Применение методов поиска оптимального решения и нечеткой логики в экономических задачах

Стр 1 из 4Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет

Им. Н.И. Лобачевского»

Экономический факультет

Кафедра экономической информатики

Применение методов поиска оптимального решения и нечеткой логики в экономических задачах

Учебное пособие

Рекомендовано методической комиссией экономического факультета

для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по направлению «Прикладная информатика в экономике»

г.Н.Новгород

2011 г.

«Применение методов поиска оптимального решения и нечеткой логики в экономических задачах» – Учебное пособие.

Составитель: Е.Н. Вышинская – Н.Новгород. 2011 – 18 с.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика в экономике».

При решении различных экономических задач все чаще используются математические методы из различных разделов математики, таких как методы оптимизации, линейное программирование, нечеткая логика. Но наряду с ними также используются более традиционные для экономистов методы: SWOT – анализ, экспертные оценки. Совместное применение и правильное чередование «чисто экономических» и «чисто математических» методов дает возможность значительно расширить круг экономических проблем, поддающихся количественной оценке, в частности проблем, касающихся принятия эффективных решений.

В пособии рассмотрена задача поиска оптимального решения, имеющая прикладное значение, и средства автоматизации этой задачи средствами табличного процессора Excel. Постановка задачи предполагает творческое участие каждого студента, помогающее осмыслить исходные данные, методы решения и оценить полученные результаты.

Пособие рекомендуется студентам, изучающим дисциплины «Информационные технологии», «Интеллектуальные информационные системы».

Рецензент д.э.н., проф. Трифонов Ю.В.

университет им. Н.И. Лобачевского, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

№№		Стр.
1.	Характеристики и допустимая область решений
2.	Как работать с нечеткими понятиями
3.	Как работать с функциями принадлежности
4.	Приоритеты
4.1.	Расстановка приоритетов
5.	Что такое оптимальное решение и как его найти
5.1.	Правило максимума взвешенной суммы
5.2.	Правило взвешенного произведения
5.3.	Правило близости к идеалу
5.4.	Правило гарантированных достоинств и недостатков
5.5.	Правило стабильной оптимальности
6.	Постановка учебной задачи
7.	План отчета
8.	Учебная литература

Характеристики и допустимая область решений.

Каждое решение можно описать некоторым перечнем характеристик и требований к ним. Рассмотрим сначала два примера.

Пример 1. При найме менеджера работодателя может интересовать следующий перечень характеристик и требований к ним.

Характеристики Возраст Опыт работы по специальности Возможная зарплата Образование Иностранный язык Пол Специальное требование

Требования

25-35 лет

не менее 3 лет

30-40 тыс. руб.

экономическое, юридическое

рабочий английский

желательно женщина

отсутствие криминального прошлого

Пример 2. При покупке автомобиля покупателя могут интересовать следующие характеристики и требования к ним.

Характеристики Требования

не больше 300 тыс.руб. не старше 2005 г. седан, хэтчбэк, универсал «Ауди», «Лада», «Фольксваген» 80-100 л. с. 7-9 литров

Цена

Год выпуска

Тип автомобиля

Марка

Мощность

Расход бензина на 100 км в городе

Приведенные примеры показывают, что:

• каждое решение описывается несколькими характеристиками;

• среди характеристик присутствуют количественные и качественные характеристики;

• не все характеристики являются полностью независимыми друг от друга. Так, цена автомобиля зависит от года выпуска, расход бензина — от мощности автомобиля;

• требования к количественным характеристикам представляют собой неравенства, содержащие допустимый интервал количественных значений;

• требования к качественным характеристикам формулируются в виде словесного понятия или перечня словесных понятий.

Пользуясь таким перечнем, мы можем подобрать подходящие варианты для анализа и выбора окончательного варианта..

