Распределение затрат на животноводство

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 15Следующая ⇒

X	X	X	X	X	X

Решение.

1) Составим интервальный ряд для признака Х. Для этого найдём размах варьирования значений признака по формуле: R_Х =X_max - X_min.

Из таблицы 13.1 следует: X_max = 68; X_min = 18 и R_Х = 68 - 18 = 50.

Число интервалов m, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджеса: m = 1+3, 322 lg n, где n - объём выборки, то есть число единиц наблюдения.

В нашем примере n=60. Получим: m = 1+3, 322•lg 60 = 1+3, 322•1, 778 = =6, 9 ≈ 7.

Теперь рассчитаем шаг (длину частичного интервала) h по формуле:

h= = 7, 1. Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем h=8.

За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала [х_min- ; х_min), чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В нашем случае за нижнюю границу интервала возьмём х_min - 2 = 18 - 2 = 16. В результате получим следующие границы интервалов: 16-24-32-40-48-56-64-72.

Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал.

Для удобства подсчёта частот используют «метод конверта»:

Его вершины, стороны и диагонали обозначают одну единицу. Итого: 4 вершины, 4 стороны и 2 диагонали. Всего 10 единиц. Например,

2; -7; - 8; - 10.

Таблица 13.2

Распределение частот денежных затрат на животноводство

Ii	Интервалы	Середины Интервала, x_i	Разноска	Частоты N_i	Накопленные Частоты n_i^нак.
	16 –24 24 – 32 32 – 40 40 – 48 48 – 56 56 – 64 64 – 72
	∑

В табл. 13.2 произведена разноска значений признака Х, указаны интервалы, середины интервалов, частоты n_i, накопленные частоты, равные сумме частот, попавших в предшествующие интервалы.

Интервалы и их частоты представляют собой интервальный ряд. Середины интервалов и соответствующие частоты дают вариационный ряд (табл. 13.3).

Таблица 13.3

Вариационный ряд

Варианта, х_i
Частота, n_i

2) Графически интервальный ряд изображают с помощью гистограммы. Для её построения в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают отрезки, соответствующие интервалам вариационного ряда. На этих отрезках строят прямоугольники с высотами, равными частотам. Полученная ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, и есть гистограмма. Для признака Х гистограмма изображена на рис. 13.1.

Рис. 13.1. Гистограмма распределения денежных затрат на животноводство

Для графического изображения дискретного ряда служит многоугольник (полигон). Для его построения на оси абсцисс откладываются варианты, а на оси ординат их частоты. Полученные точки соединяют отрезками. Полигон вариационного ряда признака Х изображён

на рис.13 2.

0 20 28 36 44 52 60 68 x_i

Рис. 13.2. Полигон денежных затрат на животноводство

3) Для интервального ряда распределения выборочная средняя вычисляется по формуле:

где х_i - середина i - го интервала, n_i - частота i- го интервала, n – объём выборки.

Используя данные табл. 13.3., вычислим средние затраты на животноводство: = , то есть 455 тыс. руб. на 100 голов.

Низшая и высшая частные средние находятся по формулам:

и ,

причём в знаменателе суммируются частоты тех же групп, что и в числителе.

Вычисляем: ;

Для характеристики рядов распределения применяют также структурные средние: моду М_о и медиану М_е.

Мода – это варианта, которая наиболее часто встречается в данной совокупности, то есть варианта с наибольшей частотой.

Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле:

где h - шаг, - частота модального (содержащего моду) интервала; - частота домодального интервала; - частота послемодального интервала; - начало модального интервала.

В нашем случае М_о=40+ =46, 4.

Медианой в статистике называют варианту, расположенную в середине вариационного ряда.

Для интервального ряда медиану определяют по формуле:

где х_Ме - начало медианного интервала (содержащего медиану), n^н _Me_-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, n_Ме - локальная частота медианного интервала.

В нашем примере, используя данные таблицы 13.2, получим:

М_е = 40 +8 ≈ 45, 9

Дисперсия вариационного ряда служит для характеристики рассеяния значений признака вокруг среднего значения и вычисляется по формуле:

Для удобства вычислений дисперсии признака Х составим рабочую таблицу (см. табл. 13.4).

Таблица 3.4

I
	-25, 5 -17, 5 -9, 5 -1, 5 6, 5 14, 5 22.5	650, 25 306, 25 90, 25 2, 25 42, 25 210, 25 506, 25	1950, 75 1531, 25 992, 75 33, 75 591, 5 1892, 25 1518, 75
∑

Таким образом, .

Среднее квадратическое отклонение (стандарт) S_X - это арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.

