Влияние отдельных факторов на результативную переменную.

5.2.1.Понятие эластичности и ее свойства.

Эластичность функции была введена Аланом Маршаллом при анализе функции спроса. Это математическое понятие может применяться для любых дифференцируемых функций.

Эластичность функции у =f(x) в точке х₀определяется следующим пределом:

Часто в обозначении эластичности опускаютх₀. Эластичность Е_у является коэффициентом пропорциональности между относительными приращениями величин х и у.При увеличении х на один процент у увеличивается приблизительно на Е_у процентов.

Вычисление эластичности производится по нескольким эквивалентным формулам (при существовании конечной производной функции у =f(x) в точке х₀):

Свойства эластичности:

а)для эластичности суммы у=у₁+…+у_п положительных функций у_iвыполняется соотношение Е_min£ Е_у£ Е_max, где Е_min(Е_max) – это минимальная (максимальная) эластичность функций у_i;

б)эластичность произведения u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей этих функций: Е_uv = Е_u +Е_v;

в)эластичность частного u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей этих функций: Е_uv = Е_u – Е_v;

г) эластичность сложной функции у=f(g(t)) удовлетворяет равенству Е_у_t= Е_у_x× Е_xt;

д) эластичность обратной функции Е_ху=Е_ух^-1.

Примеры:

у = х+С,

у=х^а,

Как видим, эластичность степенной функции является константой. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. В силу этого для них обычно рассчитывается средний показатель эластичности

Пример 5.1. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции y от факторов, приведенных в таблице. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат. Проранжировать факторы по силе влияния. Данные представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

Объем производства (х₁)	у(х₁)=0, 62+58, 74∙ (1/х₁)	2, 64
Трудоемкость единицы продукции (х₂)	у(х₂)=9, 3+9, 83∙ х₂	1, 38
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х₃)	у(х₃)=11, 75+х₃^{1, 6281}	1, 503
Доля прибыли, изымаемая государством (х₄)	у(х₄)=14, 87∙ 1, 016^х⁴	26, 3

Тогда получаем:

a) для линейной функции у=b+ax

b) для гиперболы у=b+a/x

c) для степенной функции у=bx^а

d) для показательной функции у=bа^х

Наиболее слабое влияние на изменение признака у оказывает фактор x₄, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое низкое значение 0, 1813.

Это означает, что при росте доли прибыли, изымаемой государством, на 1% себестоимость увеличится на 0, 18%. Наиболее сильное влияние на изменение признака у оказывает фактор x₃, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое высокое значение 1, 6281. Это означает, что при росте цены за одну тонну энергоносителя на 1%, себестоимость возрастет на 1, 63%.

Упорядочим факторы по силе влияния на изменение себестоимости:

Ранг	Факторный признак	Обозна- чение	Коэффициент эластичности	Комментарий
	Доля прибыли, изымаемой государством	x₄	0, 1813	Инфраэластичность. Влияние практически отсутствует. Фактор оказывает наименьшее влияние на себестоимость
	Трудоемкость единицы продукции	x₁	0, 5933	При изменении трудоемкости единицы продукции на 1% себестоимость изменится на 0, 59%. Инфраэластичность, влияние слабое.
	Объем производства	x₂	-0, 9728	Между изменением объема производства и себестоимости существует обратная зависимость. С увеличением объема производства на 1% себестоимость снижается на 0, 97%.
	Цена за одну тонну энерго-носителя	x₃	1, 6281	При изменении фактора на 1% себестоимость изменяется на 1, 63%. Ультраэластичность, влияние сильное. Фактор оказывает наибольшее влияние на себестоимость

Пример 5.2. В таблице 5.2. указаны парные коэффициенты корреляции. Провести анализ целесообразности включения заданных факторов в модель множественной линейной регрессии.

Таблица 5.2.

	у	x₁	x₂	x₃	x₄
у
x₁	0, 71
x₂	0, 58	0, 53
x₃	0, 08	0, 2	0, 13
x₄	0, 62	0, 81	0, 3	0, 25

Между y и x₃ связь практически отсутствует. Между y и x₁ связь сильная, между y и x₂, x₄ – умеренная.

Отсюда следует вывод о нецелесообразности включения фактора x₃ в модель множественной линейной регрессии (коэффициент парной корреляции с результатом равен 0, 08).

