Эквивалентные и подобные матрицы

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности I× J эквивалентны, если существуют такие квадратные матрицы S, размерности I× I, и T, размерности J× J, что

B = SAT.

Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности N× N подобны, если существует такая невырожденная матрица T, что

B = T^{− 1}AT.

Матрица T называется преобразованием подобия.

Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.

Содержание

Приведение матрицы к диагональному виду

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —

A = TΛ T^{− 1}

Здесь Λ = diag(λ ₁,..., λ _N) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v₁,..., v_N).

Например,

Рис. 23 Приведение к диагональному виду

Содержание

Разложение по сингулярным значениям (SVD)

Пусть имеется прямоугольная матрица A размерностью I× J ранга R (I≤ J≤ R). Ее можно разложить в произведение трех матриц P_R (I× R), D_R (R× R) и Q_R (J× R) —

так, чтобы —

.

Здесь P_R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами p_r матрицы AA^t, соответствующим R наибольшим собственным значениям λ _r;

AA^tp_r=λ _rp_r;

Q_R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами q_r матрицы A^tA;

A^tAq_r=λ _rq_r.

D_R = diag (σ ₁,..., σ _R) — положительно определенная диагональная матрица, элементами которой являются σ ₁≥... ≥ σ _R≥ 0 — сингулярные значения матрицы A, равные квадратным корням из собственных значений матрицы A^tA—

Пример,

Рис. 24 SVD разложение

Дополняя матрицы P_R и Q_R ортонормированными столбцами, а матрицу D_R нулевыми значениями, можно сконструировать матрицы P (I× J), D (J× J) и Q (J× J) такие, что

Об использовании SVD рассказано в пособиях MatLab. Руководство для начинающих и Метод главных компонент (PCA)

Содержание

Линейное пространство

Рассмотрим все возможные векторы размерности N. Это множество называется линейным пространством размерности N и обозначается R^N. Так как в R^N включены все возможные векторы, то любая линейная комбинация векторов из R^N будет также принадлежать этому пространству.

Содержание

Базис линейного пространства

Любой набор из N линейно независимых векторов называется базисом в пространстве R^N. Простейший пример базиса — это набор векторов

в каждом из которых только один элемент равен 1, а остальные равны нулю. Тогда любой вектор x = (x₁, x₂,..., x_N)^t может быть представлен как линейная комбинация x = x₁e₁+ x₂e₂₊...+x_Ne_N базисных векторов.

Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным, а если базисные вектора еще и нормированы, то этот базис называется ортонормированным.

Содержание

Геометрическая интерпретация

Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N-мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x = (x₁, x₂,..., x_N)^t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами (x₁, x₂,..., x_N).

Рис. 25 Координатное пространство

Содержание

Множественность базисов

В линейном пространстве могут быть неограниченное число базисов. Так, в пространстве R³ помимо обычного ортонормированного базиса

можно установить и другой ортонормированный базис, например

Каждый базис можно представить матрицей B = (b₁,..., b_N), составленной из базисных векторов. Переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной квадратной матрицы T, т.е. B₂ = TB₁.

Содержание

Подпространство

Пусть имеется набор из K линейно независимых векторов x₁, x₂,..., x_K в пространстве R^N. Рассмотрим все возможные линейные комбинации этих векторов

x = α ₁x₁+ α ₂x₂+...+ α _Kx_K

О получившимся множестве Q говорят, что оно является линейной оболочкой или что оно натянуто на векторы x₁, x₂,..., x_K. По определению линейного пространства это множество Q само является линейным пространством размерности K. При этом оно принадлежит пространству R^N, поэтому Q называется линейным подпространством R^K в пространстве R^N.

Содержание

Проекция на подпространство

Рассмотрим подпространство R^K, натянутое на векторы X = (x₁, x₂,..., x_K) в пространстве R^N. Матрица базиса X имеет размерность (N× K). Любой вектор y из R^N может быть спроецирован на подпространство R^K, т.е. представлен в виде

y = y^|| + y^⊥ ,

где вектор y^|| принадлежит R^K, а вектор y^⊥ ортогонален y^||.

Рис. 26 Проекция на подпространство

Проекциюy^|| можно представить как результат действия проекционной матрицы P

y^|| = Py

Проекционная матрица определяется как

Пример.

Рис. 27 Проекционное разложение

Содержание

Заключение

Матричные методы активно используются при анализе данных, в том числе и хемометрическими методами.

Примеры приведены в пособиях

• Матричные операции в Excel и в сопровождающем его файле Excel.xls
• Метод главных компонент (PCA) и в сопровождающем его файле People.xls
• Калибровка и в сопровождающем его файле Calibration.xls
• Классификация и в сопровождающем его файле Iris.xls
• Разрешение многомерных кривых и в сопровождающем его файле MCR.xls.

 

Содержание

 

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться:

Популярное:

1. PEST-анализ макросреды предприятия. Матрица профиля среды, взвешенная оценка, определение весовых коэффициентов. Матрицы возможностей и матрицы угроз.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ
3. Глава вторая. Отношения, подобные договорным
4. Матрицы психического состояния.
5. На интернет-сайтах погоды можно встретить подобные таблицы. Внимательно изучи прогноз погоды на трое суток.
6. Опухолеподобные поражения челюстных костей
7. Опухоли, опухолеподобные поражения и кисты челюстных костей
8. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.
9. ТЕМА 1.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
10. Тема: Нахождение обратной матрицы