Прогнозирование. Доверительный интервал прогноза.

Получение оценок коэффициентов регрессии и проверка их достоверности не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использовать модель для анализа и прогноза значений изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.

Используем полученное в примере 1.1 (прил.4) уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Если намечается открыть магазин с численностью работников х=140 чел., то обоснованный объем товарооборота устанавливается по уравнению ŷ (х)= –0, 974 + 0, 01924× 140=1, 72 млрд. рублей.

Доверительный интервал для прогноза значения у(х)=a₀+a₁х определяется по формуле

, (2.2)

где t_p – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р. Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (2.2).

Выберем уровень значимости 5%. Количество степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t_0.05(6)=2, 447.s= =0, 089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1, 72 – 2, 447× 0, 048< y(x)< 1, 72+2, 447× 0, 048, или 1, 60< y(x)< 1, 84.

 

2.8. Практический блок

Пример. Построить уравнение регрессии между заданными переменными, проверить её адекватность, сделать прогноз методом экстраполяции.

1 . Построить диаграмму рассеяния в EXCELи сделать заключение о наличии корреляции.

Таблица 2.6Диаграмма 2.1

Y	x
29, 5	2, 1
34, 2	2, 9
30, 6	3, 3
35, 2	3, 8
40, 7	4, 2
44, 5	3, 9
47, 2	5, 0
55, 2	4, 9
51, 8	6, 3
56, 7	5, 8

Из диаграммы 2.1 видно, что между переменнымиx и y имеется сильная линейная связь.

2. Рассчитать коэффициент корреляции. Проверить значимость коэффициента корреляции, используя при этом t-критерий Стьюдента. Сделать вывод о связи между х и у.

Таблица2.7

№			xy
	29, 5	2, 1	61, 95	4, 41	870, 25	27, 91	0, 054	1, 59
	34, 2	2, 9	99, 18	8, 41	1169, 64	33, 46	0, 022	0, 74
	30, 6	3, 3	100, 98	10, 89	936, 36	36, 23	0, 184	-5, 63
	35, 2	3, 8	133, 76	14, 44	1239, 04	39, 69	0, 128	-4, 49
	40, 7	4, 2	170, 94	17, 64	1656, 49	42, 47	0, 043	-1, 77
	44, 5	3, 9	173, 55	15, 21	1980, 25	40, 39	0, 092	4, 11
	47, 2	5, 0			2227, 84	48, 01	0, 017	-0, 81
	55, 2	4, 9	270, 48	24, 01	3047, 04	47, 32	0, 143	7, 88
	51, 8	6, 3	326, 34	39, 69	2683, 24	57, 02	0, 101	-5, 22
	56, 7	5, 8	328, 86	33, 64	3214, 89	53, 55	0, 056	3, 15
ИТОГО:		42, 2	1902, 04	193, 34	19025, 04		0, 840
Среднее	42, 6	4, 22	190, 204	19, 334	1902, 504

 

2.1.Теснота связи между переменными:

;

Вывод: сильная связь.

2.2.Проверим по критерию Стьюдента статистическую значимость:

-по критерию Стьюдента: t_выб< =t_кр

-гипотеза Н_о: r=0, t_кр=2, 31,

t_выб=r_выб*

Так какt_выб=5, 84< t_кр=2, 31, то с вероятностью 0, 9 начальная гипотеза отвергается, что указывает на сильную линейную связь.

3. Записать систему нормальных уравнений для коэффициентов линейной регрессии. Используя метод наименьших квадратов, рассчитайте эти коэффициенты.

Подставляя в найденное уравнение регрессии значения (графа (3) табл.2.7), рассчитаем значения (графа (7) табл.2.7).

 

4. Для полученного уравнения регрессии между Х и У рассчитать среднюю ошибку аппроксимации. Сделать заключение об адекватности полученной модели.

Заполним 8-ю и 9-ю графу табл.2.7.

< Екр=12%

Модель признается удовлетворительной.

5. Проверить значимость коэффициента a₁уравнения регрессии, используя критерий Стьюдента.