Между факторами x₁ и x₄ существует сильная прямая связь (коэффициент парной корреляции > 0, 8). Для того чтобы избежать явления мультиколлинеарности, один из этих факторов должен быть исключен из анализа. Исключается фактор x₁, умеренно коррелирующий с x₂ (коэффициент их парной корреляции равен 0, 53). Факторы, включенные в модель множественной регрессии: x₂, x₄.

5.3. Практический блок

Пример

По данным таблицы 5.3 изучается зависимость Y(тыс. руб.) - прибыли торгового предприятия от следующих факторов:

X1 - товарные запасы (тыс. руб.);

X2 - фонд зарплаты (тыс. руб.);

X3 –торговые издержки (тыс. руб.);

X4 –продажи(тыс. руб.).

Таблица 5.3.

Месяц	У	Х1	Х2	Х3	Х4
I	41321, 6	300284, 1	19321, 8	42344, 9	100340, 0
	40404, 3	49107, 2	20577, 9	49000, 4	90001, 3
	37222, 1	928388, 7	24824, 9	50314, 5	29302, 0
	37000, 8	724949, 1	28324, 9	48216, 4	11577, 4
	29424, 8	730855, 3	21984, 8	3301, 3	34209, 8
	20348, 2	2799881, 1	11000, 0	21284, 2	29300, 0
	11847, 1	1824351, 2	4328, 9	28407, 8	19531, 9
	14320, 6	1624500, 8	7779, 4	40116, 0	17343, 2
	18239, 5	1115200, 9	18344, 1	32205, 0	4391, 0
	22901, 5	1200947, 5	20937, 3	30105, 3	14993, 2
	27391, 9	1117850, 9	27344, 3	40294, 4	104300, 0
	44808, 4	1379590, 0	31939, 5	42239, 8	119804, 3
	40629, 3	588365, 8	29428, 6	55584, 3	155515, 1
	31324, 8	434281, 9	30375, 8	49888, 2	60763, 2
	34847, 9	1428243, 6	33000, 9	59866, 5	8763, 2
	33241, 3	1412181, 6	31322, 6	49975, 8	4345, 4
	29971, 3	1448274, 1	20971, 8	3669, 9	48382, 1
	17114, 9	4074616, 7	11324, 9	26032, 9	10168, 0
	8944, 9	1874299, 0	8341, 5	29327, 2	22874, 4
	17499, 6	1525436, 5	10481, 1	40510, 0	29603, 0
	19244, 8	1212238, 9	18329, 9	37444, 7	16605, 7
	34958, 3	1154327, 2	29881, 5	36427, 2	32124, 6
	44900, 8	1173125, 0	34928, 6	51485, 6	200485, 0
	57300, 3	1435664, 9	41824, 9	49959, 9	88558, 6

Задание:

1.Построить линейную (аддитивную) множественную регрессию для заданной статистики данных.

2. Оценить адекватность построенного уравнения.

3.Определить значимые и незначимые переменные.

4. Построить уравнение со статистически значимыми переменными. Привести экономическую интерпретацию всем параметрам модели.

5. Проверить полученную регрессию на автокорреляцию остатков.

6. Для полученной регрессии проверить условие гомоскедастичности остатков, используя метод Голдфельда-Квандта.

Решение:

На рис. 5.2 представлен регрессионный анализ (с использованием Пакета анализа EXCEL).

Рис. 5.2. Вывод итогов

Во второй колонке внизу (под заголовком «Коэффициенты») находятся полученные коэффициенты регрессии:

a₀= 7825.51, a₁=-0.00098, a₂=0.8806, a₃=0.0094, a₄=0.0617. Получено уравнение множественной регрессии в виде:

у=7825.51 - 0.00098х₁+ 0.8806х₂+0.0094х₃ +0.0617х₄.

Во второй строке таблицы «R-квадрат»—коэффициент детерминации R². Имеем R²= 0, 8178, что свидетельствует о том, что вариабельность балансовой прибыли – Y на 81, 78% объясняется изменениями факторов – X₁, Х₂, X₃, X₄. Это свидетельствует об адекватности регрессии.

«Нормированный R-квадрат» - коэффициент детерминации, поправленный по количеству степеней свободы. Он также указывает на достаточно высокую адекватность модели.

Анализ колонок 4 и 5 (под заголовками «t-статистика» и «Р-Значение») дает возможность сделать вывод о значимости лишь коэффициентов при X2 и Х4, так как только для них t-статистика больше 2, Р-значение меньше 0.05. Значит, при уровне значимости, равном 0.05, включение в модель факторов X1 и Х3 нецелесообразно.

