КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ

1. Цель работы: Исследование метода идентификации линейных динамических объектов, основанный на решении уравнения Винера-Xопфа с регуляризацией по А.Н.Тихонову.

Основы теории

Для стационарных объектов автоматического управления справедливо так называемое уравнение Винера-Xопфа [9]

(1)

где - автокорреляционная функция входного случайного сигнала x(t);

взаимнокорреляционная функция выходного Y(t) и входного x(t) сигналов;

w(t) - весовая функция идентифицируемого объекта.

Одним из методов идентификации линейных динамических объектов в режиме их нормальной эксплуатации является метод, основанный на решении уравнения (1) относительно весовой функции w(t).

На практике имеется возможность наблюдать процессы на входе и выходе объекта лишь за конечное время (время наблюдения), поэтому могут быть вычислены только оценки соответствующих корреляционных функций

(2)

Для реальных объектов при , где - время успокоения объекта, равное примерно , где - максимальная постоянная времени, характеризующая объект.

Кроме того, для реальных процессов, при , где - максимальное время коррелирования.

С учетом сказанного, уравнение (1) может быть записано в виде

(3)

Таким образом, процесс идентификации объекта включает две процедуры:

1) определение оценок корреляционных функций и

2) решение интегрального уравнения (3) относительно w(t).

Обычно для решения уравнения (3) последнее заменяют системой алгебраических уравнений. Для этого производят квантование переменных t и в уравнении (3), а интегрирование заменяют суммированием. Пусть шаги квантования по t и будут соответственно равны . Тогда число квантов по каждой из переменных будет равно и . При этом уравнение (3) примет вид

(4)

В общем случае число уравнений и число неизвестных в системе (4) может не совпадать. Тогда решение системы (4) отыскивается из условия минимума суммы квадратичных отклонений правых и левых частей уравнений в системе (4), что сводится к решению нормальной системы линейных уравнений

(5)

где .

(6)

Однако система (5), как правило, плохо обусловлена, то есть ее определитель близок к нулю. Это приводит к тому, что малым ошибкам в задании коэффициентов в (5) будут соответствовать несоизмеримо большие ошибки в получаемых решениях.

Такие задачи относятся к некорректно поставленным задачам [9].

Получение приемлемых решений некорректно поставленных задач называется регуляризацией. Для целей регуляризации Тихонов А.Н. предложил искать решение системы (5) из условия минимума так называемого сглаживающего функционала , включающего в себя регуляризующую добавку

(7)

где (8)

В простейшем случае регуляризирующая добавка является функцией только от первой производной.

Существенным параметром при регуляризации является коэффициент . Естественно, что получающееся приближенное решение будет зависеть от .

В настоящее время не существует до конца формализованных конструктивных методов по выбору величины .

Часто значение выбирают в зависимости от величин, которые характеризуют меру обусловленности системы уравнений (5). Например, коэффициенты регуляризации можно вычислить по формуле

(9)

где - максимальное значение диагональных элементов матрицы системы (5).

В данном случае в качестве регуляризирующей добавки выбирается функционал вида

(10)

Из условия минимума сглаживающего функционала

(11)

по ординатам весовой функции получим так называемое уравнение Эйлера:

(12)

где

Заметим, что система (12) получена при условии, что w[1]=0, w[N]=w[N+1].

Систему (12) удобно записать в развернутой форме в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно w[i]. Для упрощения записи величину в дальнейшем будем обозначать как w[i]

Решение системы и будет представлять собой искомые значения ординат весовой функции объекта .

Задание и порядок выполнения работы.

1. Ознакомиться с описанием лабораторной работы.

2. Разработать схему алгоритма метода.

3. Составить текст программы и отладить ее.

4. Получить распечатку значений ординат весовой функции для пяти значений коэффициентов регуляризации, начиная со значения. Построить на одном графике рассчитанные весовые функции и объяснить полученные результаты.

5. Сформулировать суждение о характере влияния величины коэффициента регуляризации на точность получаемых результатов путем сопоставления с точной весовой функцией (выдается преподавателем).

4. Контрольные вопросы

4.1. Пояснить методику получения уравнения (1).
4.2. Пояснить сущность метода идентификации, рассмотренного в работе.
4.3. Пояснить физическую сущность некорректно поставленной задачи и предполагаемого способа регуляризации.
4.4. Объяснить способ получения системы уравнений (14).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N10

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Дать определение ПОО и идентификации ПОО.
2. Методы оценки ТМЗ при периодической системе учета : ФИФО, ЛИФО, средневзвешенной стоимости и специфической идентификации
3. Психолингвистический анализ как метод распознавания и идентификации преступника
4. Развитие знаний о криминалистической идентификации за рубежом