Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 18Следующая ⇒

Рассмотрим функцию , интегрируемую на [ ]. Если [ ], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [ ]. Предположим, что меняется на [ ], тогда на этом интеграле определена функция

Ф( ) = ,

Где ─ переменная интегрирования, ─ переменный верхний предел. Эту функцию называют определённым интегралом с переменным верхним пределом.

Свойство 1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является непрерывной на [ ] функцией.

Свойство 2. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная определённого интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подинтегральной функции для этого предела интегрирования, т.е.

= f(x).

Следствие. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подинтегральной функцией, т.е. для любой непрерывной функции существует производная.

Связь между определённым и неопределённым интегралами выражает следующая теорема.

Теорема (о формуле Ньютона-Лейбница).

Пусть функция непрерывна на отрезке [ ]. Тогда, если функция F(x) является некоторой её первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула

= F( ) – F( ).

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Пусть Ф(х) является первообразной для функции на [ ]. Пусть F(x) ─ некоторая постоянная. Подставим в последнее равенство .

Тогда

= F( ) + C,

т.е. О = F( ) + C, откуда С = − F( ).

Итак, для любого [ ] = F( ) – F( ).

Полагая , получим = F( ) – F( ).

Теорема доказана.

Разность F( ) – F( ) принято условно записывать в виде F( ) . Тогда формула Ньютона-Лейбница принимает вид

= F( ) .

Эта формула не только устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами, но и даёт простой метод вычисления определённого интеграла.

Пример. = = .

Основные методы интегрирования.

К таким относятся методы: замены переменной; интегрирования по частям.

Теорема (о замене переменной в определённом интеграле).

Пусть ─ непрерывная функция на отрезке [ ]. Тогда если: 1) функция = φ (t) дифференцируема на и φ '(t) непрерывна на ; 2) множеством значений функции = φ (t) является отрезок [ ]; 3) φ , φ , то справедлива формула

= (*)

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница

= ,

где - некоторая первообразная для на . Рассмотрим сложную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции

То означает, что функция является первообразной для функции , непрерывной на , и, поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем

= = = = .

Теорема доказана.

Формула (*) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.

Замечание 1. Если при вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной мы возвращались от новой переменной к старой, то при замене переменной в определённом интеграле делать этого не надо.

Пример.

= =

= = .

Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле).

Если функции и непрерывны вместе со своими производными и на , то справедлива формула

(**)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Доказательство. Так как функции и имеют по условию производные, то по правилу дифференцирования произведения

т.е. функция является первообразной для функции . Так как эта функция непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке и по формуле Ньютона-Лейбница

= .

Тогда = , откуда .

Теорема доказана.

Пример. =

= .

Приложения определённого интеграла.

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции на равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми , снизу - осью .

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой и осью .

Решение.

. Более сложные задачи на вычисление площадей, решают,

используя свойство аддитивности площади: можно разбить фигуру на непересекающиеся криволинейные трапеции и вычислить площадь всей фигуры как сумму площадей этих частей.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. = .

Если на заданы две непрерывные функции и , причём при всех значениях верно ; то площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу - графиком функции , слева и справа - прямыми , , вычисляется по формуле