Вычисление статистической вероятности

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

Для опытов, которые не сводятся к схеме случаев, прямое или косвенное нахождение вероятностей событий опирается на сбор статистических данных и основано на понятии частоты события (статистической вероятности). Частота события вычисляется по формуле:

где - число опытов, в которых событие появилось; - число произведенных опытов.

При большом числе опытов частота проявляет тенденцию стабилизироваться и приближаться с небольшими колебаниями к вероятности события. Таким образом, частоту события при достаточно большом числе опытов принимают за приближенное значение вероятности. В этом подходе при косвенном определении частот событий по частотам других, связанных с первым, событий используются следующие правила:

а) сложение частот (для несовместных событий)

б) умножение частот (событие D состоит в одновременном появлении событий А и В)

где - частота события , вычисленная для тех опытов, в которых произошло событие .

Таким образом, используя связь между вероятностью и частотой, можно вычислить вероятности событий не только сводящихся к схеме случаев, но и для произвольных схем.

Исходным материалом для формирования на ЭВМ реализаций случайных величин с различными законами распределения вероятностей служат числа с равномерным законом распределения в интервале [0, 1]. Эти числа вырабатываются датчиками случайных чисел (ДСЧ).

Пусть имеется дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение , равна . Значения случайной величины можно интерпретировать как некоторые события, образующие полную группу и наступающие с соответствующими вероятностями .

Реализация такой случайной величины на ЭВМ осуществляется весьма просто. Интервал определения равномерно распределенной случайной величины U [0, 1] делится на подынтервалы такие, что длина равна (рис. 3).

Тогда вероятность попадания случайной величины в интервал оказывается равной :
и алгоритм моделирования случайной величины определяется простым присваиванием при .

Описанный метод и интерпретация результатов работы ЭВМ в терминах объектов позволяют воспроизводить на ЭВМ поведение различных систем и появление событий различного характера и толкования. Рассмотрим простой пример. Имитируется на ЭВМ бросание игральной кости. Алгоритм реализации на ЭВМ событий, состоящих в выпадении определенного количества очков, будет состоять в следующем.

Отрезок [0, 1] разбивается на 6 одинаковых частей (события равновероятны). При попадании случайного числа от ДСЧ в i-й интервал отрезка считаем, что номер i этого интервала соответствует количеству выпавших очков, т. е. при бросании кубика выпало i очков (рис. 4).

Аналогично строится схема воспроизведения на ЭВМ и для более сложных событий.

Объекты и средства исследования

Объекты исследования - опыты со случайным исходом, в которых воспроизводятся заданные случайные события.

Средства исследования - IBM совместимый компьютер, язык программирования Си. Для теоретических расчетов используется аппарат теории вероятностей.

Подготовка к работе

4.1. Повторить правила (аксиомы) теории вероятностей и методы вычисления равновозможных и не равновозможных событий.
4.2. Ознакомиться с методикой воспроизведения непрерывных случайных величин на ЭВМ.
4.3. Повторить синтаксис операторов языка Си.

Программа работы

5.1 Получить вариант у преподавателя (см. приложение 1).
5.2. Составить алгоритм и программу воспроизведения на ЭВМ исследуемых событий.
5.3. Произвести моделирование на ЭВМ. Количество проводимых опытов N (N> =1000). Результаты расчета частоты для N= (100, 200, ..., 1000) вывести на печать.
5.4. Провести расчет теоретической вероятности.
5.5. Сравнить результаты расчетов, сделать выводы и оформить отчет.

6. Контрольные вопросы.

6.1. В чем различие статистического и теоретического подходов при вычислении вероятностей событий?
6.2. Объяснить разницу понятий " статистическая вероятность" и " теоретическая вероятность".
6.3. В чем заключается сущность метода, реализующего дискретную случайную величину на ЭВМ.
6.4. Каков характер приближения частоты события в вашем опыте к теоретически рассчитанной вероятности? Насколько отличаются эти вероятности при больших и малых числах ваших опытов?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N3

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ФОРМИРОВАНИЯ
НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Цель работы: Построение и исследование моделей и алгоритмов формирования непрерывных случайных величин на основе аксиом и правил теории вероятностей. Реализация и исследование моделей на ЭВМ.

Основы теории

Непрерывные случайные величины очень широко используются в качестве средства описания различных явлений и процессов в природе и технике. Исчерпывающей характеристикой такой величины является ее функция распределения:
.

Другой распространенной формой закона распределения является плотность распределения:
.

Функция распределения выражается через плотность распределения по формуле:

Использование этих форм распределения позволяет решать многие практические задачи, в частности определить вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал. Искомая вероятность вычисляется по формуле:

Геометрически эта вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на участок .

Из всего многообразия распределений, которые придают конкретный вид кривой , ниже рассматриваются лишь наиболее употребительные при разработке моделей.

При построении вероятностных моделей явлений и событий с использованием представлений о непрерывных случайных величинах часто возникает необходимость в реализации такого рода величии на ЭВМ. Для формирования возможных значений случайных величин с заданным законом распределения входным материалом служат обычно случайные величины, имеющие равномерное распределение в интервале [0, 1].

Для получения реализаций непрерывной случайной величины с заданной плотностью распределения вероятностей существует немало искусственных приемов. Они достаточно полно излагаются в [7]. Из этих методов весьма распространен метод нелинейного преобразования, называемый методом обратной функции. Этот метод основан на использовании соотношения
,
в котором - i реализация случайной величины , равномерно распределенной в интервале [0, 1]; - i реализация случайной величины , описываемой плотностью вероятности .

При использовании интегральной функции распределения вероятностей получают уравнение:

решение которого относительно дает явную функциональную связь между , и : .

В некоторых случаях метод обратной функции легко алгоритмизируется и дает явное выражение для расчета искомой случайной величины с заданным законом распределения вероятностей.

Рассмотрим реализацию на ЭВМ часто встречающихся законов распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение.

Для воспроизведения на ЭВМ равномерного закона распределения случайной величины на интервале от до используют обратное преобразование соответствующей функции распределения, которое приводит к выражению:

,
где - случайные числа, полученные от ДСЧ.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