Нахождение доверительных интервалов для коэффициентов регрессионной модели

распределено по закону, называемому распределением хи-квадрат с (n-m-1) степенями свободы. Аналогичный закон распределения имеет сумма квадратов независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение. При функция плотности распределения хи-квадрат имеет вид:

Распределение хи-квадрат с к степенями свободы обозначается c²(к).

Таким образом, не зная истинного значения и строя доверительный интервал для a_jмы заменяем неизвестное значение на его несмещенную оценку

Следовательно, вместо отношения

используем отношение

Последнее отношение не распределено по стандартному нормальному закону, т.к. в знаменателе теперь стоит случайная величина.

Распределение последнего отношения называется t-распределение Стьюдента с (n-m-1) степенями свободы.

Распределение Стьюдента с к степенями свободы обозначается t(к). Квантилем уровня р является такое число, которое случайная величина не превосходит с вероятностью р и обозначается t_p(к).

Пример некоторых значений квантилей:

Из приведенных значений следует, что случайная величина, распределенная по Стьюденту с 10 степенями свободы, может принимать значения, меньшие, чем 1.812 с вероятностью 0.95.

Имеем,

~ .

Таким образом, выполняется соотношение

поэтому с вероятностью, равной , выполняется неравенство

т. е.

Т.е, с вероятностью, равной 1-р, интервал

покрывает истинные значения коэффициента α _j, таким образом, является доверительным интервалом для α _j с вероятностью 1-р. Границы данного интервала определены при условии, что нам не известно значение s²дисперсии случайных ошибок.

Выбор конкретного значения р определяет размер доверительного интервала, обеспечивающий соответствующий уровень доверия.

Размер доверительного интервала пропорционален величине . Таким образом, увеличение уровня доверия связано с увеличением размера доверительного интервала.

Например, для к = квантили уровня 1-р/2 распределения Стьюдента для значенийр=0.1, 0.05, 0.01 равны, соответственно, . Следовательно, изменение уровня доверия от 0.9к 0.95увеличивает доверительный интервал в 1.2раза, а дополнительное изменение уровня доверия до 0.99 увеличивает доверительный интервал еще в 1.3раза.

Перейдем теперь к получению интервальных оценок параметров линейной регрессии на конкретных примерах.

Пример 2.1. Пусть получена модель зависимости уровня безработицы жителей Челябинской области от размера средней зарплаты в виде

При этом количество наблюдений взято n=17 и получены следующие значения:

Š =0.161231; .

Получаем: = . Для построения доверительного интервала для 95%-уровня найдем квантиль уровня распределения Стьюдента с степенями свободы. Из приложения 1 находим: . Следовательно получаем следующий -доверительный интервал для :

или

Для имеем , ; -доверительный интервал для имеет вид

или

Отметим, что левая граница доверительного интервала для коэффициента имеет отрицательное значение.

Избежать этого можно, понизив уровень доверия до 0.9.Для чего квантиль заменим на квантиль , тогда левая граница доверительного интервала для станет равной 0.0164. Таким образом, истинное значение параметра будет находиться в новом доверительном интервале только в 90 случаев из 100, а не как в старом в 95 из 100.