Пространство и время в теоретической механике и их измерение

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 13Следующая ⇒

Основоположник классической механики И. Ньютон в своем произведении «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) ввел понятия об абсолютном времени и пространстве.

Ньютон исходил из правильных материалистических позиций, признавая объективный характер пространства и времени. Вводя понятия абсолютного пространства и времени, но отрывая их от движущейся материи, Ньютон становился метафизиком.

Как было отмечено в введении, диалектический материализм рассматривает пространство и время как объективные формы существования материи. Пространство и время без материи, как и материя вне пространства и времени, не существуют.

Пространство и время неразрывно связаны между собой, их единство проявляется в движении. «В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени».

В теоретической механике пространство, в котором рассматривается движение тел, трактуется как трехмерное эвклидово пространство.

В отличие от теоретической механики, теория относительности (релятивистская механика) опирается на иные представления о пространстве и времени. Этому содействовало появление новой геометрии — геометрии Н. И. Лобачевского (1792—1856). В противоположность Ньютону, Н. И. Лобачевский не отрывал пространство и время от движения, рассматривая последнее как изменение положения одних тел по отношению к другим. В своем произведении «Новые начала геометрии» он писал: «В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные представления невозможны. Следовательно, все другие понятия, например геометрические, образованы нашим разумом искусственно, будучи взятыми в свойствах движения, а поэтому пространство само по себе, отдельно, для нас не существует»². Из высказываний Н. И. Лобачевского видно, что он рассматривал свойства пространства как проявление взаимосвязей между движущимися телами. За 80 лет до появления теории относительности Н. И. Лобачевский показал, что эвклидова геометрия относится к абстрактным геометрическим системам, в то время как в физическом мире пространственные соотношения определяются физической геометрией, отличной от эвклидовой, в которой свойства пространства и времени органически объединены со свойствами материи, движущейся в пространстве и времени.

Следует отметить, что передовые русские ученые в области механики стихийно или сознательно стояли на правильных материалистических позициях в трактовке всех основных понятий теоретической механики, в том числе пространства и времени. Заметим, что эти взгляды на пространство и время в теории относительности соответствуют представлениям о пространстве и времени классиков марксизма, сформулированных ими задолго до появления работ по теории относительности.

В теоретической механике при измерении пространства за основную единицу длины принимают метр (м), а за основную единицу времени — секунду (с). Время предполагается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат) и не зависимым от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой и рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина, принимаемая в качестве аргумента.

При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент времени.

Промежутком времени называется время, протекающее между двумя физическими явлениями. Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени. Начальным моментом называется время, с которого начинают отсчет времени.

Основная задача кинематики точки

Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения тачки. Зависимость между произвольными положениями движущейся точки в пространстве и времени определяет закон ее движения. Закон движения точки считают известным, если можно определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Положение точки рассматривается по отношению к выбранной системе координат. При своем движении точка описывает некоторую кривую (в частности, прямую), называемую траекторией. Если траекторией является прямая линия, то движение точки называется прямолинейным. В случае, когда траекторией является кривая линия, то движение точки называется криволинейным.

§ 5. Три способа определения движения точки

Движение точки можно определить тремя способами: векторным, координатным и естественным.

1. Векторный способ. Положение точки можно определить с помощью радиуса-вектора г, проведенного из некоторой заданной неподвижной точки О в данную точку М При движении точки радиус-вектор г изменяется по величине и направлению Каждому моменту времени г соответствует свое значение г. Следовательно, г является функцией времени г:

г = г (t)

Функцию г (t) полагают однозначной, так как рассматриваемая точка М в данный момент времени может находиться только в одном месте пространства Кроме этого г (t) должна быть непрерывной функцией. В большинстве задач механики функция г (t) является Дважды дифференцируемой функцией времени t. Уравнение (11.1) называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме. Это уравнение выражает также закон движения точки, и в векторной форме выражает уравнение траектории точки.

При движении точки конец вектора г движется по траектории. Геометрическое место концов переменного вектора при фиксированной точке их приложения называется годографом («годос» по-гречески — путь, «граф» — описывать). Следовательно, траектория точки является годографом радиуса-вектора г.

2. Координатный способ. Этот способ определения движения точки состоит в том, что задаются координаты точки как функции времени, т. е.

х=х(t), у = у(t), z = z(t)

Между векторным и координатным способами задания движения точки существует следующая связь:

r=ix+jy+kz

где i, j, k — орты (или единичные векторы), соответственно направленные по осям координат Ох, Оу, Оz.

На том же основании, что и г (t), функции х(t), у(t), z(t) являются однозначными, непрерывными, допускающими непрерывные производные.

Уравнения (П.2) являются уравнением траектории в параметрической форме. Исключая из уравнений (П.2) параметр t, получаем уравнение траектории в явной форме.

Если движение точки задано в полярных координатах

г=г(t), φ = φ (t),

где г — полярный радиус, φ — угол между полярной осью и полярным радиусом, то уравнения (П.4) выражают уравнение траектории точки. Исключив параметр t, получим

г = г(φ ).

3. Естественный способ. Если траектория точки известна заранее, то для определения закона движения точки в пространстве достаточно задать положение точки на ее траектории. С этой целью одну из точек О на траектории принимают за начало отсчета дуговых координат, так как положение движущейся точки М определяется ее ориентированным расстоянием, которое отсчитывается по дуге траектории от выбранной точки отсчета (рис. 36). Следовательно, является функцией времени:

s = s(t).

Уравнение (11.6) определяет закон движения точки по траектории или закон изменения расстояния. Функция s= s (t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. следует помнить, что уравнение (11.6) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории.

Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция

s = s(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М в М . Положению точки в М соответствует время t , а положению точки в М - время t . Разложим промежуток времени t - t на весьма малые промежутки времени Δ t (i = 1, 2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим Δ s . Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной: σ =

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле

σ =

так как

dσ =

где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

Следовательно,

dσ = | ds| = .

Скорость движения точки

Важной характеристикой движения точки является ее скорость. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения

Δ r = υ Δ t,

где v – постоянный вектор.

Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет.

Из соотношения (11.10) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (11.10) имеем

υ =

Направление вектора v указано на рис. 37.

Перейдем к рассмотрению неравномерного криволинейного движения точки.

Пусть точка М произвольно движется по некоторой кривой. Пусть в момент t точка занимает положение М, а через весьма малый промежуток времени Δ t она занимает положение М₁. Положение точки М определяется радиусом-вектором г, а положение точки М₁ — радиусом-вектором г+Δ г, равномерное прямолинейное движение точки из М в М^ можно охарактеризовать скоростью, равной отношению Δ г к Δ t, называемой средней скоростью:

υ _CP= .

Вектор υ _CP совпадает с направлением вектора Δ г.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