Применительно к перечню количественных характеристик решения можно сказать, что он образует систему координат из соответствующего числа характеристик, а применительно к требованиям: что они образуют в пространстве характеристик многомерную область, соответствующую числу характеристик размерности. Область, выделяемую в пространстве независимых количественных характеристик решения, называют областью допустимых решений. Одной из начальных задач ЛПР (лица, принимающего решения) является составление перечня характеристик и требований к ним, соответствующего целям решения, т.е. определение допустимой области решения.

Ясно, что качественные, словесные характеристики также накладывают на эту область определенные их смыслом ограничения. Будем пока для простоты рассуждений считать, что мы имеем дело только с количественными характеристиками решения. В дальнейшем мы покажем, как можно будет учесть качественные характеристики решения.

Сформировав для определенных характеристик решения область допустимых решений, ЛПР может поставить дальнейшую задачу по поиску, генерации и выбору вариантов решения, удовлетворяющего перечню сформулированных требований к характеристикам.

Каждый вариант решения геометрически можно считать точкой в пространстве характеристик решения. Тогда задача поиска и генерации вариантов, удовлетворяющих требованиям к решению, соответствует поиску точки, попадающей в область допустимых решений.

В примере 1 ЛПР приходится отвечать на вопросы: насколько меньше можно платить более молодому и менее опытному специалисту и насколько лучше молодость специалиста по сравнению с опытом.

Подобное сравнение единиц, разнородных по смыслу и размерности характеристик, приходится проводить всегда, когда выбирают вариант решения по многим характеристикам. Для ответа на эти вопросы используют интуицию и опыт ЛПР.

Однако задачу сравнения разнородных характеристик можно упростить, если предварительно привести их к безразмерному и нормированному виду. Под нормированием понимают переход к универсальному масштабу значений. Обычно нормируют к 1 или к 100. Для этого можно воспользоваться одной из следующих процедур.

Процедура 1. По каждой характеристике решения нужно выбрать наибольшее значение характеристики и разделить значения характеристики для каждого варианта решения на это наибольшее значение. Так, для предыдущего примера мы имеем характеристику «возраст» и требование к ней: быть в диапазоне 25-35 лет. Это значит, что максимальным значением является 35 лет и, если мы имеем 3-х претендентов на должность менеджера в возрасте 25, 30 и 35 лет, то, разделив эти данные на 35, мы соответственно получаем следующие безразмерные и нормированные к 1 значения характеристики «возраст»: 0, 714; 0, 857; 1, 000.

Процедура 2. Второй способ превращения натуральных значений характеристик в нормированные и безразмерные значения связан с отображением натуральных значений характеристик в диапазоне значений от 0 до 1. Такой диапазон значений будем обозначать как (0, 1].

Обычно это делается с помощью некоторой функции, принимающей значения от 0 до 1. Самый простой вариант такой функции - линейная.

Графически эту процедуру для характеристики «расход топлива», заданной в диапазоне от 7 до 9 литров, можно представить следующим образом (см. рис. 1).

В данном случае используется линейная функция, меняющаяся от 0, 5 до 1, 0. Процесс отображения значения характеристики «расход топлива 8, 0 литров» в значение нормированной к 1 функции представлен стрелками. Значение «7, 0 литров» отображается в 0, 5. Значение «8, 0 литров» отображается в значение - 0, 75, а значение «9, 0 литров»— в 1, 0.

Достоинство такого подхода состоит в том, что непрерывная нормированная функция позволяет получить отображение любых значений натуральных характеристик решения в диапазон (0, 1].

Нормированная функция.

расход топлива, литры Рис.1.

Этот способ позволяет перейти к безразмерным и центрированным значениям характеристик решения.

Для этого по каждой оси натуральных значений характеристики выбирается центр, иначе говоря новая точка нулевого отсчета значений характеристики, и относительно этого «нового» нуля задается желаемый диапазон вариации характеристики.

