Модели с распределенным лагом – определение параметров и их интерпретация

Модель с распределенным лагом (при величине лага равнойl), имеет вид

y_t=a+c₀x_t+c₁x_t_-1+c₂x_t-₂+…+c_lx_t-l+ε _t. (3.3)

Эта модель показывает, что в каждый момент времени t изменчивость независимой переменной х влияет на свои же значения в течение l следующих временных моментов. Коэффициент регрессии c₀ при факторе x_t показывает среднюю абсолютную величину изменения y_t при изменении на единицу x_t в момент времени t, при неизменных лаговых значениях фактора х. Данный коэффициент называют краткосрочный мультипликатор.

Совокупное воздействие переменной x_t на результирующую переменную y_t в момент (t + 1) составит (с₀+с₁), в момент (t + 2) влияние составит (с₀+с₁+с₂) и т.д. Полученные суммы называются промежуточные мультипликаторы.

Таким образом, можно утверждать, что изменение фактора x_t в момент t на единицу повлечет общее изменение результирующей переменной через l промежутков времени на (с₀+с₁+...+с_l) абсолютных единиц.

Обозначим это изменение следующим образом:

с = с₀+с₁+...+с_l. (3.4)

Эта величина с называется долгосрочный мультипликатор, показывающий в долгосрочном периоде t + l абсолютное изменение результирующей переменной при изменении фактора х на единицу.

В большинстве случаев применение обычного МНК для таких моделей вызывает затруднения по следующим причинам:

- при большом значении лага количество наблюдений, используемых при построении модели, уменьшается, при этом увеличивается количество ее факторов. Это ведет к снижению количества степеней свободы;

- текущие и лаговые значения независимого фактора, как правило, связаны друг с другом. Оценка коэффициентов модели проводится тогда при высокой мультиколлинеарности факторов;

- модели с распределенным лагом обладают часто автокорреляций остатков.

Данные обстоятельства приводят к существенной неопределенности оценок параметров модели, понижению их точности и не способствуют получению эффективных оценок. Непосредственное влияние факторов на результирующую переменную в таких условиях выявить затруднительно. Поэтому вычисление на практике параметров модели с распределенным лагом проводят в условиях наложенияне которых ограничений на параметры регрессии и выбранную структуру лага.

Рассмотрим пример следующей модели авторегрессии:

y_t=a+с₀x_t+b₁y_t_-1+ε _t.

Эта модель имеет, как и в случае модели с распределенным лагом, коэффициент c₀, характеризующий краткосрочное изменение y_t под влиянием изменения x_t на единицу. Но долгосрочный и промежуточные мультипликаторы в модели авторегрессии иные. В момент времени (t + 1) значениеy_t изменилось под влиянием фактора х в момент времени t на величину с₀, а значение y_t₊₁ под воздействием изменения в предшествующий момент времени на b₁. Таким образом, абсолютное изменение результирующей переменной составит c₀b₁в момент (t + 1). Аналогично, абсолютное изменение результирующей переменной в момент времени (t+2) составит и т.д. Отсюда получаем, что для получения долгосрочного мультипликатора в авторегрессионной модели ищется сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов

c= c₀+c₀b₁+ + ...

С учетом так называемого условия стабильности |b₁| < 1 последнее соотношение приводится к виду

c= c₀(b₁+ + ... )= .

Такой расчет долгосрочного мультипликатора и интерпретация коэффициентов авторегрессии основаны на предположении о наличии бесконечного лага в влиянии текущего значения результирующей переменной на ее значения в будущем.

3.3. Практический блок

Пример. Дан временной ряд численности промышленного персонала Челябинска, тыс. чел.

Годы	у	Годы	у	Годы	у	Годы	у	Годы	у
	194, 8		189, 2		166, 8		131, 2		121, 5
	194, 5		185, 6		155, 5		124, 5		114, 5
	192, 9		180, 4		146, 8		122, 3		104, 1
	189, 8		180, 5		133, 4		122, 8

Задание:

1. Выбрать модель.

2. Построить таблицы с расчетными значениями и показателями адекватности модели.

3. Оценить устойчивость тенденции.

Уравнение тренда и его параметры могут быть найдены в диаграмме Excel(добавление линии тренда) или путем использования для решения системы уравнений метода наименьших квадратов (МНК).

