Экспериментальные статистические методы моделирования

ВВЕДЕНИЕ

1. Общие требования и методические указания к подготовке и проведению лабораторных работ.

Данный лабораторный практикум предназначен для проведения лабораторных работ по курсу " Экспериментальные статистические методы моделирования ".

Выполняемые в рамках лабораторных работ задания дают возможность закрепить теоретические знания и приобрести практические навыки построения моделей объектов управления.

При подготовке к лабораторной работе студенты обязаны изучить предлагаемый теоретический материал. Студент допускается к выполнению работы после собеседования, на котором преподаватель проверяет подготовленность студента к данной работе. При пропуске двух занятий без уважительной причины студент допускается к работе только с разрешения заведующего кафедрой.

2. Правила оформления и сдачи отчетов

После выполнения лабораторной работы каждым студентом оформляется отчет, который должен содержать:

название работы;
цель и задачи работы;
вариант задания;
схему алгоритма решения задачи;
текст программы;
результаты теоретического расчета;
результаты моделирования (численные значения, графики);
выводы.

Отчет должен быть оформлен на листах бумаги формата А4 с обеих сторон. Титульный лист отчета должен соответствовать установленной форме. Оформленный отчет сдается преподавателю каждым студентом лично.

Правила техники безопасности при выполнении лабораторных работ

3.1. К работе в дисплейном классе допускаются студенты, прошедшие инструктаж по ТБ и пожарной безопасности.

3.2. Занимать рабочее место за дисплеем бригада может только после допуска преподавателем.

3.3. Включение компьютеров производится только преподавателем или лаборантом.
3.4. Запрещается загромождать рабочее место посторонними предметами.
3.5. При отказе технических средств необходимо немедленно доложить об этом преподавателю или лаборанту. Самостоятельно устранять неисправности студентам категорически запрещается.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N1

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ГЕНЕРАТОРОВ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ И ИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1. Цель работы: Изучение функционирования программных датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ.

Основы теории

При исследовании вероятностных моделей сложных систем необходимо обеспечить возможность получения на ЭВМ случайных величин. Для этой цели используются случайные числа, равномерно распределенные в интервале [0, 1]. Естественно, что если модель системы просчитывается на ЭВМ, необходимо:
1) получать равномерно распределенные случайные числа;
2) иметь разные последовательности случайных чисел;
3) использовать эти числа для формирования случайных величин с заданными характеристиками.

Следует заметить, что получить на ЭВМ случайное число, равномерно распределенное в интервале [0, 1], невозможно из-за конечной разрядной сетки любой ЭВМ. Однако отличие получаемых реализаций случайных чисел от равномерно распределенных оказывается незначительным для ЭВМ с высокой разрядностью.

Методы получения на ЭВМ случайных чисел можно разделить на три большие группы:
1. Использование физических датчиков (генераторов) случайных чисел.
2. Использование таблиц случайных чисел.
3. Получение псевдослучайных чисел.

Первая группа методов основана на использовании специальных устройств, сопрягаемых с ЭВМ и являющихся источником собственно случайности. В качестве таких устройств могут использоваться генераторы шума, источники радиоактивного излучения и т.п. С помощью подобных устройств разрядная сетка машины заполняется набором независимых значений случайных двоичных чисел.

Общий недостаток физических датчиков случайных чисел - малое быстродействие и невоспроизводимость последовательностей случайных чисел, что существенно ограничивает область их применения.

Вторая группа методов получения случайных чисел на ЭВМ связана с использованием таблиц случайных чисел. Подобные таблицы составляются с помощью специальных технических устройств - " электронных рулеток" и могут иметь очень большой объем.

Основной недостаток использования таблиц случайных чисел при статистическом моделировании на ЭВМ - большая загрузка памяти вычислительной машины. В оперативной памяти такие таблицы обычно не размещаются ввиду их слишком большого объема, а размещение их на внешних накопителях существенно снижает быстродействие ЭВМ. Поэтому таблицы случайных чисел очень редко используются при вычислениях на ЭВМ.

