Простейшие операции с матрицами

Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число. Например —

Рис. 3 Умножение матрицы на число

Две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать. Например,

Рис. 4 Сложение матриц

В результате умножения на число и сложения получается матрица той же размерности.

Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O. Очевидно, что A + O = A, A − A = O и 0 A = O.

Матрицу можно транспонировать. При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A ' или индексом A ^t. Таким образом, если A = {a_ij, i = 1,..., I; j = 1,..., J}, то A ^t = {a_ji, j = 1,..., J; i = 1,..., I}. Например

Рис. 5 Транспонирование матрицы

Очевидно, что ( A ^t)^t = A, ( A + B )^t = A ^t+ B ^t.

Содержание

Умножение матриц

Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности. Почему это так, будет ясно из определения. Произведением матрицы A, размерностью I× K, и матрицы B, размерностью K× J, называется матрица C, размерностью I× J, элементами которой являются числа

Таким образом для произведения AB необходимо, чтобы число столбцов в левой матрице A было равно числу строк в правой матрице B. Пример произведения матриц —

Рис.6 Произведение матриц

Правило перемножения матриц можно сформулировать так. Для того, чтобы найти элемент матрицы C, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца (c_ij) надо поэлементно перемножить i-ую строку первой матрицы A на j-ый столбец второй матрицы B и сложить все результаты. Так в показанном примере, элемент из третьей строки и второго столбца, получается как сумма поэлементных произведений третьей строки A и второго столбца B

Рис.7 Элемент произведения матриц

Произведение матриц зависит от порядка, т.е. AB ≠ BA, хотя бы по соображениям размерности. Говорят, что оно некоммутативно. Однако произведение матриц ассоциативно. Это означает, что ABC = ( AB ) C = A ( BC ). Кроме того, оно еще и дистрибутивно, т.е. A ( B + C ) = AB + AC. Очевидно, что AO = O.

Содержание

Квадратные матрицы

Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица называется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы. Среди этих матриц можно выделить матрицы, обладающие особыми свойствами.

Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E ) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.

Очевидно AI = IA = A.

Матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных (a_ii) равны нулю. Например

Рис. 8 Диагональная матрица

Матрица A называется верхней треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. a_ij = 0, при i> j. Например

Рис. 9 Верхняя треугольная матрица

Аналогично определяется и нижняя треугольная матрица.

Матрица A называется симметричной, если A ^t = A. Иными словами a_ij = a_ji. Например

Рис. 10 Симметричная матрица

Матрица A называется ортогональной, если

A ^t A = AA ^t = I.

Матрица называется нормальной если

A ^t A = AA ^t.

Содержание

След и определитель

Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr( A ) или Sp( A )) называется сумма ее диагональных элементов,

Например,

Рис. 11 След матрицы

Очевидно, что

Sp(α A ) = α Sp( A ) и

Sp( A + B ) = Sp( A )+ Sp( B ).

Можно показать, что

Sp( A ) = Sp( A ^t), Sp( I ) = N,

а также, что

Sp( AB ) = Sp( BA ).

Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det( A )). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2× 2). Тогда

Для матрицы (3× 3) определитель будет равен

В случае матрицы (N× N) определитель вычисляется как сумма 1·2·3·... ·N = N! слагаемых, каждый из которых равен

Индексы k₁, k₂,..., k_N определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, ..., N). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,

Рис. 12 Определитель матрицы

Отметим только очевидные свойства:

det( I ) = 1, det( A ) = det( A ^t),

det( AB ) = det( A )det( B ).

Содержание

Векторы

Если матрица состоит только из одного столбца (J = 1), то такой объект называется вектором. Точнее говоря, вектором-столбцом. Например

Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например

Этот объект также является вектором, но вектором-строкой. При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.

Размерностью вектора называется число его элементов.

Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.

В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0.

Содержание

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