Таким образом, траектории точек А и М будут одинаковыми кривыми, которые при наложении совпадают.

Теорема 2. При поступательном движении твердого тела в каж­дый момент все его точки имеют равные скорости и ускорения.

Доказательство. Действительно, дифференцируя (11.49), получим:

r _M= r _A+ r

и, так как r = const, r =0. Следовательно,

r_M=r_A

 

или

υ _М=υ _А

Дифференцируя (11.50) по времени, получим

ω _М=ω _А

Где

ω _М=υ _М, ω _А = υ _А

 

Теорема доказана.

Из изложенного следует, что изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения какой-нибудь одной его точки, т. е. к задаче кинематики точки.

Уравнения поступательного движения тела имеют вид

х_А= х_А(t), y=y_А(t), z_А= z_А(t)

 

 

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Кинематическое уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором прямая, проходящая через какие-нибудь две точки, во время движения тела остается неподвижной. Эта прямая называется осью вращения тела.

В качестве положительного направления вращения тела примем его вращение против часовой стрелки.

Положение тела при вращении вокруг неподвижной оси опре­деляется углом поворота φ. Если провести в некоторый момент вре­мени t₀ через ось вращения OO₁плоскость Q и фиксировать ее поло­жение в неподвижном пространстве и в теле, а через некоторый промежуток времени провести другую плоскость Р, неизменно свя­занную с телом, то получится двугранный угол с ребром OO₁ на оси вращения. Линейный угол φ этого двугранного угла называется углом поворота тела. Условимся о знаке угла поворота φ. Если обнаружим, что со стороны положительного направления оси Оz переход от одной плоскости N к другой Р будет виден в направлении, противоположном ходу часовой стрелки, то угол поворота φ будем
считать положительным, а если по часовой стрелке, — отрицательным. Угол φ измеряется в радианах. При известном числе оборотов N тела угол поворота определяется по формуле

При вращении тела угол поворота φ непрерывно изменяется во времени. Следовательно,

Уравнение (11.55) называется кинематическим уравнением вра­щательного движения тела вокруг неподвижной оси.

 

Угловая скорость и угловое ускорение тела, вращающегося

Вокруг неподвижной оси

1. За весьма малый промежуток времени t угол поворота (или угловое перемещение) изменится на величину . Отношение к называется средней угловой скоростью и обозначается т. е.

Угловая скорость тела в данный момент характеризует скорость изменения во времени угла поворота и равна первой производной по времени от угла поворота:

или

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду ( . В тех­нике угловую скорость часто задают числом n оборотов в минуту (n об/мин). Тогда |

Или

Если при вращении тела угловая скорость постоянна ( ), то вращение тела называется равномерным. Угол поворота при этом изменяется пропорционально времени. Действительно,

Следовательно,

где ₀ — начальный угол поворота. Уравнение (11.59) называется равнением равномерного вращения тела вокруг неподвижной оси. Следует заметить, что угловая скорость определяет также и на­правление вращения. Так, если > 0, тело вращается в направлении возрастания угла поворота и в противоположном направле­нии, если < 0. Поэтому угловую скорость изображают скользя­щим вектором направленным по оси вращения так, чтобы, смот­ря с конца этого вектора на его начало, видно было бы вращение тела против часовой стрелки. Указанное направление считается положительным в правой системе координат, а в левой — наоборот. Модуль вектора будет

Угловое ускорение тела характеризует скорость изменения угловой скорости во времени.

Угловое ускорение в данный момент равно первой производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота.

Угловое ускорение обозначают буквой . Пусть за промежуток времени угловая скорость изменилась на со, тогда получим

Переходя к пределу, найдем угловое ускорение тела в данный момент времени

Или

За единицу углового ускорения принимают радиан за секунду в квадрате (рад/с²). Угловое ускорение , также как и , изображают скользящим вектором, направленным по оси вращения. Действительно, пред­ставляет собой вектор, направленный по касательной к годографу вектора . Годографом вектора ω является прямая, совпадающая с осью вращения . Поэтому направлен по оси 0_z. Модуль вектора ε будет равен

.

Если ε > O^ одного знака с ω , то направление ε совпадает с на­правлением ω (рис. 49) и вращение тела называется ускоренным.

Eсли ε  < 0, а ω положительное, то направления ε и ω противоположны (рис. 49, б) и вращение тела называется замедленным.

Если ε = 0, то ω =0 и ω =const, т. е. тело вращается равномерно. При ε =const≠ 0, вращение тела называется равнопеременным.

Если ε  =const≠ 0, то ω  =ε  =const. После интегрирования получим

ω  =ε t+C

Постоянную интегрирования С_г найдем из начальных условий движения. Например, если при t=0, ω  =ω ₀, φ =φ _O, то С₁ =ω _O. Получим

ω  =ω _O + ε  t.

 

Но, в свою очередь, ω  =φ. Следовательно,

φ =ω _O + ε  t, dφ =ω _Odt+ ε  tdt.

Интегрируя, получим

φ =ω _O t+

Исходя из начальных условий движения, найдем С₂ = φ ₀,

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. обеспечение выполнения расписания движения, корректировка движения в случае необходимости, оказание техпомощи ПС на линии, принятие мер в случае ДТП и др.
2. A. эксплуатируемые вручную или с применением ручного труда; без применения ручного труда (механические, автоматические и др.).
3. B. Специфика восприятия выразительных средств театра
4. Extended Primitives-расширенные примитивы
5. I ) При нейтральной оси в полке.
6. I. Заполнение фрагмента «Талон приема»
7. I. Общие сведения о воспитательном мероприятии
8. I. Прием и отправление поездов
9. I. Принятие нормативных актов органами государства.
10. I. ЭКГ при нарушениях ритма сердца (аритмиях)
11. I. Этические принципы психолога
12. II. Выберите, при каком условии верно данное утверждение.