Решение: Таблица 2.8

№
	29, 5	2, 1	27, 91	214, 623	2, 5281	170, 564
	34, 2	2, 9	33, 46	82, 81	0, 5476	69, 8896
	30, 6	3, 3	36, 23	40, 069	31, 6969	143, 0416
	35, 2	3, 8	39, 69	8, 237	20, 1601	54, 1696
	40, 7	4, 2	42, 47	0, 008	3, 1329	3, 46
	44, 5	3, 9	40, 39	4, 709	16, 8921	3, 7636
	47, 2		48, 01	29, 703	0, 6561	21, 5296
	55, 2	4, 9	47, 32	22, 658	62, 0944	159, 7696
	51, 8	6, 3	57, 02	209, 092	27, 2484	85, 3776
	56, 7	5, 8	53, 55	120, 78	9, 9225	199, 9396
ИТОГО:	425, 6	42, 2	426, 1	732, 687	174, 8791	911, 504
Среднее	42, 56	4, 22

Статистическая проверка:

 

Выводы: С доверительной вероятностью 0.9 коэффициент a₁ является статистически значимым, таким образом, гипотеза отвергается.

 

6. Проверить адекватность уравнения регрессии в целом, применив F-критерий Фишера-Снедекора.

Статистическая проверка:

: модель не адекватна

Так какF_выб> F_кр, то отвергается гипотеза (принимается альтернативная)с доверительной вероятностью 0.95. Данная модель адекватна и может использоваться для прогнозирования при принятии управленческих решений.

7. Рассчитать эмпирический коэффициент детерминации.

Имеем:

(таб. 2.8).

- доля вариации.

Таким образом, 80% вариации объясняемой переменной объясняется включенным в модель фактором, а 20% факторами, не включенными в модель.

8. Рассчитать корреляционное отношение. Сравнить полученное значение с линейным коэффициентом корреляции.

Имеем:

Тесноту связи между переменными для произвольной связи показывает эмпирическое корреляционное отношение, при линейной связи , и коэффициент корреляции равен коэффициенту детерминации.

9. Выполнить точечный прогноз для .

Решение:

10-12. Рассчитать доверительные интервалы при вероятности =90% для уравнения регрессии и для результирующей переменной . Изобразить в одной координатной системе:

- исходные данные,

- точечный прогноз,

- линию регрессии,

- 90% доверительные интервалы.

Сформулировать общие выводы относительно полученной регрессионной модели.

Имеем:

-математическое ожидание среднего.

Чтобы выполнить интервальный прогноз рассмотрим две области.

а) доверительные границы уравнения регрессии дляy из области значений переменнойx рассчитаем по формуле:

б) для прогнозных значений доверительный интервал для рассчитаем по формуле:

Имеем: n=10, t=2, 31(таб. Приложение 1),

19, 334-4, 22²)=1, 53.

: 27, 9; 42, 6; 57, 0; 66, 7

Таблица 2.9

№
1	2, 1	-2, 12	1, 74	3, 03	4, 49	2, 31	4, 68	27, 9	18, 81	9, 10	46, 72
	4, 22	0, 00	0, 32	0, 1	0, 00	2, 31	4, 68	42, 6	3, 46	39, 10	46, 02
	6, 3	2, 08	1, 71	2, 93	4, 33	2, 31	4, 68	57, 0	18, 49	38, 53	75, 51
	7, 7	3, 48		9, 02	12, 11	2, 31	4, 68	66, 7	32, 43	34, 29	99, 15

Т.к. 90% точек наблюдения находится в 90% - доверительном интервале, данная модель с ее доверительными границами может использоваться для прогнозирования с доверительной вероятностью 0, 9.

Контрольные вопросы

1. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

2. Виды автокорреляции и их краткая характеристика.

3. Автокорреляция в остатках и порядок её обнаружения.

4. Виды автокорреляции в остатках.

5. Порядок использования критерия Дарбина-Уотсона.

6. Автокорреляция в исходных данных и порядок определения её наличия.

7. Методы устранения влияния автокорреляции на результаты прогнозирования.

8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

9. Что понимается под гомоскедастичностью?

10. Как проверяется гипотеза о гомоскедастичности ряда остатков?

11. Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.

12. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).

13. Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).

14. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.

15. Оценка значимости корреляции. Детерминация.

16. Средняя ошибка аппроксимации.

17. Принятие решений на основе уравнений регрессии.

18. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

19. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

20. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

21. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

22. Как можно оценить «естественный» уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

23. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

24. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

 

Задания и задачи

1. Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2006г.

