РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 10Следующая ⇒

МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Рассмотрим метод простой итерации.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений

с неособенной матрицей ( ). Согласно методу простой итерации ее предварительно приводят к виду

где , т.е. первое уравнение системы разрешили относительно , второе - относительно и т.д.

Предположим, что известно начальное приближение

к точному решению системы. Тогда все следующие приближения найдем по формуле

Если последовательность сходится к некоторому предельному вектору , то он будет решением системы. Действительно, считая при , получаем из выражения

равенство .

Последовательность в методе простой итерации сходится, если для матрицы выполняется одно из неравенств

1) ;

III. ЗАДАНИЕ

Найти решение системы линейных уравнений, приведенной в лабораторной работе №1. При решении системы использовать метод простой итерации.

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. - М.: Наука, 1976. 350 с.

Лабораторная работа № 3

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ЗЕЙДЕЛЯ

II. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.

III. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Рассмотрим метод Зейделя.

Пусть система приведена к канонической форме

В методе простой итерации следующее приближение находится по предыдущему путем подстановки в правую часть (1). При этом порядок выбора уравнений значения не имеет.

Согласно методу Зейделя осуществляется разумный выбор порядка уравнений для подстановок и немедленный ввод в вычисления каждого из полученных приближений для неизвестных.

Предположим, что для перехода от приближения к выбран какой-то порядок привлечения уравнений для подстановок. Изменяя, если необходимо, нумерацию уравнений и неизвестных, можно считать, что уравнения для подстановок берутся в порядке роста их номеров. Для каждого шага порядок привлечения уравнений может быть своим. Перестановка уравнений и изменение нумераций влекут изменение матрицы и вектора . Чтобы отметить это, обозначим и для рассматриваемого шага через и .

Итерация в методе Зейделя выполняется в следующем порядке:

После нахождения вектора устанавливается порядок подстановок в уравнения значений и переходят к вычислению вектора и т.д.

Приведем теперь принцип установления порядка привлечения уравнений для подстановок . Можно пытаться улучшить ту составляющую решения, которая найдена наименее точно, чтобы при нахождении всех других составляющих употребить улучшенное ее значение.

О точности можно судить по вектору поправки на шаге : , где . Величины поправок составляющих нумеруют в порядке убывания их модулей, и в том же порядке вычисляют составляющие следующего приближения , сначала ту составляющую, которая отвечает наибольшей по модулю поправке, и т.д.

Рассмотрим более подробно стационарный метод Зейделя, когда при итерациях порядок уравнений сохраняется, а следовательно, сохраняются и . Вычисления по-прежнему проводят по формуле (2).

Разложим матрицу на сумму двух матриц и , где

Тогда равенства (2) можно записать в матричной форме в виде

Отсюда следует, что

а так как определитель матрицы равен единице и она имеет обратную матрицу, то равенство (2) равносильно

Поэтому стационарный метод Зейделя равносилен методу простой итерации, примененному к системе

Последовательность в стационарном методе Зейделя сходится, если для матрицы выполняется одно из неравенств

2) ;

3) .

IV. ЗАДАНИЕ

Найти решение системы линейных уравнений, приведенной в лабораторной работе №1. При решении системы использовать стационарный метод Зейделя.