|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Умножение вектора на матрицу
Вектор x можно умножать на матрицу A подходящей размерности. При этом вектор-столбец умножается справа Ax, а вектор строка — слева x t A. Если размерность вектора J, а размерность матрицы I× J то в результате получится вектор размерности I. Например,
Рис. 18 Умножение вектора на матрицу Если матрица A — квадратная (I× I), то вектор y = Ax имеет ту же размерность, что и x. Очевидно, что A (α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2. Поэтому матрицы можно рассматривать как линейные преобразования векторов. В частности Ix = x, Ox = 0. Содержание Дополнительная информация Системы линейных уравнений Пусть A — матрица размером I× J, а b — вектор размерности J. Рассмотрим уравнение Ax = b относительно вектора x, размерности I. По сути — это система из I линейных уравнений с J неизвестными x1,..., xJ. Решение существует в том, и только в том случае, когда rank( A ) = rank( B ) = R, где B — это расширенная матрица размерности I× (J+1), состоящая из матрицы A, дополненной столбцом b, B = ( A b ). В противном случае уравнения несовместны. Если R = I = J, то решение единственно x = A − 1 b. Если R < I, то существует множество различных решений, которые можно выразить через линейную комбинацию J− R векторов. Система однородных уравнений Ax = 0 с квадратной матрицей A (N× N) имеет нетривиальное решение ( x ≠ 0 ) тогда и только тогда, когда det( A ) = 0. Если R = rank( A )< N, то существуют N− R линейно независимых решений. Содержание Билинейные и квадратичные формы Если A — это квадратная матрица, а x и y — вектора соответствующей размерности, то скалярное произведение вида x t Ay называется билинейной формой, определяемой матрицей A. При x = y выражение x t Ax называется квадратичной формой. Содержание Положительно определенные матрицы Квадратная матрица A называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x ≠ 0, x t Ax > 0. Аналогично определяются отрицательно ( x t Ax < 0), неотрицательно ( x t Ax ≥ 0) и неположительно ( x t Ax ≤ 0) определенные матрицы. Содержание Разложение Холецкого Если симметричная матрица A положительно определена, то существует единственная треугольная матрица U с положительными элементами, для которой A = U t U. Например,
Рис. 19 Разложение Холецкого Содержание Полярное разложение Пусть A — это невырожденная квадратная матрица размерности N× N. Тогда существует однозначное полярное представление A = SR, где S — это неотрицательная симметричная матрица, а R — это ортогональная матрица. Матрицы S и R могут быть определены явно: S 2 = AA t или S = ( AA t)½ и R = S − 1 A = ( AA t)− ½ A. Например,
Рис. 20 Полярное разложение Если матрица A вырождена, то разложение не единственно — а именно: S по-прежнему одна, а вот R может быть много. Полярное разложение представляет матрицу A как комбинацию сжатия/растяжения S и поворота R. Содержание Собственные векторы и собственные значения Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если Av = λ v, где число λ называется собственным значением матрицы A. Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и α v — тоже собственный вектор. Содержание Собственные значения У матрицы A , размерностью (N× N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению det( A − λ I ) = 0, являющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2× 2 характеристическое уравнение имеет вид
Например,
Рис. 21 Собственные значения Набор собственных значений λ 1,..., λ N матрицы A называется спектром A. Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности det( A ) = λ 1×...× λ N, Sp( A ) = λ 1+...+λ N. Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная ( A t = A ), то ее собственные значения вещественны. Содержание Собственные векторы У матрицы A, размерностью (N× N) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора v n нужно решить систему однородных уравнений ( A − λ n I ) v n = 0. Она имеет нетривиальное решение, поскольку det( A − λ n I ) = 0. Например,
Рис. 22 Собственные вектора Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны. Содержание Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-29; Просмотров: 924; Нарушение авторского права страницы