№ п/п	Чистая прибыль, млрд$, у	Использованный капитал, млрд $, х1	Оборот капитала, млрд$, х2	Капитализация компании, млрд$, х4	Числен­ность сотрудников, тыс.чел., х3
	0, 9	18, 9	31, 3	40, 9	43, 0
	1, 7	13, 7	13, 4	40, 5	64, 7
	0, 7	18, 5	4, 5	38, 9	24, 0
	1, 7	4, 8	10, 0	38, 5	50, 2
	2, 6	21, 8	20, 0	37, 3	106, 0
	1, 3	5, 8	15, 0	26, 5	96, 6
	4, 1	99, 0	137, 1	37, 0	347, 0
	1, 6	20, 1	17, 9	36, 8	85, 6
	6, 9	60, 6	165, 4	36, 3	745, 0
	0, 4	1, 4	2, 0	35, 3	4, 1
	1, 3	8, 0	6, 8	35, 3	26, 8
	1, 9	18, 9	27, 1	35, 0	42, 7
	1, 9	13, 2	13, 4	26, 2	61, 8
	1, 4	12, 6	9, 8	33, 1	212, 0
	0, 4	12, 2	19, 5	32, 7	105, 0
	0, 8	3, 2	6, 8	32, 1	33, 5
	1, 8	13, 0	27, 0	30, 5	142, 0
	0, 9	6, 9	12, 4	29, 8	96, 0
	1, 1	15, 0	17, 7	25, 4	140, 0
	1, 9	11, 9	12, 7	29, 3	59, 3
	-0, 9	1, 6	21, 4	29, 2	131, 0
	1, 3	8, 6	13, 5	29, 2	70, 7
	2, 0	11, 5	13, 4	29, 1	65, 4
	0, 6	1, 9	4, 2	27, 9	23, 1
	0, 7	5.8	15, 5	27, 2	80, 8

Задание:

Рассчитать параметры уравнения линейноймножественной регрессии с данным перечнем факторов.

Рассчитать парные коэффициенты корреляции и отобрать информативные факторы для модели. Построить модель с информативными факторами и оценить ее параметры.

Рассчитать прогнозное значение результата.

Рассчитать доверительный интервал прогноза и ошибки и при
уровне значимости 5 или 10% (γ = 0, 05; γ = 0, 10).

2. Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2009г.

№ п/п	Чистая прибыль, млрд $, у	Использованный капитал, млрд $.х1	Оборот капи­тала, млрд$, х2	Численность, тыс. чел., х3
	6, 6	83, 6	6, 9	222, 0
	3, 0	6, 5	18.0	32, 0
	6, 5	50, 4	107, 9	82, 0
	3, 3	15, 4	16, 7	45, 2
	0, 1	29, 6	79, 6	299, 3
	3, 6	13, 3	16, 2	41, 6
	1, 5	5, 9	5, 9	17, 8
	5, 5	27, 1	53, 1	151, 0
	2, 4	11, 2	18, 8	82, 3
	3, 0	16, 4	35, 3	103, 0
	4, 2	32, 5	71, 9	225, 4
	2, 7	25, 4	93, 6	675, 0
	1, 6	6, 4	10, 0	43, 8
	2, 4	12, 5	31, 5	102, 3
	3, 3	14, 3	36, 7	105, 0
	1, 8	6, 5	13, 8	49, 1
	2, 4	22, 7	64, 8	50, 4
	1, 6	15, 8	30, 4	480, 0
	1, 4	9, 3	12, 1	71, 0
	0, 9	18, 9	31, 3	43, 0

Задание:

Рассчитать параметры уравнения линейной множественной регрессии с данным перечнем факторов.

Рассчитать парные коэффициенты корреляции и отобрать информативные факторы для модели. Построить модель с информативными факторами и оценить ее параметры.

Рассчитать прогнозное значение результата.

Рассчитать доверительный интервал прогноза и ошибки при
уровне значимости 5 или 10% (γ = 0, 05; γ = 0, 10).

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. В каких случаях следует увеличить боковой интервал?
2. Возрастные показатели плодовитости по возрастным интервалам
3. Доверительные интервалы для коэффициентов: реальные статистические данные
4. Доверительный маркетинг как способ заставить рекламу вновь заработать
5. Доверительный маркетинг — ожидаемый, персональный и актуальный
6. Если доверительный маркетинг настолько эффективен, то почему вокруг преобладает отвлекающая телевизионная реклама?
7. Интервал между рождением щенков/котят
8. Интервалы возрастания и убывания функции
9. Интервальная оценка параметров распределения
10. Нахождение доверительных интервалов для коэффициентов регрессионной модели
11. Организация занятий по экстенсивно-интервальному методу круговой тренировки на уроках физической культуры
12. Построение доверительных интервалов.