Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Оценка и интерпретация параметров.



Для анализа статистической значимости полученных коэффициентов множественной линейной регрессии оценивают дисперсию D(ai) и стандартные отклонения S(ai)=Ö D(ai) коэффициентов ai. Аналогично (10) величина t=ai/S(ai), называемая t–статистикой, имеет распределение Стьюдента с (n-m-1) степенями свободы. При достаточно большом числе степеней свободы (не менее 10), и при 5%-ном уровне значимости можно приближенно считать оценку незначимой, если t–статистика по модулю меньше 1, и весьма надежной, если модуль t–статистики больше 3.

Коэффициенты множественной линейной регрессии ai имеют большой экономический смысл. Они показывают, на сколько изменится анализируемый показатель Y при изменении фактора Хi на единицу.

Пример 2.1. Рассмотрим модели спроса, используя ниже приведенные в табл.2.1 конкретные статистические данные обследования семей, сведенные в девять групп (с примерно одинаковым объемом потребления).

 

Таблица 2.1

№ группы Траты на питание (у) Доход (х1) Размер семьи (х2) ŷ ej ej2
1, 5 334, 6 99, 4 9880, 36
2, 1 626, 5 –10, 5 110, 25
2, 7 928, 5 –28, 5 812, 25
3, 2 1189, 8 –76, 8 5898, 24
3, 4 1340, 5 –34, 5 1190, 25
3, 6 1493, 6 –5, 6 31, 36
3, 7
4, 0 1879, 1 34, 9
3, 7 2409, 5 1, 5 2, 25
Средние =1313, 9 1 =6080, 5 2 =3, 1     2198, 2

Сначала рассмотрим однофакторную линейную модель связитрат на питание (у) от величины дохода (х1)

ŷ =а0 + а1х1, (2.3)

параметры которой а0 и а1 находятся по формулам (1.5), используя исходные данные из табл.2.1 и =(∑ х12)/9=63989644, 1, =(∑ х1у)/9)=10894351. Решение: а0=660, 06; а1 = 0, 1075. Получаем уравнение регрессии ŷ =660, 06 + 0, 1075х1.

Затем вычисляются средняя квадратическая ошибка (корень квадратный из дисперсии у)

Sу=√ (∑ (у у)2)/n,

средняя квадратическая ошибка модели (2.3) Sŷ =√ (∑ (уŷ )2)/n и коэффициент детерминации Rŷ х1 =√ 1 – Sŷ 2/ Sу2.

В нашем примере Sу2=454070, Sŷ 2=63846, следовательно

Rŷ х1 =√ 1 – 63846/454070 =0, 927.

Полученное значение показывает, что связь между тратами на питание и доходом очень тесная.

R2ŷ х1показывает долю изменения зависимой переменной под воздействием факторного признака. В нашем примере R2ŷ х1=0, 86, значит, фактором дохода можно объяснить 86, 0% изменения трат на питание.

Теперь рассмотрим двухфакторную линейную модель связи трат на питание (у) от величины дохода (х1) и размера семьи (х2)ŷ =а0 + а1х1+ а2х2 .

Параметры модели а0, а1и а2 находятся посредством решения следующей системы нормальных уравнений:

 

а0 + х1а1 + х2а2 = у

х1а0 + а1 + х1х2 а2 = ух1

х2а0 + х1х2 а1+ а2 = ух2,

которая также формируется при применении метода наименьших квадратов (средние величины х1х2 , и ух2 вычисляются аналогично однофакторной модели). Получаем систему

а0 + 6080, 5а1 + 3, 1а2 = 1313, 9

6080, 5а0 + 63989644, 1а1 + 21649, 1а2 = 10894351

3, 1а0 + 21649, 1а1 + 10, 2а2 = 4488,

которую решаем, например, методом Гаусса.

Делим второе и третье уравнения на коэффициент при а0.