Рис.3.1 Приближение линейной функцией

Рис.3.2 Приближение параболической функцией

Для построения уравнения линейной регрессии при использовании МНК строят систему уравнений:

После алгебраических преобразований получаем систему:

Для получения согласно МНК уравнения параболы :

Для решения системы и вычисления показателей адекватности без компьютера составляются таблицы.

Пример таблицы расчета показателей функции у_t = b+at

t	y	y_t		(y- y_t)²
	194, 8	205, 83	11, 03	121, 619	0, 057
	194, 5	200, 22	5, 72	32, 675	0, 029
	192, 9	194, 60	1, 70	2, 905	0, 009
	189, 8	188, 99	0, 81	0, 652	0, 004
	189, 2	183, 38	5, 82	33, 867	0, 031
	185, 6	177, 77	7, 83	61, 331	0, 042
	180, 4	172, 16	8, 24	67, 952	0, 046
	180, 5	166, 54	13, 96	194, 748	0, 077
	166, 8	160, 93	5, 87	34, 423	0, 035
	155, 5	155, 32	0, 18	0, 032	0, 001
	146, 8	149, 71	2, 91	8, 463	0, 020
	133, 4	144, 10	10, 70	114, 430	0, 080
	131, 2	138, 48	7, 28	53, 076	0, 056
	124, 5	132, 87	8, 37	70, 114	0, 067
	122, 3	127, 26	4, 96	24, 616	0, 041
	122, 8	121, 65	1, 15	1, 323	0, 009
	121, 5	116, 04	5, 46	29, 837	0, 045
	114, 5	110, 43	4, 07	16, 599	0, 036
	104, 1	104, 81	0, 71	0, 510	0, 007
сумма	869, 17	0, 682

- средняя ошибка аппроксимации

Стандартное отклонение:

Таблица расчета показателей функции

t	y	y_t		(y- y_t)²
	194, 8	202, 96	8, 16	66, 559	0, 042
	194, 5	198, 30	3, 80	14, 472	0, 020
	192, 9	193, 54	0, 64	0, 406	0, 003
	189, 8	188, 66	1, 14	1, 304	0, 006
	189, 2	183, 67	5, 53	30, 625	0, 029
	185, 6	178, 56	7, 04	49, 542	0, 038
	180, 4	173, 34	7, 06	49, 784	0, 039
	180, 5	168, 01	12, 49	155, 890	0, 069
	166, 8	162, 572	4, 23	17, 876	0, 025
	155, 5	157, 02	1, 52	2, 301	0, 010
	146, 8	151, 35	4, 55	20, 697	0, 031
	133, 4	145, 57	12, 17	148, 089	0, 091
	131, 2	139, 68	8, 48	71, 849	0, 065
	124, 5	133, 67	9, 17	84, 107	0, 074
	122, 3	127, 55	5, 25	27, 594	0, 043
	122, 8	121, 32	1, 48	2, 183	0, 012
	121, 5	114, 98	6, 52	42, 521	0, 054
	114, 5	108, 52	5, 98	35, 720	0, 052
	104, 1	101, 95	2, 15	4, 601	0, 021
Сумма	826, 123	0, 723

Стандартное отклонение:

Сравнение уравнений трендов по коэффициентам адекватности.

Уравнения трендов
	3, 64%	0, 954	7, 15
	3, 81%	0, 956	7, 19

Показатели адекватности более предпочтительны у функции у_t = b+at, которую и будем использовать для дальнейших расчетов показателей вариабельности и устойчивости.

Вычисляем показатель вариабельности по формуле

Показатель устойчивости равен

Показатель устойчивости в данном случае характеризует близость фактических значений к тренду на 95, 4%.

Для оценки параметров устойчивости временного ряда рассчитывается ранговый коэффициент корреляции Спирмэна:

гдеn – количество уровней рассматриваемого временного ряда,

– разность номеров периодов времени и рангов уровней (перенумеруем временные периоды от 1 до 19 и сопоставим им ранги от 19 до 1).

t	Ранг (y)		y
			194, 8
			194, 5
			192, 9
			189, 8
			189, 2
			185, 6
			180, 4
			180, 5
			166, 8
			155, 5
		-2	146, 8
		-4	133, 4
		-6	131, 2
		-8	124, 5
		-11	122, 3
		-11	122, 8
		-14	121, 5
		-16	114, 5
		-18	104, 1
Сумма

Полученный коэффициент Спирмена , имеет значение, близкое к -1, что доказывает устойчивость динамики понижения показателей ряда.