Построим теперь уравнение зависимости прибыли – Yот значимых факторовX2 и Х4. Регрессионный анализ полученной регрессии приведен в табл.5.4.

Таблица 5.4 – Регрессионная статистика

Множественный R	0, 902446
R-квадрат	0, 814410
Нормированный R-квадрат	0, 796734
Стандартная ошибка	5515, 5398
Наблюдения
Дисперсионный анализ
		df	SS	MS	F	Значимость F
	Регрессия				46, 07625	2, 0885E-08
	Остаток			30421179, 7
	Итого
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	5933, 102	2844, 61	2, 08573	0, 049	17, 40698	11848, 80
Переменная X₂	0, 9162546	0, 132497	6, 915287	7, 83E-07	0, 640713	1, 191797
Переменная X₄	0, 0645183	0, 024941	2, 586860	0, 0172	0, 012651	0, 116386

Оценим адекватность полученной регрессии:

ВеличинаR²= 0, 81441показывает, что вариация переменной Yна 81, 441% объясняется вариацией включенных в уравнение переменных Х2 и Х4.Этимподтверждается адекватность модели.

Значение откорректированного коэффициента детерминации (0, 796734) выросло по сравнению с предыдущей моделью, в которой были все объясняющие факторы (0, 77944).

Оценим значимость построенной модели. В табл.5.4 t-статистика факторов Х2 и Х4 больше 2, Р-значение < 0, 05, следовательно, включенные в уравнение факторы при значимости = 0.05 являются значимыми. Получили уравнение балансовой прибыли торгового предприятия в следующем виде:

= 5933, 10 + 0, 9162*Х2+ 0, 0645*Х4.

Экономическая интерпретация параметров модели:

Коэффициент а₁ = 0, 9162, показывает, что при увеличении X2 (фонда зарплаты) на 1 тыс. руб. Y(балансовая прибыль) возрастает в среднем на 916, 2 руб., а коэффициент а₂ = 0, 0645 означает, что при увеличенииХ4(объемов продаж) на 1 тыс. руб. Yв среднем возрастает на 64, 5 тыс. руб. Анализ t-статистики и Р-значений показывает значимость полученных коэффициентов.

Рассчитаем средние коэффициенты эластичности.

Для этого рассчитаем сначала средние значения переменных.

=29800, 4, =22371, 6, =52220, 1.

Э_х2=0, 9162*22371, 6/29800, 4=0, 688.

Коэффициент эластичности второго фактора - рост фонда зарплаты на 1% увеличиваетYна 0, 688%.

Э_х4=0, 0645*52220, 1/29800, 4=0, 114.

Этот коэффициент эластичности показывает увеличениеY на 0, 114% при росте объема продаж на 1%.

Выполняя задание 5, вновь обратимся к “Пакету анализа” в EXCEL.

Предварительно отсортируем данные по возрастанию фактораX4, считая, что дисперсия отклонений зависит от величины этого фактора.

Выделим из табл.3 первые и последние т =8 строк.

Дисперсионный анализ модели, построенной по первым 8 строкам, приведен в таблице 5.5.

Таблица 5.5.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		5, 070Е+08	2.530E+08	20, 96	0.0037
Остаток		ЕSS₁=6.040E+07	1.210E+07
Итого		5.670E+08

Дисперсионный анализ уравнения, построенного по последним 8 строкам, приведен в таблице 5.6.

Таблица 5.6.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1, 770Е+08		1.00062	0.39865
Остаток		ЕSS₂=3.980E+08
Итого		5.750E+08

Вычислим F_расч= ESS₂/ESS₁= 3, 980Е+08/6, 040Е+07 = 6, 59.

Для нахождения табличного значения F_расчобратимся к функцииFРАСПОБР(0, 05; 6; 6), встроенной в EXCEL(в категории «статистических»), где 0, 05 - вероятность ошибки; 8-2=6–количество степеней свободы распределения Фишера. F_расч больше FPACПOБP(0, 05; 6; 6)=4.3, следовательно, модель гетероскедастична.

Выполняя задание 6 определяем значения отклонений е_i=y_i- , для всехi (i=1, 2,..., n). Это можно сделать, установив в диалоговом окне Регрессия флажок Остатки.

