ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ

ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

 

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков приближенного вычисления кратных интегралов.

 

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Построим кубатурную формулу, предназначенную для приближенного вычисления двойных интегралов

Рассмотрим метод последовательного интегрирования.

Пусть область интегрирования представляет собой прямоугольник Разобьем область на прямоугольные ячейки (рис. 1).

оо

ю

ююю

Рис. 1.

 

Интеграл вычислим последовательным интегрированием:

где

Каждый однократный интеграл вычисляется на выбранной сетке по какой-либо квадратурной формуле типа

Последовательное интегрирование по обоим направлениям приводит к кубатурным формулам, которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул

или

где

Для разных направлений можно использовать квадратурные формулы одного или разных порядков точности.

Если область имеет произвольную форму, то в следует провести хорды, параллельные оси (рис. 2).

Рис. 2

 

На каждой хорде выбираются узлы так, как нам требуется. Интеграл представим в виде

Сначала вычислим интеграл по вдоль каждой хорды по какой-либо квадратурной формуле, используя введенные узлы. Затем вычислим интеграл по , используя какую-либо квадратурную формулу. При этом узлами будут служить проекции хорд на ось ординат.

 

III. ЗАДАНИЕ

Методом последовательного интегрирования вычислить интеграл по области , изображенной на рис. 3.

Рис. 3

 

Варианты заданий приведены в лабораторной работе №13.

Указание: При построении кубатурной формулы методом последовательного интегрирования использовать квадратурную формулу трапеций при интегрировании по обоим направлениям. Указать погрешность вычисления интеграла (1).

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

Лабораторная работа № 15

 

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РУНГЕ – КУТТА

І. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге – Кутта.

 

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

;

Выберем на отрезке сетку . В отличии от точного решения приближенное решение задачи Коши будем обозначать через . .

Методом Рунге – Кутта можно строить схемы различного порядка точности.

Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем.

Приведем без вывода наиболее используемую схему, которая записана в большинстве стандартных программ ЭВМ:

 

При величинах и следует ставить индекс сетки , но для простоты его опускаем.

Погрешность схемы на каждом [x есть величина порядка .

 

III. ЗАДАНИЕ

Найти методом Рунге-Кутта численное решение дифференциального уравнения

с начальным условием

 

Варианты заданий

№	Функция

 

Здесь - последняя цифра номера группы.

Указание: Использовать равномерную сетку с шагом

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

Лабораторная работа № 16

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вычисление ДПФ конечной последовательности.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ
3. Вычисление определенных интегралов
4. Вычисление статистической вероятности
5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ (СУММИРОВАНИЕ) ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРА
6. Запрос с вычислением значения в каждой записи
7. Количественные показатели финансовой отчетности: использование при моделировании кратных факторных систем
8. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
9. Тема: Вычисление определенных интегралов
10. Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей
11. Тема: Вычисление производных функций по определению производной