эпюры напряжений на всех участках одинаков (рис. 1.4, в).

Находим перемещение (опускание) сечения а–а. Это перемещение можно искать разными способами. По первому способу для определения перемещения используем формулу (1.4). Здесь F – сосредоточенная сила, вызывающая перемещение участка длиной l; G – собственный вес рассматриваемого участка. Эту формулу можно использовать на участках постоянного сечения между сосредоточенными силами. Отсчет надо вести от неподвижного сечения, т. е. заделки. Например, в рассматриваемой задаче перемещение сечения а–а складывается из удлинения участка длиной l₁, которое мы обозначим Dl₁, и удлинения участка длиной l_a – Dl_a. При определении удлинения Dl₁в формуле (1.4) сила F равна сумме F₁, F₂ и собственного веса всех расположенных ниже участков. Вес рассматриваемого участка стержня длиной l₁: . Таким образом, по (1.4)

Удлинение Dl_a происходит под действием сосредоточенной силы, состоящей из силы F₂, веса участков стержня, расположенных ниже сечения а–а, и собственного веса участка . То есть

Окончательно опускание сечения а–а равно .

Если построена эпюра распределения напряжений, то для определения перемещения заданного сечения удобно использовать второй способ, применяя формулу (1.2). В формуле (1.2) , а – это площадь эпюры напряжений на участке между неподвижным сечением (заделкой) и рассматриваемым сечением а-а. Таким образом, если найти площадь двух трапеций на указанном участке (заштрихованные площади и эпюры s на рис. 1.4, в)и разделить полученную величину на модуль упругости, мы получим искомое перемещение сечения а–а:

При вычислении перемещения обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Рекомендуем окончательный результат получить в сантиметрах.

Определение грузоподъемности статически

Определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3)

Условие задачи

Конструкция, состоящая из стержней, соединенных шарнирами, загружена силой F (рис. 1.5). Сечения стержней – из прокатных профилей, площади сечений можно найти по сортаментам стального проката (например, в [1]). Цель расчета:

1) определить значение допускаемой нагрузки;

2) найти перемещение узла С.

Рис. 1.5. Схема конструкции в задаче № 3

Примечание. Если на схеме, выбранной студентом по [4], один стержень показан более жирным, то его следует считать абсолютно жестким, т. е. деформациями этого стержня нужно пренебречь.

Решение

Рис. 1.6. План сил

Для определения усилий используем метод сечений. Для этого нарисуем план сил: рассечем деформируемые стержни конструкции и отброшенные части стержней заменим продольными силами N₁ и N₂ (рис. 1.6). Найдем усилия N₁ и N₂из уравнений равновесия отсеченной части конструкции. Желательно составлять такие уравнения равновесия, чтобы в каждое уравнение входило только одно неизвестное усилие, например, для определения N₁и (рис. 1.6) для нахождения N_2..[1]. Эти уравнения в рассматриваемой задаче имеют вид:

и . Откуда

и .

Знак минус показывает, что направление усилия в стержне 2 противоположно показанному на рис. 1.6, т. е. стержень 2 сжат.

Определим напряжения по (1.1) и выберем наиболее напряженный стержень (допустим, что в рассматриваемой задаче это будет стержень 1).

Из условия прочности этого стержня получим значение допускаемой нагрузки:

, .

Найдем перемещение узла С, построив план перемещений (рис. 1.7). Предварительно найдем абсолютные деформации стержней Dl₁и Dl₂ по формуле (1.3). В рассматриваемой задаче растянутый стержень 1 будет удлиняться, а сжатый стержень 2 – укорачиваться. Для построения плана перемещений нарисуем схему конструкции в масштабе и отложим отрезки Dl₁ и Dl₂ вдоль оси каждого стержня, выбрав масштаб для деформаций так, чтобы картинка плана перемещений была наглядной. В процессе деформации стержни поворачиваются относительно точек А и В по дугам. Из-за малости деформаций эти дуги заменяем касательными, т. е. перпендикулярами к направлениям стержней (отрезки и на рис. 1.7). На пересечении дуг (перпендикуляров к направлениям стержней) находится новое положение узла C после деформации – точка на рис. 1.7. Вертикальное и горизонтальное перемещение узла C допускается определять по масштабу, не делая сложных геометрических выкладок.

Рис. 1.7. План перемещений

Примечание. Если конструкция имеет абсолютно жесткий стержень, то принцип построения плана перемещений тот же. Все точки абсолютно жесткого стержня могут перемещаться только по дугам (перпендикулярам к направлению стержня), поворачиваясь вокруг неподвижного шарнира. Например, если стержень АС на рис. 1.7 считать абсолютно жестким, то точка С переместится в положение и горизонтальное перемещение узла С будет равно нулю.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