РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА МЕТОДОМ СЕТОК

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 10Следующая ⇒

І. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения уравнений эллиптического типа методом сеток.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Требуется найти решение уравнение

(1)

в области , если

, (2)

где -граница области ; -заданная непрерывная функция.

Чтобы найти решение данной задачи методом сеток покроем область прямоугольной сеткой :

; ,

где -точка, лежащая внутри области; и - шаги сетки по и соответственно;

Заменим в узлах производные и конечно- разностными соотношениями

;

Тогда для каждого внутреннего узла сетки уравнение (1) заменится конечно-разностным уравнением вида

, (3)

где .

Границу данной области заменим границей сеточной области. Если узел сетки лежит на границе области , то значение в этом узле совпадает со значением в данной точке. Если же граничный узел не лежит на границе, то можно выполнить одну из следующих процедур:

1. Положить, что в данном узле функция равна значению функции в ближайшей точке границы, отстоящей от данного узла на расстояние по оси или

2. Для определения значения функции в граничном узле использовать линейную интерполяцию

где -соседний внутренний узел, причем , если лежит внутри области, и , если есть внешняя точка для области .

Выбор шагов производится в зависимости от конкретной задачи, но таким образом, чтобы при этом контур сеточной области как можно лучше аппроксимировал контур данной области .

От выбора зависит также величина остаточного члена при замене дифференциального уравнения (1) конечно-разностным уравнением (3). Следовательно, должны быть выбраны таким образом, чтобы этот остаточный член был меньше погрешности, допустимой при решении.

Особенно простой вид примет система (3) при :

(4)

Следовательно, чтобы решить задачу, надо выбрать шаг сетки, построить сеточную область, найти значения в граничных узлах сетки, записать систему алгебраических уравнений для внутренних и граничных узлов сетки, решить полученную полную систему любым методом (метод Гаусса, метод Зейделя и т.д.). При этом погрешность приближенного решения задачи Дирихле будет складываться из трех погрешностей: погрешности замены дифференциального уравнения разностным, погрешности аппроксимации граничных условий, погрешности решения системы уравнений.

При большом числе внутренних узлов решение системы уравнений затруднительно. Чтобы решить задачу Дирихле в данном случае, применяют процесс Либмана.

Для этого выбирают начальные приближения . Теоретически в качестве этих значений можно выбрать любую систему чисел. Практически, чтобы найти значения , решают задачу Дирихле с большим шагом, обычно с шагом , чтобы получить систему меньшего числа уравнений, принимая значения в граничных узлах равными значениям функции в ближайших точках границы. Значения функции во всех остальных внутренних узлах находят по формуле

Затем значения функции в граничных узлах исправляют по формулам линейной интерполяции, а значения функции во внутренних узлах исправляют по формулам

Процесс продолжается до тех пор, пока не совпадут значения функций в двух последовательных приближениях.

III. ЗАДАНИЕ

Найти решение уравнения

в области , если на границе области

Варианты заданий.

№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.

IV. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Наука, 1966. 632 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967 368 с.

Лабораторная работа № 18

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

МЕТОДОМ СЕТОК

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения уравнений параболического типа методом сеток.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Требуется найти решение уравнения

(1)

в области , удовлетворяющее условиям

(2)

Разобьём область прямыми

;

где - шаг по оси ; -шаг по оси .

Обозначим через .

Заменив в каждом внутреннем узле производные конечно-разностными отношениями по явной схеме, получим систему вида

, (3)

Преобразовав её, будем иметь

, (4)

где ; ; .

В граничных узлах

; (5)

В начальный момент времени

(6)

Эта разностная схема устойчива при любом .

Будем решать систему уравнений (4), (5), (6) методом прогонки.

Для этого положим

, (7)

где пока неизвестные коэффициенты.

Тогда

. (8)

Подставив значение (7) в (4), получим

Откуда

(9)

Из сравнения (7) и (9) видно, что

, (10)

( ) (11)

Для из (4) имеем

Откуда

или

Сравнивая (7) при с последним выражением, получим

(12)

(13)

Таким образом, сначала проводим прямой ход, вычисляя коэффициенты и по формулам (12), (13) и (10), (11). Затем осуществляем обратный ход по формуле (7). Последовательно находим