Контрольные вопросы

1. Трендовые модели с независимыми значениями случайной составляющей.

2. Полиномиальный тренд.

3. Трендовые модели с сезонными колебаниями.

4. В чем суть метода экспоненциального сглаживания?

5. В чем суть проблемы автокорреляции остатков, как она проявляется?

6. Какова специфика построения регрессионныхмоделей по временным рядам?

7. Назовите основные методы исключения закономерности. Сравните их недостатки и преимущества.

8. В чем заключается метод отклонений от тренда.

9. Дайте интерпретацию коэффициента при факторе времени в регрессионных моделях с фактором времени?

10. Что такое автокорреляция в остатках, чем она может быть вызвана?

11. В чем суть критерия Дарбина–Уотсона? Как происходит тестирование модели регрессии с его применением на выявление автокорреляции в остатках?

12. Назовите этапы обобщенного МНК.

13. В каких экономических задачах эконометрическое моделирование требует применения моделей авторегрессиии с распределенным лагом.

14. Дайте интерпретацию коэффициентов модели с распределенным лагом.

15. Дайте интерпретацию параметров модели авторегрессии.

16. Какова методика оценки коэффициентов модели авторегрессии.

17. Какова методика тестирования авторегрессионной модели на автокорреляцию остатков.

Задания и задачи

1. Известны посезонные данные по объемам продаж сноубордов, шт. (y) в зависимости от цены, тыс.руб. (x). Построить линейную регрессионную модель с учетом сезонности.


	весна	лето	осень	зима	весна	лето	осень	зима	весна	лето	осень	зима
y
x	4, 5	6, 0	5, 0	7, 5	6, 0	4, 5	6, 5	7, 5	3, 5	5, 5	5, 0	6, 5

2. Даны помесячные данные о печати фотографий в некоторой фирме. Построить линейную регрессионную модель с учетом сезонности.

месяц	y, кол-во, шт.	x₁, цена, руб.	x₂, рекл., руб.	x₃, праздники	x₄, индекс цен
январь, 2006	12 500	2, 5
февраль	7 600				0, 99
март	6 900				1, 01
апрель	13 500				1, 01
май	9 700				1, 03
июнь	10 700				1, 04
июль	12 100				1, 05
август	9 700	3, 5			1, 03
сентябрь	7 000				1, 07
октябрь	7 200				1, 05
ноябрь	8 200				1, 07
декабрь	8 400				1, 10
январь, 2007	13 100				1, 12
февраль	8 700				1, 13
март	12 200				1, 14
апрель	6 900				1, 16
май	6 200				1, 17
июнь	9 600				1, 19
июль	8 700				1, 17
август	11 900				1, 17
сентябрь	12 600				1, 2
октябрь	7 900				1, 22
ноябрь	9 300				1, 24
декабрь	11 800				1, 27

3. Объем продаж мороженого (млн.шт.) за 5 лет в зависимости от цены (руб.) и сезона.

год	сезон	y, кол-во	цена	индекс цен	x, цена инд.
	весна	1, 5	4, 2		3, 00
	лето	2, 6	3, 1	1, 11	3, 60
	осень	1, 7	3, 5	1, 15	3, 04
	зима	0, 9	4, 5	1, 26	2, 78
	весна	1, 4	3, 2	1, 34	2, 99
	лето		3, 2	1, 40	2, 86
	осень	2, 8	3, 2	1, 45	2, 76
	зима	1, 6	3, 5	1, 52	2, 63
	весна	1, 9	3, 5	1, 59	2, 83
	лето	3, 2	5, 3	1, 63	3, 07
	осень	2, 7	4, 5	1, 68	2, 68
	зима		4, 5	1, 78	2, 53
	весна	2, 2	4, 3	1, 87	2, 67
	лето	3, 4	4, 3	1, 95	2, 56
	осень	2, 6	4, 3	2, 01	2, 49
	зима	2, 1	5, 5	2, 09	2, 39
	весна	2, 9	5, 5	2, 16	2, 31
	лето	3, 3	6, 2	2.19	2, 74
	осень	2, 5	7, 2	2, 24	2, 68
	зима	2, 2	7, 2	2, 32	2, 59

Задание:

Выбрать лучший тренд и пояснить экономический смысл его параметров.

Определить силу связи результирующей переменной и факторов.

Определить парные коэффициенты корреляции, множественный коэффициент корреляции и сделать выводы.

