ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

ЛАГРАНЖА

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков использования интерполяционных многочленов.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть функция задана таблично, т.е. известны ее значения в точках

( ). (1)

Построим многочлен степени такой, чтобы выполнялись интерполяционные условия

( ). (2)

Сначала построим полином степени , такой, что

, (3)

где - символ Кронекера.

Так как обращается в нуль в точках , то он имеет вид

, (4)

где - постоянный коэффициент.

Полагая в формуле (4) и учитывая, что , получим

Подставив этот коэффициент в (4), находим

. (5)

Теперь построим многочлен , который имеет вид

. (6)

Степень , как видно из (5) и (6), не выше . Кроме того, на основании (2)

что согласуется с (2)

Интерполяционный многочлен называется многочленом Лагранжа и имеет вид

Теперь считаем .

Для абсолютной погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа справедлива оценка

где ;

III. ЗАДАНИЕ

Дана таблица значений функции

x	3, 5	4, 1	4, 3
y	N+k	N+2k	N-k	N

Здесь - номер фамилии студента в журнале группы; - последняя цифра номера группы.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Вычислить с его помощью значения ; ; .

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

Лабораторная работа № 10

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

II. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков использования интерполяционных сплайнов.

III. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть на в узлах сетки заданы значения некоторой функции

Для интерполирования функций воспользуемся кубическими сплайнами дефекта 1, которые обозначим На каждом из промежутков сплайн записывается в виде

Причем

Рассмотрим два алгоритма построения интерполяционных кубических сплайнов, удовлетворяющих условиям

Введем обозначение

Решая систему уравнений

Найдем коэффициенты

В результате выражение примет вид

где

Кубический сплайн , записанный в терминах , на каждом из промежутков непрерывен вместе со своей первой производной всюду на Выберем величины так, чтобы была непрерывна и вторая производная сплайна. Условие

дает уравнений для нахождения

где

К уравнениям следует присоединить еще два уравнения, являющихся краевыми условиями. Из полученной системы уравнений находятся значения величин которые подставляются в выражение для интерполяционного сплайна

Если ввести обозначение и коэффициенты найти как решение системы уравнений

то на каждом интерполяционный кубический сплайн в терминах будет представляться выражением

При этом сплайн и его вторая производная будут непрерывны на Выберем величины так, чтобы была непрерывна и первая производная сплайна. Условие

дает уравнений

где

К уравнениям следует присоединить два краевых условия. Из полученной системы уравнений находятся значения которые подставляются в выражение

На практике наиболее употребительными являются краевые условия следующих типов:

II.

III.

IV.

IV. ЗАДАНИЕ

С помощью интерполяционных кубических сплайнов, записанных в терминах и , вычислить значения функции в точках Таблица значений функции приведена в лабораторной работе № 9.

Использовать следующие краевые условия

Указания:

1. При использовании сплайнов, записанных в терминах к уравнениям присоединить следующие уравнения:

где

2. При использовании сплайнов, записанных в терминах к уравнениям присоединить следующие уравнения:

3. Cистемы и являются системами с трехдиагональной матрицей. Осуществить их решение методом прогонки.