Таблица 3.5

Характеристика	Обозначение	Значение
Выборочная средняя, дес. тыс. руб.		45, 5
Размах варьирования, дес. тыс. руб.	R_X
Высшая средняя, дес. тыс. руб.		56, 6
Низшая средняя, дес. тыс. руб.		36, 9
Мода, дес, тыс. руб.	M_o	46, 4
Медиана, дес. тыс. руб	M_e	45, 9
Дисперсия, кв. дес. тыс. руб.	S_X²	141, 9
Стандарт, дес. тыс. руб.	S_X	11, 9
Коэффициент вариации, %	V_X	2, 62

Для сравнения величин рассеяния вариационных рядов вычисляют коэффициент вариации V_х как процентное отношение стандарта к средней арифметической: .

Для признака Х: .

Результаты вычислений поместим в табл. 13.5.

4) Проверим гипотезу о соответствии данных ряда (табл. 3.3) нормальному закону распределения сначала по критерию Пирсона χ ². Для этого сравним наблюдаемые n_i и теоретические n_i^t (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. Теоретические частоты рассчитываются по формуле: , где n_i^t ─ теоретические частоты, n ─ объём выборки, h ─ шаг (длина) частичного интервала, ─ нормированное отклонение, x_i ─ середины частичных интервалов, ─ выборочная средняя, S_Х ─ стандарт, ─ дифференциальная функция Лапласа (значения даны в приложении 1).

Таблица13. 6

Х_i	N_i			n_i^t	n_i-n_i^t
		-2, 14	0, 0404	1, 6	0, 9	0, 11
		-1, 47	0, 1354	5, 5
		-0, 8	0, 2897	11, 7	0, 7	0, 04
		-0, 13	0, 3956	16, 0	-1	0, 06
		0, 8	0, 2897	11, 7	2, 3	0, 45
		1, 22	0, 1895	7, 6	1, 7	0, 28
		1, 89	0, 0669	2, 7
		─	─	56, 8	─	0, 94

Критерий Пирсона применяется при условии, что все группы ряда включают частоты не меньшие 5 (т.е. n_i 5). Если частота группы ряда менее 5, то эту группу следует объединить с соседней. Расчёты проверки критерия Пирсона поместим в табл. 6, вычислив предварительно

, и используя, что

Поскольку частоты крайних групп n₁ = 3 < 5 и n₇ = 3 < 5, то объединяем их с соседними группами.

Сумма последнего столбца определяет фактическую величину критерия Пирсона χ _ф²= 0, 94. Эта величина сравнивается с предельным значением χ _кр², значения которойданы в таблице (приложение 4) в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы , где ─ число групп вариационного ряда.

В условиях задачи, принимая надёжность результатов равной 95%(р=0, 95), уровень значимости расчётов будет равен .

Число групп вариационного ряда, после объединения первой и второй, а так же шестой и седьмой групп, равна = 5, следовательно, число степеней свободы к = 5 - 3 = 2. Предельное значение критерия χ _кр² при и к=2, находим по таблице приложения 4.

Сравнение фактического и критического значений даёт: .

Следовательно, с надёжностью р=95% можно принять гипотезу, что разность частот между фактическим и нормальным распределением несущественна, а получена за счёт случайных отклонений, и данное распределение вариант можно считать подчиняющимся закону нормального распределения.

Критерий Пирсона, как правило, используется, когда объём выборки n> 100. Когда же 50< n< 100, то наиболее эффективен критерий - Смирнова. Проверим гипотезу о нормальном распределении признака по этому критерию.

Критерий - Смирнова основан на определении существенности различий между накопленными частостями эмпирического F_i и теоретического F_i^t распределений.

Фактическое значение критерия _ф² вычисляют по формуле: , где F_i ─ накопленная частость i-ой группы,

F_i^t ─ теоретическое значение накопленной частости i-ой группы.

Вычисленное значение сравнивают с критическим значением , которое находится по таблице для величины n и уровня значимости . В частности, для = 0, 05 .

Таблица 13.7

X_i	Фактическое распределение	Нормальное распределение	F_i- F_i^t	(F_i- F_i^t)²10 ⁶*
Частота n_i	Частость	Накоплен. Частость F_i	Частота n_i^t	Частость	Накоплен. Частость F_i^t
		0, 050	0, 050	1, 6	0, 027	0, 027	0, 023
		0, 083	0, 133	5, 5	0, 092	0, 119	0, 014
		0, 183	0, 316	11, 7	0, 195	0, 314	0, 002
		0, 250	0, 566	16, 0	0, 267	0, 581	-0, 015
		0, 233	0, 799	11, 7	0, 195	0, 776	0, 023
		0, 150	0, 949	7, 6	0, 127	0, 903	0, 046
		1, 050	0, 999	2, 7	0, 045	0, 948	0, 051
		0, 999		56, 8				6200

Для n = 60 .

Расчёт поместим в таблицу 13.7, в которую также внесём сделанные ранее вычисления теоретических частот n_i^t нормального распределения.

Сравнение фактического и предельного значений даёт: Следовательно, с надёжностью р = 0, 95. можно полагать, что данная выборка подчиняется закону нормального распределения.

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 10 11 121314 15 Следующая ⇒