Рассмотрим, каким образом уравнение линейной нормирующей функции можно записать аналитически. Введем следующие обозначения:

х1 - наименьшее значение исходной характеристики (в нашем примере - 7 литров);

у1 - соответствующее х1 нормированное значение, т.е. значение из диапазона (0; 1] (в нашем примере 0, 5);

х2 - наибольшее значение исходной характеристики (в нашем примере - 9 литров);

у2 - соответствующее х2 нормированное значение, т.е. значение из диапазона (0; 1] (в нашем примере 1, 0);

х - любое исходное значение характеристики от 7 до 9 литров (7< х< 9);

у - соответствующее х нормированное значение, которое мы хотим определить.

Тогда формула для определения у выглядит следующим образом:

[1.1]

Например, если х=8, 2; то

Рассмотренные процедуры перехода от натуральных значений характеристик к безразмерным позволяют упростить дальнейшие этапы принятия решений. Использование безразмерных нормированных, например к 1, значений характеристик позволяет нам сравнивать и легко видеть результат сопоставления одной характеристики с другой, так как все характеристики меняются в одном диапазоне от 0 до 1.

Метод экспертных оценок.

Рассмотрим необходимые определения.

Будем называть словесной или лингвистической характеристикой такую характеристику решения, которая выражена словами и значения которой также описываются различными словами. Например, характеристика рост человека может иметь как лингвистическая характеристика следующие словесные значения:

(низкий, средний, выше среднего, высокий, очень высокий).

Если воспользоваться экспертными оценками, то надо выбрать удобную количественную шкалу и поставить в соответствие каждому словесному значению характеристики числовую оценку на этой шкале. Пусть, например, мы выбрали 10-балльную шкалу. Тогда данным словесным значениям характеристики «рост человека» могут быть поставлены в соответствие следующие оценки:

(низкий, средний, выше среднего, высокий, очень высокий)
( 2, 4, 6, 8, 10 ).

Это значит, что теперь вместо словесного значения «низкий» можно использовать цифру 2, вместо «средний» — цифру 4, «выше среднего» — 6 и т. д. При этом можно использовать и промежуточные баллы, такие как 3, 5, 7, 9 для оценки промежуточных положений между соответствующими словесными оценками. Таким образом осуществляется переход от словесной, качественной характеристики к количественной характеристике «рост человека», заданной по 10-балльной шкале. Заметим, что выбор шкалы и величин числовых оценок полностью определяется экспертом, как специалистом, помогающим ЛПР.

Нечеткая логика.

Другим приемом, позволяющим формализовать качественные характеристики решения, является использование аппарата нечетких множеств.

Здесь для каждого словесного значения вводится понятие нечеткая переменная. Нечеткая переменная: (наименование, количественная шкала, функция принадлежности), т. е. нечеткая переменная состоит из трех элементов: наименования характеристики, количественной шкалы, с помощью которой ее можно измерить, и дополнительной функции — так называемой функции принадлежности к данной характеристике.

Так как любая качественная, словесная характеристика содержит большую степень количественной неопределенности, то для раскрытия этой неопределенности вводится функция принадлежности, позволяющая строго оценить конкретную характеристику.

Например, нечеткие переменные: «низкий», «средний», «высокий» и «очень высокий» человек, которые в свою очередь являются значениями лингвистической характеристики «рост человека», графически могут быть представлены так.

Функция принадлежности с помощью чисел от 0 до1 отражает степень принадлежности словесной оценки к качественной характеристике, например для словесной оценки «высокий» функция принадлежности будет выражаться набором своих значений: (190/0; 200/0, 5; 205/0, 8; 210/1; 220/1), а для словесной оценки «очень высокий» набором (200/0; 205/0, 1; 210/0, 6; 220/1).

В этих выражениях на первом месте стоит значение количественной шкалы, в данном случае «рост в см», и через знак «/» стоит значение функции принадлежности.

Смысл значений функции принадлежности состоит в том, что чем ближе значение к 1, тем в большей степени значение соответствующей количественной шкалы принадлежит к наименованию нечеткой характеристики. В соответствии с данным графиком средний рост человека равен 180 см, так как на построенном графике функция принадлежности для этого значения количественной шкалы равна 1.

Человек с ростом 170 см согласно графику будет принадлежать уже к характеристике «средний» только со степенью 0, 55, а человек с ростом 190 см — к характеристике «средний» со степенью 0, 7.

Отметим, что функция принадлежности может быть построена ЛПР, рассчитана на основе некоторой дополнительной информации или определена экспериментально.

Конечно, функция принадлежности, построенная, например, ЛПР, будет содержать определенную долю субъективности, но, будучи построенной, она уже однозначно определяет, уточняет и позволяет измерять степень принадлежности к нечеткой характеристике.

Подчеркнем, что процесс формализации качественных словесных переменных связан с возможностью задать определенную количественную шкалу, по которой можно определить качественную характеристику.

В рассмотренном примере характеристики «рост человека» такой шкалой служил рост человека в см. Если же у рассматриваемой качественной характеристики нет подобной естественной шкалы, то в качестве количественной шкалы практически всегда можно взять шкалу баллов, например в 5, 10, 100 баллов.

Таким образом, понятие нечеткой переменной позволяет формализовать словесные характеристики решения.

Приоритеты.

При сравнении и выборе вариантов решения часть характеристик имеет большую важность, часть — меньшую, а некоторые характеристики вообще не учитываются. Иногда целесообразно оценивать приоритетность самих вариантов решения, приоритетность ограничений по времени, по тем или иным ресурсам. Величину, показывающую степень важности, весомости одних элементов задачи принятия решений перед другими, будем называть приоритетом . Отметим также, что в процессе принятия решений приоритеты могут в значительной степени отличаться и со временем существенно и быстро меняться. Пример — рекламный бизнес и мода. Мы видим рядом рекламу зубной пасты, очищающей зубы, и рекламу сигарет, употребление которых, как известно, приводит к желтому налету на зубах. Ну, а о скорости изменения цвета, длины и прочих элементов женской одежды можно говорить много и долго.

Если ЛПР хочет получить запланированный при подготовке решения результат, то оно должно быть уверено в определенной стабильности приоритетов элементов задачи в процессе ее решения. Информация о приоритетах нужна также при использовании критериев выбора оптимального варианта решения.

Формализация приоритетов осуществляется путем экспертных оценок, трудность получения которых связана с надежностью и достоверностью величин самих приоритетов.

Расстановка приоритетов.

Рассмотрим следующие способы расстановки приоритетов:

• способ одного эксперта;

• групповая экспертиза; ■

• функции приоритетов;

• метод парного сравнения.

1. Способ одного эксперта.

Если вы доверяете себе больше, чем другим, то этот способ вам подходит.

1.1.Составьте перечень характеристик или любых других объектов, для которых вы хотите определить приоритеты.

1.2.Выберите подходящую шкалу баллов, например 10-балльную шкалу, и расставьте баллы для характеристик из вашего перечня, полагая, что чем важнее характеристика, тем большим числом баллов будет оцениваться ее приоритет. Так вы сформируете вектор приоритетов.

1.3.Сложите все баллы, которые вы расставили по данному перечню характеристик, и разделите каждую оценку в баллах важности характеристик решения на эту сумму.

1.4.Далее рекомендуется расположить характеристики по убыванию или возрастанию приоритетов. На этом процедура определения коэффициентов приоритета заканчивается.

Групповая экспертиза.

Как правило, при определении коэффициентов приоритета для важного решения возникают разногласия. Одним из признанных способов их устранения является статистический подход к получению оценок, для чего самым простым приемом служит усреднение результатов, полученных разными экспертами в группе. Все пункты от 1.1 до 1.4 при оценках одного эксперта должны быть выполнены каждым экспертом группы независимо друг от друга. Величины вектора коэффициентов приоритета по каждой характеристике, полученные каждым экспертом, нужно сложить и разделить на число экспертов. Таким образом, получим средние оценки коэффициентов приоритета, а истина, как известно, лежит посредине.

