Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Изображение синусоидальных величин



Векторами и комплексными числами

 

Расчет цепей переменного тока существенно упрощается, если синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и другие величины заменить их изображениями на комплексной плоскости (рис. 3.2)

 
 

где - называется комплексной амплитудой.

Комплексная амплитуда представляет собой вектор на комплексной плоскости, длина которого соответствует амплитудному значению синусоидальной функции Аm, а угол ψ – начальной фазе.

В курсе ТОЭ пользуются следующими темя формами записи комплексной амплитуды в виде комплексного числа:

показательная ;

тригонометрическая ;

алгебраическая .

где - действительная часть комплексного числа;

- мнимая часть комплексного числа,

Для обратного перехода от алгебраической к показательной форме записи необходимо найти модуль этого комплексного числа с помощью теоремы Пифагора (рис.3.2) и аргумент путем определения тангенса соответствующего угла:

, .

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных величин, а показательная при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.

Мнимая единица называется оператором поворота на угол . Умножение на сводится к повороту вектора против часовой стрелки на прямой угол, а умножение на - к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке.

Числа и

называют комплексно-сопряженными числами. Произведение комплексно-сопряженных чисел - действительное число, равное квадрату их модуля .

Комплексное действующее значение .

 
 

Все формы записи комплексной величины и связь между ними записываются

Векторная диаграмма представляет собой совокупность векторов токов и напряжений, построенных на комплексной плоскости.

Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в показательной и алгебраической формах:

и .

Рассмотрим основные действия, выполняемые над комплексными числами.

Алгебраическое сложение комплексных чисел выполняется при записи их в алгебраической форме. При этом мы суммируем отдельно действительные части комплексных величин, отдельно - мнимые:

Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять в показательной форме записи. При этом модуль нового комплексного числа получается путем перемножения модулей комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

 

Деление комплексных величин выполняется аналогично. Для определения модуля новой комплексной величины, модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменателя, а для определения аргумента необходимо из фазы числителя вычесть фазу знаменателя:

Возведение в степень n выполняется в показательной форме, для этого модуль комплексного числа возводят в соответствующую степень, а показатель просто умножают на n:

.

Извлечение корня n-ой степени равносильно возведению в степень 1/n:

.

Пример.

Записать в показательной и алгебраической формах напряжение В и ток А.

Решение. Комплексное действующее значение напряжения

Комплексное действующее значение тока

Пример. Записать в показательной форме следующие комплексные числа:

а) 3+j4; б) 3-j4; в) -3+j4; г) -3-j4.

 
 

Решение. Для наглядности при переводе из алгебраической формы записи комплексного числа в показательную удобно сопровождать вычисления построением векторов на комплексной плоскости. Необходимо помнить, что во всех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна, то при определении начальной фазы необходимо прибавить или отнять 180°.

а) 3+j4=

б) 3-j4=

в) -3+j4=

г) -3-j4=

Вектора, соответствующие рассматриваемым комплексным величинам, построены на рис. 3.3.

Пример.

Определить мгновенное значение тока i3(t) в схеме рис. 3.4, а, если A и А. Построить векторную диаграмму токов.

 
 

Решение. Запишем заданные токи в комплексной форме:

А; А.

Искомый ток определяется по первому закону Кирхгофа:

Мгновенное значение тока А.

Векторная диаграмма токов изображена на рис. 3.4, б.

 


Поделиться:



Популярное:

  1. II. Основные расчетные величины индивидуального пожарного риска
  2. IV. Порядок разработки дополнительных противопожарных мероприятий при определении расчетной величины индивидуального пожарного риска
  3. Rк- определяет максимальный ток коллектора транзистора, создает нагрузку коллекторной цепи и своей величиной влияет на коэффициент усиления каскада.
  4. V. Механизм, преобразующий крутящий момент, передающийся от двигателя через сцепление, по величине и направлению, позволяет отключать двигатель от ведущих мостов на длительное время.
  5. Анализ проектов с различающимися по величине денежными потоками
  6. В работе ставится цель - изучить влияние переменного параметра в одной из параллельных ветвей на величины и фазы токов ветвей и источника питания.
  7. Векторные и скалярные величины в теории электромагнитного поля
  8. Величина потерь при железнодорожных катастрофах
  9. Величина производственной мощности фирмы и факторы ее определяющие
  10. Величины мышечной силы правой и левой рук в группах мужчин
  11. Величины, характеризующие магнитное поле в вакууме и веществе
  12. Власть и величина. Размер имеет значение?


Последнее изменение этой страницы: 2016-05-03; Просмотров: 873; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.016 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь