Проверка значимости параметров множественной линейной регрессии с использованием f-критериев

В таблице2.1 содержатся ежегодные данные о показателях экономики России с 1999 по 2011 годы (трлн.руб., в ценах 2010 г.):

Y –объем товарного импорта в Россию;

X₁ –ВВП;

X₂ –личное потребление.

Таблица2.1

год	Y	X1	X2	год	Y	X1	X2
	4.02	37.32	1.05		5.67	50.5	0.53
	4.10	40.30	1.03		6.62	53.1	1.4
	4.75	42.87	0.78		7.03	56.5	1.25
	4.78	43.87	0.78		6.9	57.98	1.28
	4.7	45.2	0.28		6.58	59.75	0.18
	5.1	47.67	0.55		7.78	64.5	1.4

Будем искать модель в виде

где – значение фактора в i-м наблюдении. Предположим, что случайные величины, распределенные по нормальному закону с параметрами , и значение нам не известно. Выполняя регрессионный анализ, получаем следующие результаты: и

Переменная	Коэффициент	Станд. ошибка	t-статистика	P-значение
	–8.571	2.868	-2.987	0.0154
X1	0.028	0.111	0.268	0.7954
X2	0.178	0.167	1.068	0.3137

В соответствии с полученными -значениями, каждая отдельная гипотеза , при уровне значимости должна быть принята. Т.е. проверка показывает, параметры или признаются статистически незначимыми. Это противоречит большому значению коэффициента детерминации.

Значит, нам надо проверить гипотезу

определяющую значения не одного, а одновременно двух коэффициентов.

В общем случае необходимо проверить гипотезу

в случае линейной множественной регрессии

Статистический критерий для решения этой задачи основывается на F-статистике, которая после небольших преобразований принимает вид:

где – остаточная сумма квадратов.

В некоторых пакетах обработки статистики (например, в EXCEL, см. п.2.5 приложение 4) в результатах приводятся числитель и знаменатель этой статистики (графа Средние квадраты – Mean Squares).

Указанная -статистика имеет при гипотезе H₀ (α ₁=¼ = α _m=0) распределение , которое называется F-распределение Фишера с m и (n-m-1) степенями свободы.

Чем больше значение критерия Фишера, тем больше оснований считать, что переменные в совокупности действительно объясняют изменчивость объясняемой переменной .

Значит, гипотеза

отвергается при больших значениях выражения F.

Пороговое значение уровня является квантилем распределения и обозначается .

Таким образом, гипотеза Н₀ отвергается при выполнении неравенства

Вероятность ошибки при этом равна .

Статистические пакеты регрессионного анализа среди прочих результатов приводят также значение данной -статистики и соответствующее P-значение (P-value), или вероятность

В примере с товарным импортом в Россию получено значение -статистики, равное , а пороговое значение

Таким образом, в этом примере нет оснований принимать гипотезу , хотя каждая из отдельных гипотез

или ,

рассматриваемая по отдельности, не отвергается.

Подобные случаи встречаются на практике и объясняются мультиколлениарностью данных. Рассмотрим эту проблему ниже.

Пример 2.5. Анализ данных о безработице в примере 2.1дает следующие результаты:

, , -значение = , поэтому при выборе гипотеза принимается, а при отвергается.

Пример 2.6. Анализ данных о куриных окорочках в примере 2.3приводит к значениям

, , -значение = , поэтому гипотеза отвергается, а уравнение регрессии признается статистически значимым.

Пример 2.7. Потребление свинины в зависимости от цен (пример 2.4):

, , -значение = , поэтому гипотеза принимается даже при выборе .

Отметим, что во всех рассмотренных примерах парной линейной регрессии (m=1) были получены -значения -статистик, которые совпадают с -значениями -статистик, применяемые для проверки гипотезы . Такое совпадение не случайно и может быть доказано.

Кроме анализа значимости коэффициентов регрессии распределение Фишера (F-критерии) применяется также в процессе подбора вида модели.

Рассмотрим множественную линейную регрессию

имеющую объясняющих переменных. Гипотеза заключается в том, что в модели M(m) q последних коэффициентов равны нулю:

Тогда в случае справедливости гипотезы получается редуцированная модель

имеющая объясняющих переменных.

Если и – остаточные суммы квадратов в модели M(m) и редуцированной модели M(m-q) соответственно, гипотеза верна и погрешности являются нормально распределенными случайными величинами с параметрами , то F-статистика

имеет при гипотезе H₀ F-распределение Фишера F (q, n-m-1) с q и (n-m-1) степенями свободы.

Дополнительное количество объясняющих переменных, включенных в уравнение, ведет к возрастанию объясненной суммы квадратов, что и показывает F-статистика.

Таким образом, получаем критерий проверки гипотезы

основанный на F-статистике и отвергающий гипотезу , если фактическое значение удовлетворяет неравенству

где – заданный уровень значимости критерия.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. GUDEL roboLoop уникальный робот с нелинейной транспортной системой
2. IV. Проверка знаний правил пожарной безопасности
3. А. Проверка правильности соотношения
4. АНАЛИЗ (РАЗБОР) ТЕМЫ И ПРОВЕРКА
5. Анализ линейной системы автоматического регулирования
6. Анализ общего качества уравнения регрессии.
7. Аналитический метод расчета параметров разноритмичных потоков
8. АУДИТОРСКАЯ ПРОВЕРКА ДВИЖЕНИЯ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ.
9. АУДИТОРСКАЯ ПРОВЕРКА ИЗДЕРЖЕК ПРОИЗВОДСТВА И ВЫХОДА С/Х ПРОДУКЦИИ.
10. АУДИТОРСКАЯ ПРОВЕРКА НАЛИЧИЯ И ДВИЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ
11. Аудиторская проверка системы мотивации персонала в ООО «Газпром переработка»
12. Б. Заголовок процедуры со списком формальных параметров.