Третья группа методов получения псевдослучайных чисел основана на использовании специальных алгоритмов генерации псевдослучайных последовательностей чисел. Подобные алгоритмы имеют рекуррентную структуру и жестко детерминированы. Задав начальные значения последовательности, мы однозначно определим все элементы. Однако полученный на выходе генератора массив чисел обнаруживает свойства, присущие совокупности реализаций случайной величины. Именно поэтому последовательности, полученные с помощью таких алгоритмов, называют псевдослучайными и обращаются с ними как с массивами реализаций случайной величины, используя для их анализа все методы математической статистики.

Объем массива чисел псевдослучайной последовательности всегда ограничен. В любой ЭВМ с конечной разрядностью число возможных значений величины, лежащей в интервале [0, l], составляет (один знаковый разряд). Следовательно, в последовательности чисел рано или поздно появится такое число , которое уже там было. Начиная с этого числа, все предыдущие числа последовательности начнут повторяться.

Таким образом, массив получаемых чисел псевдослучайной последовательности ограничен величиной - отрезком апериодичности. Длина отрезка апериодичности зависит от метода генерации случайных чисел и типа ЭВМ, на которой этот генератор реализуется.

К настоящему времени разработано много генераторов псевдослучайных чисел. Рассмотрим некоторые (наиболее известные) из них.

Мультипликативный конгруэнтный метод. Метод представляет собой арифметическую процедуру для генерирования конечной последовательности равномерно распределенных чисел. Основная формула метода имеет вид:
,
где и - неотрицательные целые числа.

Согласно этому выражению, мы должны последнее случайное число , умножить на постоянный коэффициент и взять модуль полученного числа по (т.е. разделить на и остаток считать, как ). Поэтому для генерирования последовательности чисел необходимы начальное значение , множитель и модуль . Эти параметры выбирают так, чтобы обеспечить максимальный период и минимальную корреляцию между генерируемыми числами.

Правильный выбор модуля не зависит от системы счисления, используемой в данной ЭВМ. Для ЭВМ, где применяется двоичная система счисления, ( -число двоичных цифр в машинном слове). Тогда максимальный период (который получается при правильном выборе и ):

Выбор и зависит также от типа ЭВМ. Для двоичной машины:

где Т - может быть любым целым положительным числом, а - любым положительным, но нечетным числом.

Следует заметить, что указанный выбор констант ускоряет и упрощает вычисления, но не обеспечивает получение периода максимальной длины. Большой период можно получить, если взять , равное наибольшему простому числу, которое меньше, чем , и , равное корню из . Максимальная длина последовательности будет увеличена от до (метод Хатчинсона). Схема алгоритма приведена на рис. 1.

Для З2-разрядного машинного слова константы имеют значения , .

Смешанные конгруэнтные методы. На основе конгруэнтной формулы были созданы и испытаны десятки генераторов псевдослучайных чисел (ДСЧ). Работа этих генераторов основана на использовании формулы

,
где - константы, обычно автоматически вычисляемые в подпрограмме. Схема алгоритма приведена на рис. 2.

При составлении программ с использованием данного алгоритма необходимо учитывать следующее:

при первом обращении принять iх = 0;
все переменные вещественного типа, а также действия над ними должны выполняться с двойной точностью (8 байт).

Грин, Смит и Клем предложили аддитивный конгруэнтный метод. Он основан на использовании рекуррентной формулы:
.

При и этот алгоритм приводит к особому случаю, называемому последовательностью Фибоначчи.

Другие алгоритмы основаны на комбинации двух конгруэнтных методов с перемешиванием полученных последовательностей.

В математическое обеспечение языка Си включено несколько датчиков равномерно распределенных псевдослучайных чисел. Функции, предназначенные для работы с ДСЧ на языке Си приведены в табл.1

Таблица 1.

Функция	Описание	Примечание
Rand()	Возвращает целые псевдослучайные числа в диапазоне от 0 до RAND_MAX.	Константа RAND_MAX определена в STDLIB.H
srand(n)	Инициализирует генератор Rand(). Изменение параметра n позволяет изменить последовательность случайных чисел.	Определена в STDLIB.H
random(num)	Возвращает случайное число между 0 и (num-1)	Определена в STDLIB.H
randomize	Инициализирует генератор random(num), используя функцию времени	Подключить TIME.H

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