В табл.5.7представлены результаты вычислений.

Таблица 5.7.

Получили значение d=6, 50Е+08/6, 40Е+08 = 1, 016.

В таблице критических значений распределения Дарбина-Уотсона находим два значения: d_ниж- нижнюю границу и d_верх- верхнюю границу (табл.5.8.).

Таблица 5.8

В нашем примере 2 фактора (m=2), d_ниж = 1, 19, d_верх = 1, 55.

Полученное значение dудовлетворяет 0 d d_ниж. Таким образом, существует положительная автокорреляция остатков.

Контрольные вопросы

1. Какие факторы влияют на величину стандартных ошибок выборочных коэффициентов регрессии?

2. Как связаны выборочные коэффициенты регрессии с коэффициентом корреляции величин х и у?

3. Какой коэффициент характеризует долю объясненной дисперсии в общем значении дисперсии зависимой переменной?

4. На какие этапы делится проверка качества регрессии?

5. Что выражает коэффициент детерминации R²и как он рассчитывается?

6. В каких эконометрических задачах используется распределение Фишера?

7. Какие распределения используются для оценки качества линейной регрессии?

8. Какие показатели отражают независимость отклонений анализируемой переменной от полученной линии регрессии? Какими средствами осуществляется проверка независимости?

9. Когда необходимо исключение из рассмотрения незначимых переменных и добавление новых?

10. Что показывает коэффициент эластичности Е_у, средний коэффициент эластичности Ế _у, и как они вычисляются?

11. В каких случаях наблюдается положительная автокорреляция остатков?

12. Проверка качества полученных оценок параметров уравнения с использованием различных критериев.

13. Порядок использования инструментальных переменных

14. Фиктивные переменные и их назначение.

15. Каковы особенности применения в практике регрессионных моделей?

Задачи для самооценки

Задача 5.1. Имеется информация о товарообороте и доходах населения России за 2010 - 2012 гг.

Месяц	Товарооборот, в % к пред.месяцу	Доходы населения в % к пред.месяцу	Месяц	Товаро- оборот в % к пред.месяцу	Доходы населения в % к пред.месяцу
Январь	91, 6	79, 6	Июль	102, 4	102, 7
Февраль	92, 6	100, 6	Август	106, 9	96, 7
Март	104, 4	102, 8	Сентябрь	96, 8	81, 6
Апрель	101, 6	106, 7	Октябрь	92, 8	107, 9
Май	97, 8	92, 6	Ноябрь	100, 5	69, 8
Июнь	98, 8	110, 2	Декабрь	108, 2	122, 9
Июль	100, 9	96, 7	Январь	80, 1	63, 8
Август	103, 8	97, 2	Февраль	96, 8	107, 5
Сентябрь	104, 7	98, 6	Март	106, 1	103, 4
Октябрь	100, 5	105, 7	Апрель	97, 6	108, 1
Ноябрь	101, 6	97, 5	Май	100, 4	93, 8
Декабрь	116, 1	129, 8	Июнь	100, 8	104, 2
Январь	82, 6	63, 9	Июль	100, 2	97, 3
Февраль	91, 7	104, 4	Август	106, 8	104, 9
Март	103, 5	101, 8	Сентябрьь	100, 8	98, 8
Апрель	100, 4	105, 6	Октябрь	102, 4	104, 7
Май	99, 3	91, 4	Ноябрь	100, 6	99, 8
Июнь	99, 1	102, 7	Декабрь	116, 1	136, 8

Необходимо:

Построить трендовую и сезонную составляющую (отдельно для каждого показателя).

Оцените значимость построенных моделей.

Определите корреляцию и эластичность показателей.

Задача 5.2. Имеются следующие данные по торговым предприятиям.

Номер предприятия	Годовой валовой доход, млн. руб.	Среднегодовая стоимость, млн. руб.
оборотных средств	основных фондов

Необходимо:

Построить линейную множественную регрессию и пояснить экономический смысл полученных параметров.

Рассчитать частные коэффициенты эластичности.

Определить коэффициенты регрессии.

Определить силу связи анализируемой переменной и факторов.

Определить коэффициенты корреляции, множественный коэффициент корреляции.

Дать оценку полученной регрессии по коэффициенту детерминации.

Тесты

1. Для анализа эластичности спроса больше подойдет следующая регрессия:

а) линейная;

б) полиномиальная;

в) логарифмическая;

г) степенная;

д) экспоненциальная.

2. Оценки коэффициентов A, α и β производственной функции Кобба–Дугласа находятся с помощью:

а) принципа “ближнего соседа”;

б) метода наименьших квадратов;

а) дисконтированием множителей.

3. Коэффициент регрессии фактора х_i определяет:

а) уровень значимости фактора х_i;

б) на сколько изменится у при изменении фактора х_i на 1;

в) уровень достоверности фактора х_i;

г) степень отклонения фактора х_i от его среднего значения.

4. Если отклонения имеют постоянную дисперсию, то это называется:

а) гетероскедастичностью;

б) гомоскедастичностью;

в) ситуация не определена.

5. При увеличении объема выборки:

а) точность оценок увеличивается;

б) ошибка регрессии уменьшается;

в) интервальные оценки расширяются;

г) коэффициент детерминации уменьшается.

6. Коэффициент эластичности показывает среднее изменениеу=а₀+а₁x₁+а₂x₂, при увеличении а₁ или а₂

а) на единицу измерения х;

б) на единицу измерения у;

в) на один процент.

7. Производственную функцию целесообразно строить с помощью следующей модели:

а) линейной;

б) полиномиальной;

в) логарифмической;

г) степенной;

д) экспоненциальной.

8. Коэффициент корреляции признается значимым с вероятностью α, если:

а) t_набл по модулю будет больше, чем t_кр,

б) не имеет значения;

в) t_набл по модулю будет меньше, чем t_кр.

9. Множественный коэффициент корреляции

а) от –1 до 0;

б) от 0 до 1;

в) от 0 до 10;

г) от –1 до 1.

10.Коэффициент детерминации изменяется в пределах

а) от –1 до 0;

б) от 0 до 1;

в) от 0 до 10;

г) от –1 до 1.

11.Модель Y = AK^αL^βназывается:

а) функцией Энгеля;

б) функцией Кобба – Дугласа;

в) степенной моделью;

г) лог-линейной моделью.

12.Оценки метода наименьших квадратов и максимального правдоподобия

а) совпадают;

б)могут не совпадать;

в) никогда не совпадают.

13.Свойства случайного отклонения у преобразованного уравнения регрессии:

а) меняются;

б) не меняются;

в) не зависят от вида уравнения.

14.Выборочный коэффициент корреляции по абсолютной величине

а) меньше либо равен единице;

б) принимает любые значения;

в) не превосходит нуля.

15. Несущественная переменная в уравнении регрессии обнаруживает себя по малому значению:

а) F -статистики;

б) t -статистики;

в) коэффициента детерминации.

5.4. Самостоятельная работа студентов

Литература для самостоятельной работы

1. Новиков, А. И. Эконометрика: учеб. пособие: Дашков и К, 2013, -224с.

2. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: Учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко.-М.: ЮНИТИ, 2012. -310с.

3. Бывшев, В. А. Эконометрика: учеб. пособие / В. А. Бывшев. -М.: Финансы и статистика, 2009. -477с.

4. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144 с.

5. Бардасов С.А. Эконометрика: Учебное пособие. Издательство: Тюмень: ТГУ. 2010.

6. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования: учеб. пособие / Л. О. Бабешко. - Изд. 4-е. - М.: КомКнига, 2010. - 428 с.

7. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2012. -304 с.

8. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим методам: учеб. пособие / А. Н. Ильченко, О. Л. Ксенофонтова, Г. В. Канакина. - М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2009. - 287 с.

9. Айвазян С.А. Методы эконометрики. М. Магистр, 2009.

INTERNET-ресурсы

1. http: //upereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/top1/tsld006.htm

2. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

3. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm

4. http: //www.statsoft.ru/home/textbook/def ault.htm

5. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

6. http: //www.dataforce.net/~antl/article/econometric

7. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

8. http: //www.tvp.ru/vnizd/mathem4.htm

9. http: //www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/textbook/modules/stmulreg.html

10. http: //www.shpargalka.ru/statis.ru/doc/shpr_e31.htm

11. http: //www3.unicor.ac.ru/d024/p011993.htm

12. http: //www.gauss.ru/educat/systemat/butenkov/.asp

13. http: //crow.academy.ru/econometrics/seminars_/sem_08_/sem_08.htm

14. http: //crow.academy.ru/econometrics/lectures_/lect_03_/index.htm

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