Оценить полученное уравнение по коэффициенту детерминации.

Сделать прогноз по объемам продаж мороженого на 2013г.

Тесты

1.Из временного ряда при процедуре сглаживания исключаются точки,

a) с начала временного ряда,

б) с конца временного ряда,

в) как с начала, так и с конца временного ряда.

2.При расчёте сглаженного значения количество точек должно быть

a) чётное,

б) нечётное,

в) любое.

3.Временный ряд называется интервальным, если

a) его уровни характеризуют исследуемое явление за конкретные интервалы времени,

б) его уровни отражают параметры изучаемого явления на заданный момент времени,

в) его уровни характеризуют исследуемое явление средними или относительными величинами.

4. Временный ряд называется моментным, если

a) его уровни характеризуют исследуемое явление за конкретные интервалы времени,

б) его уровни отражают параметры изучаемого явления на заданный момент времени,

в) его уровни характеризуют исследуемое явление средними или относительными величинами.

5. Количество точек, которые исключаются в результате сглаживания, зависит

a) от применяемого метода сглаживания,

б) от количества точек, используемых при вычислении сглаженного значения,

в) от длины временного ряда.

6. Почему в процедурах удобно использовать нечётное количество точек?

a) в случае нечётного количества из временного ряда исключается меньшее количество точек,

б) при нечётном количестве есть центральная точка, которая заменяется сглаженным значением,

в) эффективность сглаживания повышается.

7.При моделировании данных с постоянным ростом используется

a) линейная функция,

б) показательная,

в) степенная.

8.В каких случаях рекомендуется применять параболу при моделировании показателей с увеличивающимися значениями?

a) При неограниченно увеличивающейся относительной величине прироста,

б) если абсолютная величина прироста растёт по линейному закону,

в) при неизменной относительной величине прироста.

9.Используявзвешенную скользящую среднюю весовые коэффициенты при сглаживании по полиному второго порядка будут такими же, как при сглаживании

a) по полиному 3-го порядка,

б) по полиному 1-го порядка,

в) по полиному 2-го порядка.

10. Если абсолютные приросты значений временного ряда примерно равны, то для вычисления прогноза в следующей точке необходимо пользоваться

a) средним темпом роста,

б) средним темпом прироста,

в) средним абсолютным приростом.

11. Для оценки коэффициента автокорреляции используются:

а) процедура Дарбина,

б) процедура Кохрана-Оркатта,

в) процедура Хилдреда-Лу.

12. Модель спроса–предложения есть:

а) трендовая модель;

б) система одновременных уравнений;

в) регрессионное уравнение;

г) тренд-сезонная модель.

13. Наличие тенденции в динамическом ряду выявляется с помощью:

а) критерия Стьюдента;

б) критерия Кендела;

в) метода экспоненциального сглаживания;

г) критерия Фишера.

3.4. Самостоятельная работа студентов

Литература для самостоятельной работы

1. Новиков, А. И. Эконометрика: учеб. пособие: Дашков и К, 2013, -224с.

2. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: Учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко.-М.: ЮНИТИ, 2012. -310с.

3. Бардасов С.А. Эконометрика: Учебное пособие. Издательство: Тюмень: ТГУ. 2010.

4. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования: учеб. пособие / Л. О. Бабешко. - Изд. 4-е. - М.: КомКнига, 2010. - 428 с.

5. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2012. -304 с.

6. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим методам: учеб. пособие / А. Н. Ильченко, О. Л. Ксенофонтова, Г. В. Канакина. - М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2009. - 287 с.

7. Айвазян С.А. Методы эконометрики. М. Магистр, 2009.

8. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144 с.

INTERNET-ресурсы

1. http: //upereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/top1/tsld006.htm

2. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

3. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm

4. http: //www.statsoft.ru/home/textbook/def ault.htm

5. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

6. http: //www.dataforce.net/~antl/article/econometric

7. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

8. http: //www.tvp.ru/vnizd/mathem4.htm

9. http: //www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/textbook/modules/stmulreg.html

10. http: //www.shpargalka.ru/statis.ru/doc/shpr_e31.htm

11. http: //www3.unicor.ac.ru/d024/p011993.htm

12. http: //www.gauss.ru/educat/systemat/butenkov/.asp

13. http: //crow.academy.ru/econometrics/seminars_/sem_08_/sem_08.htm

14. http: //crow.academy.ru/econometrics/lectures_/lect_03_/index.htm

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