Траектории точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Закон движения точки по траектории.

 

Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси, например Оz, являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Центры этих окружностей находятся в точках пересечения оси вращения с указанными плоскостями. Радиусы данных окружностей называются также радиусами вращения точек тела. При повороте тела на угол φ для точки с радиусом вращения R закон движения точки по траектории будет

 

s=Rφ

Где s — дуговая координата, соответствующая углу поворота

 

 

φ = φ (t)

 

 

Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Формула Эйлера

Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется линейной. Заметим, что скорости точек на ободе маховика или вращающегося диска называются также окружными скоростями.

Так как движение точки в этом случае движения тела задано естественным образом, то величина линейной скорости будет равна

υ =|s| = R|φ |,

Или

υ =Rω.

Следовательно, линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, по величине равна произведению радиуса вращения на величину угловой скорости. Линейная скорость направ­лена по касательной к окружности в сторону вращения и, таким образом, перпендикулярна радиусу вращения R (рис 50).

Покажем, что линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой ско­рости тела на радиус-вектор точки.

Действительно, пусть тело вращается вокруг неподвижной оси против часовой стрелки. Тогда вектор угловой скорости ω будет направлен в положительную сторону оси вращения Оz,. Положение рассматриваемой точки тела определим радиусом-вектором r. Радиус вращения R будет равен

R = r sin (ω ^r).

Подставляя в (11.67), получим

υ = ω r sin (ω ^r).

Следовательно, модуль линейной скорости будет равен модулю векторного произведения векторов ω и r. Очевидно далее, что на­правление линейной скорости точки υ совпадает с направлением век­торного произведения ω x r. Это непосредственно вытекает из определения векторного произведения двух векторов ω и r. Таким обра­зом, линейная скорость точки равна векторному произведению век­торов ω и r, т. е.

υ = ω х r.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Выбрав оси координат, как указано на рис. 50, уста­новим формулы для проекций линейной скорости на оси координат, как проекций векторного произведения.

υ _x=ω _yr_z - ω _zr_y

υ _y=ω _zr_x - ω _xr_z

υ _z=ω _xr_y - ω _yr_x

где r_х = х, r_y = у, r_z = z, ω _x= 0, ω _у = 0, ω _z = ω;

Х, y, z — координаты точки М.

Окончательно получим

υ _x = — ω y,

υ _y = ω x,

υ _z =0.

Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Так как в рассматриваемом случае движение точки задано естест­венным способом, то полное ускорение точки можно вычислить, как векторную сумму касательного ω _τ и нормального ω _n ускорений (см. глава I, § 16). Выразим эти ускорения через кинематические характеристики вращательного движения тела, т. е_; через ω  и ε .

Имеем ω _n= ω _τ =s,

Откуда, на основании формул (11.66) и (11.67),

Или

ω _n = R ω ²

и

ω _τ = s== Rφ,

Или

ω _τ = Rε .

Следовательно, нормальное ускорение точки тела при вращении его вокруг неподвижной оси равно произведению радиуса вращения на квадрат угловой скорости. Касательное ускорение равно произведе­нию радиуса вращения на угловое ускорение. Нормальное ускорение направлено по радиусу вращения к центру вращения (рис. 51, а). Касательное ускорение направлено по касательной к траектории в сторону вращения, если движение ускоренное (ε  > 0), и в сторо­ну, противоположную вращению, если движение замедленное, т. е. ε  < 0 (рис. 51, б, в).

Модуль полного ускорения точки найдем по формуле (11.44), т. е.

Или

Направление полного ускорения определим по тангенсу уг­ла α, который полное ускорение образует с нормальным ускоре­нием (рис. 52). Получим

tgα =

Или

tgα =

Пример. Маховик вращается согласно уравнению φ = 2t². Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки на ободе махо­вика в момент t = 10с, если R = 1, 2 м.

Величину линейной скорости определим по формуле

υ =Rω.

Имеем

ω = φ = 4t рад/с, ε = φ = 4 рад/с²,

Следовательно,

υ = 1, 2 • 4t = 4, 8t м/с.

В момент t = 10с υ = 48 м/с. Касательное ускорение

ω _т = Rε = 1, 2 • 4 = 4, 8 м/с² = const

Нормальное ускорение

ω _n = Rω ² = 1, 2 • 16t² = 19.2t².

При t =10 с ω _n = 1920 м/с².

Полное ускорение ω = =1920.6 м/с²

 

СЛОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вставьте вместо точек глаголы, данные под чертой, в нужной форме.
2. Изменения в проверяемых гипотезах при проверке карточек
3. Измерение температуры тела, алгоритм выполнения
4. ИЩИТЕ ВОКРУГ ТО, ЧЕГО ХОТЕЛИ БЫ ВИДЕТЬ БОЛЬШЕ
5. Колебания равновесного уровня выпуска вокруг экономического потенциала. Мультипликатор автономных расходов. Рецессионный и инфляционный разрывы
6. Колебания равновесного уровня выпуска вокруг экономического потенциала. Мультипликатор автономных расходов. Рецессионный и инфляционный разрывы
7. Массаж спины и тела, предельная нежность
8. Методика направленных воздействий на осанку, гибкость, массу тела, компоненты телосложения в процессе физического воспитания. Физическое совершенство как важная часть гармонично развитой личности.
9. Момент количества движения системы материальных точек (кинетический момент)
10. Начальные ТЭ, служащие для обозначения частей тела, органов, тканей, секретов, выделений, состояний.
11. Образцы карточек для «Терминологической разминки»
12. Однако обстоятельства, складывающиеся вокруг не мной созданных проблем, заставляют меня искать выходы из безвыходных ситуаций.