Постановка учебной задачи.

В своей повседневной жизни мы с вами занимаемся принятием решений буквально на каждом шагу.

В какой клуб пойти с друзьями в ближайшие выходные?
Какую стереосистему купить?
В какой пиццерии пообедать?

А замечаете ли вы, что принимая решения, вы оперируете понятиями, которые были описаны выше? Обратите внимание, например, какими характеристиками стереосистемы вы бы руководствовались при ее выборе? А что для вас более приоритетно: поесть быстро или вкусно?

И насколько часто у вас «разбегаются» глаза и вы затрудняетесь в выборе?

Примените к своей собственной ситуации описанные выше методы и ваш выбор станет более объективным и аргументированным.

В качестве примера возьмем покупку пылесоса.

ВАРИАНТЫ ВЫБОРА ПЫЛЕСОСА	В1	В2	В3	В4	В5	Приоритет	мин. Зн-ие хар-ки	макс. Зн-ие хар-ки	Y1	Y2
ХАРАКТЕРИСТИКИ
МОЩНОСТЬ (КВТ)									0, 5	0, 8
ДЛИНА ШНУРА (М)			4, 5		3, 5		3, 5		0, 3
НАСАДКИ (ШТУК)									0, 4	0, 9
ЦЕНА (РУБ)									0, 9	0, 3
УСЛОВИЯ ХРАНЕНИЯ (БАЛЛЫ)

Таблица 6.1.

Выбираем из пяти вариантов. Среди характеристик четыре количественные и одна качественная. Все характеристики требуется привести к сравнимому виду так, чтобы их значения были величинами из диапазона (0; 1]. Для приведения количественных характеристик используем формулу [1.1], стр.6. Из таблицы 6.1 видно, что значения Y1, Y2 выбираются ЛПР самостоятельно, причем линейная функция может быть как возрастающей (для трех первых характеристик), так и убывающей (для характеристики «цена»). Приведение к сравнимому виду качественных характеристик заключается в простом делении бальной оценки на 10 (выбранный максимум шкалы). Для коэффициентов приоритета используется формула [4.1], стр. 10.

В таблице 6.2 представлены приведенные значения характеристик и коэффициентов приоритета.

ВАРИАНТЫ ВЫБОРА ПЫЛЕСОСА	В1	В2	В3	В4	В5	Коэфф. Приоритета
ХАРАКТЕРИСТИКИ
МОЩНОСТЬ	0, 5	0, 575	0, 5	0, 8	0, 725	0, 2564103
ДЛИНА ШНУРА		0, 72	0, 58	0, 44	0, 3	0, 2051282
НАСАДКИ	0, 733	0, 733	0, 4	0, 733	0, 9	0, 2307692
ЦЕНА	0, 9	0, 659	0, 778	0, 3	0, 611	0, 1282051
УСЛОВИЯ ХРАНЕНИЯ	0, 4	0, 8	0, 6	0, 7	0, 5	0, 1794872

Таблица 6.2.

Далее применяем правила поиска оптимального решения 5.1 – 5.3.

	В1	В2	В3	В4	В5	оптим. решение
Взвешенная сумма	0, 69	0, 692	0, 547	0, 629	0, 623	В2
Взвешенное произведение	0, 652	0, 688	0, 535	0, 597	0, 582	В2
Близость к идеалу	0, 241	0, 207	0, 355	0, 345	0, 359	В2

Таблица 6.3.

Сложность применения правила гарантированных достоинств и недостатков состоит в том, что приходится проводить парные сравнения. Для пяти вариантов таких сравнений придется провести десять. Приведем заключительную таблицу.

