Простейшие операции с векторами

Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами. Например,

Рис. 13 Операции с векторами

Два вектора x и y называются колинеарными, если существует такое число α, что

α x = y.

Содержание

Произведения векторов

Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = (x₁, x₂,..., x_N)^t и y = (y₁, y₂,..., y_N)^t. Руководствуясь правилом перемножения " строка на столбец", мы можем составить из них два произведения: x ^t y и xy ^t. Первое произведение

называется скалярным или внутренним. Его результат — это число. Для него также используется обозначение ( x, y )= x ^t y. Например,

Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение

Второе произведение

называется внешним. Его результат — это матрица размерности (N× N). Например,

Рис. 15 Внешнее произведение

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

Содержание

Норма вектора

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина

определяет квадрат длины вектора x. Для обозначения длины (называемой также нормой вектора) используется обозначение

Например,

Рис. 16 Норма вектора

Вектор единичной длины (|| x || = 1) называется нормированным. Ненулевой вектор ( x ≠ 0 ) можно нормировать, разделив его на длину, т.е. x = || x || ( x/ || x ||) = || x || e. Здесь e = x/ || x || — нормированный вектор.

Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны.

Содержание

Угол между векторами

Скалярное произведение определяет и угол φ между двумя векторами x и y

Если вектора ортогональны, то cosφ = 0 и φ = π /2, а если они колинеарны, то cosφ = 1 и φ = 0.

Содержание

Векторное представление матрицы

Каждую матрицу A размера I× J можно представить как набор векторов

Здесь каждый вектор a _j является j-ым столбцом, а вектор-строка b _i является i-ой строкой матрицы A

Содержание

Линейно зависимые векторы

Векторы одинаковой размерности (N) можно складывать и умножать на число, также как матрицы. В результате получится вектор той же размерности. Пусть имеется несколько векторов одной размерности x ₁, x ₂,..., x _K и столько же чисел α α ₁, α ₂,..., α _K. Вектор

y = α ₁ x ₁+ α ₂ x ₂+...+ α _K x _K

называется линейной комбинацией векторов x _k.

Если существуют такие ненулевые числа α _k ≠ 0, k = 1,..., K, что y = 0, то такой набор векторов x _k называется линейно зависимым. В противном случае векторы называются линейно независимыми. Например, векторы x ₁ = (2, 2)^t и x ₂ = (− 1, − 1)^t линейно зависимы, т.к. x ₁ +2 x ₂ = 0

Содержание

Ранг матрицы

Рассмотрим набор из K векторов x ₁, x ₂,..., x _K размерности N. Рангом этой системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов. Например в наборе

имеются только два линейно независимых вектора, например x ₁ и x ₂, поэтому ее ранг равен 2.

Очевидно, что если векторов в наборе больше, чем их размерность (K> N), то они обязательно линейно зависимы.

Рангом матрицы (обозначается rank( A )) называется ранг системы векторов, из которых она состоит. Хотя любую матрицу можно представить двумя способами (векторы столбцы или строки), это не влияет на величину ранга, т.к.

rank( A ) = rank( A ^t).

Содержание

Обратная матрица

Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A ^-1, определяемую условиями

AA ^{− 1} = A ^{− 1} A = I.

Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является

det( A ) ≠ 0 или rank( A ) = N.

Обращение матрицы — это сложная процедура, для выполнения которой существуют специальные программы. Например,

Рис. 17 Обращение матрицы

Приведем формулы для простейшего случая — матрицы 2× 2

Если матрицы A и B невырождены, то

( AB )^{− 1} = B ^{− 1} A ^{− 1}.

Содержание

Псевдообратная матрица

Если матрица A вырождена и обратная матрица не существует, то в некоторых случаях можно использовать псевдообратную матрицу, которая определяется как такая матрица A ⁺, что

AA ⁺ A = A.

Псевдобратная матрица — не единственная и ее вид зависит от способа построения. Например для прямоугольной матрицы можно использовать метод Мура-Пенроуза.

Если число столбцов меньше числа строк, то

A ⁺=( A ^t A )^{− 1} A ^t

Например,

Рис. 17a Псевдообращение матрицы

Если же число столбцов больше числа строк, то

A ⁺= A ^t( AA ^t)^{− 1}

Содержание

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Адресный тип-указатель, ссылочные переменные, простейшие действия с указателями.
2. Активны операции центрального банка.
3. АНАЛИЗ СИЛЬНЫХ И СЛАБЫХ СТОРОН, ВОЗМОЖНОСТЕЙ И УГРОЗ организации (предприятия) системы потребительской кооперации
4. Арифметические операции (АО)
5. Больной оперируется по поводу острой кишечной непроходи-мости через 12 часов с момента заболевания. На операции об-
6. В электроустановках напряжением до 1000В операции по установке и снятию заземлений разрешается выполнять одному работнику, имеющему группу III, из числа оперативного персонала.
7. Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
8. Влияние структуры операции на производительность
9. Внешнеторговые операции и их виды
10. Внешнеэкономические операции
11. Вопрос 2. Структура и организация платежной системы. Базовая схема операции с банковской кредитной карточкой.
12. Диаграммы кооперации и их нотация