а0 + 6080, 5а1 + 3, 1а2 = 1313, 9

а0 + 10523, 75а1 + 3, 56а2 = 1791, 69

а0 + 6983, 58а1 + 3, 29а2 = 1447, 74.

От второго и третьего уравнения отнимаем первое

а0 + 6080, 5а1 + 3, 1а2 = 1313, 9

4443, 25а1 + 0, 46а2 = 477, 79

903, 08а1+ 0, 19а2 = 133, 84.

Делим второе и третье уравнения на коэффициент при а1.

а0 + 6080, 5а1 + 3, 1а2 = 1313, 9

а1 + 0, 0001035а2 = 0, 1075316

а1+ 0, 0002104а2 = 0, 1482039.

От третьего уравнения отнимаем второе

а0 + 6080, 5а1 + 3, 1а2 = 1313, 9

а1 + 0, 0001035а2 = 0, 1075316

0, 0001069а2= 0, 0406723.

Из третьего уравнения находим а2 =380.47; подставляя его во второе уравнение получаем а1 = 0, 06815; подставляя найденные а1и а2 в первое уравнение, получаем а0 = –279.94; следовательно

ŷ = –279.94 + 0.06815х1+ 380.47х2 .

При определении тесноты связи сначала вычисляются теоретические значения ŷ , затем уклонения ej и их квадраты (колонки 5, 6, 7 табл.2.1). Получим Sŷ 2 =(∑ (уŷ )2)/n =2198, 2. Используя ранее вычисленное Sу2=454070, получим R2 =1 – Sŷ 2/ Sу2 =0, 995. R2 показывает долю вариации зависимой переменной под воздействием изучаемых факторов. У нас R2=0, 995, значит, совместное влияние дохода и размера семьи объясняет почти 99, 5% изменения трат на питание.

 

Описание связей между макроэкономическими переменными.

Влияние каждого фактора в многофакторных моделях можно охарактеризовать посредством частных коэффициентов эластичности, в случае двухфакторной линейной модели они рассчитываются по формулам

Э ŷ х1(х2) = а1х1 / у; Э ŷ х2(х1)= а2х2 / у. (2.4)

Каждый частный коэффициент эластичности показывает, на сколько % изменится зависимая переменная, если изменить соответствующий факторный признак на один процент не меняя значения остальных.

В рассматриваемом выше примере 2.1

Эŷ х1(х2)=0, 06815·6080, 5/1313, 9=0, 315; Эŷ х2(х1)=380.47·3, 1/1313, 9=0, 898.

Значит, при увеличении дохода на один процент и постоянном размере семьи траты на питание возрастут на 0, 315 процента, а увеличение на один процент размера семьи при постоянном доходе приведет к росту расходов на питание на 0, 898 процента.

Пример 2.2. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.

Данные приведены в табл.2.2.

Таблица 2.2

N Квартплата, руб. Площадь квартиры, м2 Количество человек
y x1 x2
244, 19 46, 0
450, 50 80, 2
199, 86 43, 8
192, 00 48, 9
98, 50 12, 0
356, 59 59, 8
381, 54 51, 9
118, 48 18, 0
324, 40 53, 8
182, 50 16, 0
  =254, 86 1=43, 04 2=2, 5

Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ =а0+а1x1+а2x2. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 2.3.

 

Таблица 2.3

N yx1 yx2 x12 x22 x1x2
11232, 74 732, 57
36130, 1 1351, 5 6432, 04 240, 6
8753, 87 199, 86 1918, 44 43, 8
9388, 8 2391, 21 97, 8
98, 5 12, 0
21324, 08 1069, 77 3576, 04 179, 4
19801, 93 1526, 16 2693, 01 207, 6
2132, 64 236, 96
17452, 72 973, 2 2894, 44 161, 4
547, 5 48, 0
  1=13031, 9 2=712 =2274, 58 =7, 1 х1х 2=116, 46

Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:

а0+ 1a1+ 2a2 =

1а0+ a1+ х1х 2a2 = 1

2а0+ х1х 2a1+ a2 = 2.

Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.

Подставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему

а0+43, 04 a1+2, 5 a2 = 254, 86

43, 04 а0+2274, 58 a1+116, 46 a2 = 13031, 89

2, 5а0+116, 46 a1+7, 1 a2 = 712.

Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством

∆ = 43, 04 2, 5 43, 04 2274, 58 116, 46 2, 5 116, 46 7, 1 = 1 2274, 58 116, 46 116, 46 7, 1 –43, 04 43, 04 2, 5 116, 46 7, 1

 

+ 2, 5 43, 04 2, 5 2274, 58 116, 46 =1× (16149, 518-13562, 93)–43, 04× (305, 58–291, 1)+2, 5×

× (5012, 44–5686, 45)=2586, 586 – 621, 07 – 1685, 025=280, 49.

Получили, что ∆ =280, 49≠ 0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

 

, .

а0 = 254, 86 13031, 89 43, 04 2274, 58 116, 46 2, 5 116, 46 7, 1 = 254, 86 2274, 58 116, 46 116, 46 7, 1 – 43, 04×

 

13031, 89 116, 46 7, 1 + 2, 5 13031, 89 2274, 58 116, 46 =254, 86× (16149, 52–13562, 93) –

–43, 04× (92526, 42–82919, 52) + 2, 5× (1517693, 9–1619500, 96) = 659218, 33 –

– 413480, 98–254515, 25= –8777, 9.

а1= 43, 04 2, 5 254, 86 13031, 89 2, 5 116, 46 7, 1 =1 13031, 89 116, 46 7, 1 – 254, 86 43, 04 2, 5 116, 46 7, 1
+ 2, 5 43, 04 2, 5 13031, 89 =1× (92526, 42–82919, 52)–254, 86× (305, 58–91, 15)+2, 5×  
                         

× (30644, 48–32579, 72)=9606, 9–3677, 63–4838, 1=1091, 2.

а2= 43, 04 2, 5 43, 04 2274, 58 116, 46 254, 86 13031, 89 = 1 2274, 58 116, 46 13031, 89 – 43, 04×

 

43, 04 2, 5 13031, 89 + 254, 86 43, 04 2, 5 2274, 58 116, 46 = 1× (1619500, 96–1517693, 91) –

– 43, 04 × (30644, 48 – 32579, 73) + 254, 86 × (5012, 44 –5686, 45) =

=101807, 05+83293, 16–171778, 19=13322, 02.

Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.

а0 = –8777, 9/280, 49= –31, 3;

а1 = 1091, 2/280, 49= 3, 89;

а2 = 13322, 02/280, 49= 47, 5,

следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:

ŷ = –31, 3+3, 89 x1+47, 5 x2.

Коэффициент регрессии модели а1 =3, 89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3, 89 руб., а коэффициент а2=47, 5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47, 5 руб.

Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.2.4).

Таблица 2.4

номер y (y - )2 ŷ ε =ŷ - у ε 2
244, 19 113, 85 290, 14 45, 9 2106, 8
450, 50 38275, 01 423, 1 –27, 4 750, 8
199, 86 186, 52 –13, 3 176, 9
192, 00 3951, 38 253, 88 61, 9 3831, 6
98, 50 24448, 45 62, 88 –35, 6 1267, 4
356, 59 10348, 99 343, 79 –12, 8 163, 8
381, 54 16047, 82 360, 61 –20, 9 436, 8
118, 48 18599, 50 133, 74 15, 3 234, 1
324, 40 4835, 81 320, 47 –3, 9 15, 2
182, 50 5235, 97 173, 5 –9
∑ /n =254, 86 12488, 18     906, 4

Совокупный коэффициент детерминации

R2= 1 – 906, 4/12488, 18= 0, 927.

Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 958; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.039 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь