Оценка и интерпретация параметров.

Для анализа статистической значимости полученных коэффициентов множественной линейной регрессии оценивают дисперсию D(a_i) и стандартные отклонения S(a_i)=Ö D(a_i) коэффициентов a_i. Аналогично (10) величина t=a_i/S(a_i), называемая t–статистикой, имеет распределение Стьюдента с (n-m-1) степенями свободы. При достаточно большом числе степеней свободы (не менее 10), и при 5%-ном уровне значимости можно приближенно считать оценку незначимой, если t–статистика по модулю меньше 1, и весьма надежной, если модуль t–статистики больше 3.

Коэффициенты множественной линейной регрессии a_i имеют большой экономический смысл. Они показывают, на сколько изменится анализируемый показатель Y при изменении фактора Х_i на единицу.

Пример 2.1. Рассмотрим модели спроса, используя ниже приведенные в табл.2.1 конкретные статистические данные обследования семей, сведенные в девять групп (с примерно одинаковым объемом потребления).

 

Таблица 2.1

№ группы	Траты на питание (у)	Доход (х1)	Размер семьи (х2)	ŷ	ej	ej2
			1, 5	334, 6	99, 4	9880, 36
			2, 1	626, 5	–10, 5	110, 25
			2, 7	928, 5	–28, 5	812, 25
			3, 2	1189, 8	–76, 8	5898, 24
			3, 4	1340, 5	–34, 5	1190, 25
			3, 6	1493, 6	–5, 6	31, 36
			3, 7
			4, 0	1879, 1	34, 9
			3, 7	2409, 5	1, 5	2, 25
Средние	=1313, 9	1 =6080, 5	2 =3, 1			2198, 2

Сначала рассмотрим однофакторную линейную модель связитрат на питание (у) от величины дохода (х₁)

ŷ =а₀ + а₁х₁, (2.3)

параметры которой а₀ и а₁ находятся по формулам (1.5), используя исходные данные из табл.2.1 и =(∑ х₁²)/9=63989644, 1, =(∑ х₁у)/9)=10894351. Решение: а₀=660, 06; а₁ = 0, 1075. Получаем уравнение регрессии ŷ =660, 06 + 0, 1075х₁.

Затем вычисляются средняя квадратическая ошибка (корень квадратный из дисперсии у)

S_у=√ (∑ (у – у)²)/n,

средняя квадратическая ошибка модели (2.3) S_ŷ =√ (∑ (у – ŷ )²)/n и коэффициент детерминации R_{ŷ х1} =√ 1 – S_ŷ ²/ S_у².

В нашем примере S_у²=454070, S_ŷ ²=63846, следовательно

R_{ŷ х1} =√ 1 – 63846/454070 =0, 927.

Полученное значение показывает, что связь между тратами на питание и доходом очень тесная.

R²_{ŷ х1}показывает долю изменения зависимой переменной под воздействием факторного признака. В нашем примере R²_{ŷ х1}=0, 86, значит, фактором дохода можно объяснить 86, 0% изменения трат на питание.

Теперь рассмотрим двухфакторную линейную модель связи трат на питание (у) от величины дохода (х₁) и размера семьи (х₂)ŷ =а₀ + а₁х₁+ а₂х₂ .

Параметры модели а₀, а₁и а₂ находятся посредством решения следующей системы нормальных уравнений:

 

а₀ + х₁а₁ + х₂а₂ = у

х₁а₀ + а₁ + х₁х₂ а₂ = ух₁

х₂а₀ + х₁х₂ а₁+ а₂ = ух₂,

которая также формируется при применении метода наименьших квадратов (средние величины х₁х₂ , и ух₂ вычисляются аналогично однофакторной модели). Получаем систему

а₀ + 6080, 5а₁ + 3, 1а₂ = 1313, 9

6080, 5а₀ + 63989644, 1а₁ + 21649, 1а₂ = 10894351

3, 1а₀ + 21649, 1а₁ + 10, 2а₂ = 4488,

которую решаем, например, методом Гаусса.

Делим второе и третье уравнения на коэффициент при а₀.

а₀ + 6080, 5а₁ + 3, 1а₂ = 1313, 9

а₀ + 10523, 75а₁ + 3, 56а₂ = 1791, 69

а₀ + 6983, 58а₁ + 3, 29а₂ = 1447, 74.