	В1	В2	В3	В4	В5	Обобщенные достоинства
В1		0, 018	0, 036	0, 038	0, 036	0, 127912555	max
В2	0, 018		0, 032	0, 024	0, 029	0, 103855756
В3	0, 007	0, 003		0, 018	0, 019	0, 047613852
В4	0, 026	0, 012	0, 034		0, 017	0, 088820513
В5	0, 023	0, 015	0, 035	0, 016		0, 088480948
Обобщенные недостатки	0, 074	0, 048	0, 137	0, 096	0, 101
		min

Таблица 6.4.

Далее остается только сделать вывод, руководствуясь правилом стабильной оптимальности.

Методы выбора оптимального решения	оптимальный вариант	ХАРАКТЕРИСТИКИ	В2
Взвешенная сумма	В2	МОЩНОСТЬ (КВТ)
Взвешенное произведение	В2	ДЛИНА ШНУРА (М)
Близость к идеалу	В2	НАСАДКИ (ШТУК)
Обобщенные достоинства	В1	ЦЕНА (РУБ)
Обобщенные недостатки	В2	УСЛОВИЯ ХРАНЕНИЯ (БАЛЛЫ)
Вывод	В2

План отчета.

№	Пункт плана	Пояснения
	Описание задачи	В отчете достаточно написать по одному предложению на каждый подпункт
1.1	Наименование задачи	Развернутое, наиболее полное название, включающее объект и применяемые методы
1.2	Цели решения	Варианты целей: сокращение времени на принятие решения; устранение или преодоление объективно существующих неопределенностей
1.3	Назначение задачи	Для кого предназначена данная задача? (Для продавца, для менеджера, для аналитика, в самом крайнем случае, лично для себя, любимого)
1.4	Источники и способы получения данных	Если нашли информацию в глобальной сети, обязательно укажите сайт. К способам получения может относиться статистическая предобработка.
	Описание входной информации
2.1	Перечень входной информации	Подробный перечень с использованием классификации (качественные, количественные характеристики; текстовая или числовая информация)
2.2	Форма представления входной информации	Зависит от среды, в которой решается задача. В случае Excel - табличная.
2.3	Описание структурных единиц информации	Структурная единица информации в Excel - ячейка (см. диалоговое окно Формат ячеек…)
2.4	Способы контроля входной информации	Единственный доступный способ контроля - визуальный контроль.
	Описание выходной информации	Выходной информацией является та, которая требуется пользователю данной задачи!!! (а не преподавателю для отчета).
3.1	Перечень выходной информации	См. пункт 2.1
3.2	Форма представления выходной информации	См. пункт 2.2
3.3	Описание структурных единиц информации	См. пункт 2.3
3.4	Способы контроля выходной информации	Имеются в виду способы автоматизированного контроля. При выполнении работы в Excel таких способов нет.
	Алгоритм решения задачи	Самый большой по объему материала пункт отчета, должен занимать 2-4 печатных листа. Алгоритм решения задачи описывается математическими формулами!!!
	Выводы	Должны содержать ответ на вопрос: от каких входных данных зависит полученное решение и как эти данные влияют на выходную информацию?

8. Учебная литература.

1. Информатика: Учебник/ под ред. проф. Макаровой Н.В. – М., Финансы и статистика, 2003.

2. Автоматизированные информационные технологии в экономике: Учебник/ под ред. проф. Титоренко Г.А. – М., «ЮНИТИ», 2007.

3. Информационные технологии управления /под ред. проф. Титоренко Г.А. – М., «ЮНИТИ», 2002.

4. Грабауров В.А. Информационные технологии для менеджеров. – М., Финансы и статистика, 2002.

5. Большаков, Михайлов. Современный менеджмент. – Санкт-Петербург, Питер, 2001.

6. Трифонов Ю.В., Плеханова А.Ф., Юрлов Ф.Ф. Выбор эффективных решений в экономике в условиях неопределенности. – Н.Новгород, ННГУ, 1998.