РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ

ДИХОТОМИИ

 

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков нахождения с заданной погрешностью корней нелинейного уравнения.

 

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Требуется найти корни уравнения

, (1)

где - непрерывная функция.

Пусть нашли такие точки и , что , то есть на отрезке [ , ] лежит по меньшей мере один корень. Найдем середину отрезка [ , ] и вычислим . Если =0, то есть корень . Если 0, то из двух половин отрезка [ , ] выберем ту, для которой , так как один корень лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выбираем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки. И так далее.

Деление продолжаем до тех пор, пока длина очередного отрезка, где лежит корень, не станет меньше 2 , где - заданная погрешность. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

 

III. ЗАДАНИЕ

Найти методом дихотомии один из действительных корней уравнения с погрешностью .

Варианты задания:

 

№	Уравнение

 

Здесь - последняя цифра номера группы, - номер фамилии студента в журнале группы.

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

Лабораторная работа № 7

 

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ

ИТЕРАЦИИ

 

II. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков нахождения с заданной погрешностью корней нелинейного уравнения.

 

III. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Требуется найти корни уравнения

, (1)

где - непрерывная функция.

Заменим исходное уравнение эквивалентным ему уравнением .

Выберем некоторое нулевое приближение и вычислим дальнейшие приближения по формуле

( ). (2)

Если стремится к некоторому пределу , то этот предел есть корень исходного уравнения, т.е.

.

Исследуем условия сходимости. Если имеет непрерывную производную, тогда (по теореме Лагранжа)

, (3)

где точка лежит между точками и . Поэтому, если всюду на , то отрезок убывает не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем и последовательность сходится при любом начальном приближении .

Действительно, это видно из соотношений

.

Очевидно, чем меньше , тем быстрее сходимость. Успех метода зависит от того, насколько удачно выбрано .

Из выражения (3) видно, что, если , то итерации попеременно оказываются то с одной, то с другой стороны , так что корень заключен в интервале . Это надежная, хотя несколько грубая оценка. Но она неприменима, когда , когда итерации сходятся к корню монотонно, т.е. с одной стороны.

Можно показать, что итерации следует прекращать, если выполняется условие

, (4)

где - заданная точность.

Метод итераций имеет важное достоинство самоисправляемости. Ошибки вычислений в методе не накапливаются. Метод итераций устойчив даже к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости. Ошибочное приближение рассматривается как некоторое новое начальное.

 

IV. ЗАДАНИЕ

Найти методом итераций один из действительных корней уравнения с допустимой погрешностью .

Варианты задания приведены в лабораторной работе № 6.

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. - М.: Наука, 1976. 350 с.

Лабораторная работа № 8

 

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ НЬЮТОНА

 

II. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков отыскания приближенных значений действительных корней уравнения методом Ньютона.

 

III. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Требуется найти корни уравнения

, (1)

где - дифференцируемая функция.

Если есть некоторое приближение к корню , а имеет непрерывную производную, то уравнение (1) можно преобразовать следующим образом:

,

где - точка, лежащая между и .

Приближенно заменяя на значение в известной точке , получим такой итерационный процесс:

Геометрически этот процесс означает замену на каждой итерации графика касательной к нему.

 

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода итераций, если положить

Тогда

При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если всюду на рассматриваемом интервале (чтобы , причем ). В противном случае сходимость будет не при любом начальном приближении, а только в некоторой окрестности корня.

Отметим еще достаточное условие сходимости итераций: если и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки на , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , получим методом Ньютона значение корня с любой степенью точности. Т.о., в качестве исходной точки следует выбирать тот конец , для которого и имеют одинаковые знаки. Если взять такое , что , то мы можем не прийти к корню , если только не очень хорошее.

Оценим скорость сходимости метода Ньютона. Справедлива оценка

,

где - наибольшее значение на , ; - наименьшее значение на , . Отсюда видно, что погрешность очередного приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего приближения. Самый неблагоприятный случай для метода Ньютона, когда становится малой вблизи корня. Чтобы не было потери точности, отношение надо вычислять достаточно аккуратно. К остальным погрешностям расчета метод Ньютона хорошо устойчив.

 

IV. ЗАДАНИЕ

Найти методом Ньютона один из действительных корней уравнения с точностью . Варианты заданий приведены в лабораторной работе № 6.

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. - М.: Наука, 1976. 350 с.

Лабораторная работа № 9

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. А теперь мое решение проблемы
2. А теперь мое решение проблемы
3. Алгоритм составления уравнения реакции гидролиза
4. В итоге в Иерархии принято решение, что в Иерархию
5. Вот в чём Вопрос вопросов и Ответ ответов и в вот в чём Проблема проблем и Решение решений для Тебя-Человечество-Единый родя-Я-Бога-Дитя-Возлюбленное, Ученик и Семья.
6. Вот в чём Вопрос вопросов и Ответ ответов и вот в чём Проблема проблем и Решение решений для Тебя – Человек-Человечество-Единый род - Я-Бога-Дитя, Ученик и Семья.
7. Вот в чём Вопрос вопросов и Ответ ответов и вот в чём Проблема проблем и Решение решений для Тебя-Человек-Человечество-Единый род – Я-Есмь-Бога-Дитя, Ученик и Семья.
8. Гид по Таро. Практическое решение проблем и получение советов
9. Глава 196. Решение по иностранцам
10. Глава 220. Неожиданное решение
11. Дифференциальные уравнения 1 порядка
12. Дифференциальные уравнения второго порядка