От второго и третьего уравнения отнимаем первое

а₀ + 6080, 5а₁ + 3, 1а₂ = 1313, 9

4443, 25а₁ + 0, 46а₂ = 477, 79

903, 08а₁+ 0, 19а₂ = 133, 84.

Делим второе и третье уравнения на коэффициент при а₁.

а₀ + 6080, 5а₁ + 3, 1а₂ = 1313, 9

а₁ + 0, 0001035а₂ = 0, 1075316

а₁+ 0, 0002104а₂ = 0, 1482039.

От третьего уравнения отнимаем второе

а₀ + 6080, 5а₁ + 3, 1а₂ = 1313, 9

а₁ + 0, 0001035а₂ = 0, 1075316

0, 0001069а₂= 0, 0406723.

Из третьего уравнения находим а₂ =380.47; подставляя его во второе уравнение получаем а₁ = 0, 06815; подставляя найденные а₁и а₂ в первое уравнение, получаем а₀ = –279.94; следовательно

ŷ = –279.94 + 0.06815х₁+ 380.47х₂ .

При определении тесноты связи сначала вычисляются теоретические значения ŷ , затем уклонения e_j и их квадраты (колонки 5, 6, 7 табл.2.1). Получим S_ŷ ² =(∑ (у – ŷ )²)/n =2198, 2. Используя ранее вычисленное S_у²=454070, получим R² =1 – S_ŷ ²/ S_у² =0, 995. R² показывает долю вариации зависимой переменной под воздействием изучаемых факторов. У нас R²=0, 995, значит, совместное влияние дохода и размера семьи объясняет почти 99, 5% изменения трат на питание.

 

Описание связей между макроэкономическими переменными.

Влияние каждого фактора в многофакторных моделях можно охарактеризовать посредством частных коэффициентов эластичности, в случае двухфакторной линейной модели они рассчитываются по формулам

Э _{ŷ х1(х2)} = а₁х₁ / у; Э _{ŷ х2(х1)}= а₂х₂ / у. (2.4)

Каждый частный коэффициент эластичности показывает, на сколько % изменится зависимая переменная, если изменить соответствующий факторный признак на один процент не меняя значения остальных.

В рассматриваемом выше примере 2.1

Э_{ŷ х1(х2)}=0, 06815·6080, 5/1313, 9=0, 315; Э_{ŷ х2(х1)}=380.47·3, 1/1313, 9=0, 898.

Значит, при увеличении дохода на один процент и постоянном размере семьи траты на питание возрастут на 0, 315 процента, а увеличение на один процент размера семьи при постоянном доходе приведет к росту расходов на питание на 0, 898 процента.

Пример 2.2. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.

Данные приведены в табл.2.2.

Таблица 2.2

N	Квартплата, руб.	Площадь квартиры, м2	Количество человек
y	x1	x2
	244, 19	46, 0
	450, 50	80, 2
	199, 86	43, 8
	192, 00	48, 9
	98, 50	12, 0
	356, 59	59, 8
	381, 54	51, 9
	118, 48	18, 0
	324, 40	53, 8
	182, 50	16, 0
	=254, 86	1=43, 04	2=2, 5

Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ =а₀+а₁x₁+а₂x₂. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 2.3.

 

Таблица 2.3

N	yx1	yx2	x12	x22	x1x2
	11232, 74	732, 57
	36130, 1	1351, 5	6432, 04		240, 6
	8753, 87	199, 86	1918, 44		43, 8
	9388, 8		2391, 21		97, 8
		98, 5			12, 0
	21324, 08	1069, 77	3576, 04		179, 4
	19801, 93	1526, 16	2693, 01		207, 6
	2132, 64	236, 96
	17452, 72	973, 2	2894, 44		161, 4
		547, 5			48, 0
	1=13031, 9	2=712	=2274, 58	=7, 1	х1х 2=116, 46

Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:

а₀+ ₁a₁+ ₂a₂ =

₁а₀+ a₁+ х₁х ₂a₂ = ₁

₂а₀+ х₁х ₂a₁+ a₂ = _2.

Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а₀, а₁ и а₂.

Подставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему

а₀+43, 04 a₁+2, 5 a₂ = 254, 86

43, 04 а₀+2274, 58 a₁+116, 46 a₂ = 13031, 89

2, 5а₀+116, 46 a₁+7, 1 a₂ = 712.

Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством

∆ =

43, 04 2, 5

43, 04 2274, 58 116, 46

2, 5 116, 46 7, 1

= 1

2274, 58 116, 46

116, 46 7, 1

–43, 04

43, 04 2, 5

116, 46 7, 1

 

+ 2, 5

43, 04 2, 5

2274, 58 116, 46

=1× (16149, 518-13562, 93)–43, 04× (305, 58–291, 1)+2, 5×

× (5012, 44–5686, 45)=2586, 586 – 621, 07 – 1685, 025=280, 49.

Получили, что ∆ =280, 49≠ 0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

 

, .

∆ а0 =

254, 86 13031, 89

43, 04 2274, 58 116, 46

2, 5 116, 46 7, 1

= 254, 86

2274, 58 116, 46

116, 46 7, 1

– 43, 04×

 

13031, 89

116, 46 7, 1

+ 2, 5

13031, 89

2274, 58 116, 46

=254, 86× (16149, 52–13562, 93) –

–43, 04× (92526, 42–82919, 52) + 2, 5× (1517693, 9–1619500, 96) = 659218, 33 –

– 413480, 98–254515, 25= –8777, 9.

∆ а1=	43, 04 2, 5	254, 86 13031, 89	2, 5 116, 46 7, 1	=1	13031, 89	116, 46 7, 1	– 254, 86	43, 04 2, 5	116, 46 7, 1
+ 2, 5	43, 04 2, 5	13031, 89	=1× (92526, 42–82919, 52)–254, 86× (305, 58–91, 15)+2, 5×

× (30644, 48–32579, 72)=9606, 9–3677, 63–4838, 1=1091, 2.

∆ а2=

43, 04 2, 5

43, 04 2274, 58 116, 46

254, 86 13031, 89

= 1

2274, 58 116, 46

13031, 89

– 43, 04×

 

43, 04 2, 5

13031, 89

+ 254, 86

43, 04 2, 5

2274, 58 116, 46

= 1× (1619500, 96–1517693, 91) –

– 43, 04 × (30644, 48 – 32579, 73) + 254, 86 × (5012, 44 –5686, 45) =

=101807, 05+83293, 16–171778, 19=13322, 02.

Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а₀, а₁ и а₂.

а₀ = –8777, 9/280, 49= –31, 3;

а₁ = 1091, 2/280, 49= 3, 89;

а₂ = 13322, 02/280, 49= 47, 5,

следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:

ŷ = –31, 3+3, 89 x₁+47, 5 x_2.

Коэффициент регрессии модели а₁ =3, 89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3, 89 руб., а коэффициент а₂=47, 5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47, 5 руб.

Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.2.4).

Таблица 2.4

номер	y	(y - )2	ŷ	ε =ŷ - у	ε 2
	244, 19	113, 85	290, 14	45, 9	2106, 8
	450, 50	38275, 01	423, 1	–27, 4	750, 8
	199, 86		186, 52	–13, 3	176, 9
	192, 00	3951, 38	253, 88	61, 9	3831, 6
	98, 50	24448, 45	62, 88	–35, 6	1267, 4
	356, 59	10348, 99	343, 79	–12, 8	163, 8
	381, 54	16047, 82	360, 61	–20, 9	436, 8
	118, 48	18599, 50	133, 74	15, 3	234, 1
	324, 40	4835, 81	320, 47	–3, 9	15, 2
	182, 50	5235, 97	173, 5	–9
∑ /n	=254, 86	12488, 18			906, 4

Совокупный коэффициент детерминации

R²= 1 – 906, 4/12488, 18= 0, 927.

Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. Оценка будущей стоимости денежного потока с позиции текущего момента времени
2. F. Оценка будущей стоимости денежного потока с позиции текущего момента времени
3. G) определение путей эффективного вложения капитала, оценка степени рационального его использования
4. I. Самооценка и уровень притязаний
5. Агрономическая оценка ПЗВ в метровом слое почвы
6. Агроэкологическая оценка земель конкретного хозяйства и распределение их по группам пригодности для возделывания сельскохозяйственных культур
7. Агроэкологическая оценка севооборотов
8. Аджиевская интерпретация (с. 50)
9. АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
10. Анализ и интерпретация данных экспериментально-психологического исследования
11. Анализ и интерпретация полученных результатов
12. Анализ и оценка движения денежных средств