ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНОСТНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

 

І. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

ІІ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

с двухточечными линейными краевыми условиями

где - известные непрерывные на отрезке функции; - заданные постоянные, причем и .

Согласно методу конечных разностей введем на равномерную сетку с шагом :

Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные и конечно-разностными отношениями

а на концах отрезка положим

где .

Погрешность формул есть , а формул .

Используя формулы и , приближенно заменим уравнение и краевые условия системой разностных уравнений

Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим таблицу значений искомой функции .

Система может быть решена различными методами. Однако замечаем, что она имеет трехдиагональную матрицу. Поэтому для решения системы воспользуемся методом прогонки.

Уравнение запишем в виде

где .

Положим, что

где - некоторые коэффициенты.

Отсюда находим

Подставим в уравнение . Получим Сравнивая формулы и , получаем рекуррентные формулы для определения и :

Определим теперь и . Из первого равенства получаем

С другой стороны, из формулы имеем

Сравнивая последние два равенства, находим

По формулам и осуществляется прямой ход. При этом находятся коэффициенты .

Обратный ход начинается с определения .

Используя второе равенство и формулу при , получим систему двух уравнений, решая которую найдем

Теперь по формуле определим .

Метод прогонки обладает устойчивым вычислительным алгоритмом.

 

III. ЗАДАНИЕ

Методом конечных разностей решить следующую краевую задачу:

Здесь - последняя цифра номера группы; - номер фамилии студента в журнале.

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Наука, 1966. 632 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967.368 с.

Лабораторная работа № 16

 

ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНОСТНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

 

І. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

ІІ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

с двухточечными линейными краевыми условиями

где - известные непрерывные на отрезке функции; - заданные постоянные, причем и .

Согласно методу конечных разностей введем на равномерную сетку с шагом :

Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные и конечно-разностными отношениями

а на концах отрезка положим

где .

Погрешность формул есть , а формул .

Используя формулы и , приближенно заменим уравнение и краевые условия системой разностных уравнений

Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим таблицу значений искомой функции .

Система может быть решена различными методами. Однако замечаем, что она имеет трехдиагональную матрицу. Поэтому для решения системы воспользуемся методом прогонки.

Уравнение запишем в виде

где .

Положим, что

где - некоторые коэффициенты.

Отсюда находим

Подставим в уравнение . Получим Сравнивая формулы и , получаем рекуррентные формулы для определения и :

Определим теперь и . Из первого равенства получаем

С другой стороны, из формулы имеем

Сравнивая последние два равенства, находим

По формулам и осуществляется прямой ход. При этом находятся коэффициенты .

Обратный ход начинается с определения .

Используя второе равенство и формулу при , получим систему двух уравнений, решая которую найдем

Теперь по формуле определим .

Метод прогонки обладает устойчивым вычислительным алгоритмом.

 

III. ЗАДАНИЕ

Методом конечных разностей решить следующую краевую задачу:

Здесь - последняя цифра номера группы; - номер фамилии студента в журнале.

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Наука, 1966. 632 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967.368 с.

Лабораторная работа №17

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. эксплуатируемые вручную или с применением ручного труда; без применения ручного труда (механические, автоматические и др.).
2. C.Для предоставления возможности сравнивать рыночные стоимости акций компаний одной отрасли
3. II этап. Обоснование системы показателей для комплексной оценки, их классификация.
4. II. ТЕМЫ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
5. III. Источники для изучения Греческой церкви XVII в.
6. IV. Источники для изучения той же истории XVIII в.
7. IX. ЗНАЧЕНИЕ «УНИВЕРСАЛИЙ» КОСМОС, ВРЕМЯ, ПРОСТРАНСТВО И РЕАЛЬНОСТЬ ДЛЯ ПСИХОДРАМЫ
8. IX. Магическое заклинание для Дальнего путешествия
9. MS Excel 2007-2010. Применение стиля ячейки
10. Teсm для проверки реальности соединения с высшим Я
11. V. Источники для изучения Греческой церкви XIX в.
12. VIII. Сигналы, применяемые для обозначения поездов, локомотивов и другого железнодорожного подвижного состава