Измерение и интерпретация случайной составляющей.

Надежность получаемых оценок a₀ и a₁ зависит от дисперсии отклонений переменной у от оцененной линии регрессии e_i = у_i– aх_i - b_. Несмещенная оценка дисперсии случайной составляющей вычисляется по формуле

, (1.6)

и является мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии (необъясненная дисперсия).

В качестве меры того, насколько хорошо регрессия описывает данную систему наблюдений, служит коэффициент детерминации, при этом вычисляются следующие суммы квадратов отклонений:

S²=å _i(y_i– )² – фактических значений от их среднего арифметического;

Ŝ ²= å _i (ŷ _i – )² – выровненных значений от среднего арифметического

фактических значений;

Š ²= å _i (y_i – ŷ _i)² – фактических от выровненных значений.

Имеет место равенство S²= Ŝ ² + Š ².

Коэффициент детерминации есть отношение объясненной части вариации ко всей вариации в целом

R²=Ŝ ²/S²=1 – Š ²/S². (1.7)

Таким образом, чем «ближе» этот коэффициент к единице, тем лучше описание, разумеется, если при этом модель методически правильна.

В столбцах 8 и 10 табл.1.1 вычислены выровненные значения эмпирической функции регрессии и квадраты их отклонений от наблюденных значений.

В соответствии с (1.6) получаем оценку дисперсии случайной составляющей

=0, 0479/6=0, 008.

В соответствии с (1.7) значение коэффициента детерминации

R²= 1 – Š ²/S² = 1 – 0, 0479/1, 66=0, 971

показывает, что 97, 1% общей вариабельности товарооборота объясняется изменениями количества работников, тогда как на остальные факторы приходится 2, 9% вариабельности.

Найденные отклонения фактических значений от выровненных (столбец 9) позволяют провести сравнительный анализ работы различных магазинов. Прежде всего, необходимо обратить внимание на магазины с отрицательным отклонением (3, 4, 6). Особенно велико отклонение у 4-го магазина. Необходимо внимательно обследовать эти магазины и установить причины отклонений. Это может быть расположение магазина в стороне от основных потоков покупателей, плохое обслуживание, неудовлетворительный кадровый состав и т.п. Здесь, по-видимому, имеются резервы в организации труда работников. Напротив, в магазинах 1, 2, 5, 7 и 8 работники используются эффективнее статистического «норматива», но может оказаться, что эти магазины объективно находятся в лучших условиях.

Обозначим S_x=å _i(x_i – )², тогда дисперсия параметра a₁ вычисляется по формуле D(a₁)=σ ²/ S_x.

Значимость оцененного коэффициента регрессии a₁ может быть проверена с помощью анализа его отношения к своему стандартному отклонению

t=a₁/ . (1.8)

Эта величина имеет распределение Стьюдента с (n – 2) степенями свободы и называется t-статистика. (см. приложение 1). Можно использовать следующее грубое правило для оценки значимости коэффициента линейной регрессии:

- если t< 1, то он не может быть признан значимым, поскольку доверительная вероятность здесь составляет менее 0, 7;

- если 1< t< 2, то сделанная оценка может рассматриваться как более или менее значимая, доверительная вероятность здесь примерно от 0, 7 до 0, 95;

- значение 2< t< 3, свидетельствует о весьма значимой связи (доверительная вероятность от 0, 95 до 0, 99);

- t> 3 есть практически стопроцентное свидетельство ее наличия.

Сформулированными правилами можно надежно пользоваться при n³ 10.

При большом размере выборки повторяющиеся пары наблюдений группируются в виде корреляционной таблицы. Если n_yx–количество наблюдений одинаковых пар (х, у), то для вычисления коэффициента корреляции в формуле (1.1) необходимо брать =å n_yxx_iy_i/n.

Для оценки тесноты любой корреляционной связи вводится корреляционное отношение Y к Х как отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y:

h_yx= /s_y. (1.9)

Здесь

s_y= ,

где n – объем выборки (сумма всех частот); n_x – частота значения х признака Х; n_y – частота значения у признака Y; – общая средняя признака Y; – условная средняя признака Y.

Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками, однако, оно не задает вида этой связи и не позволяет судить о степени близости наблюдений к какой-либо кривой.

Пример 1.2. Пусть имеется распределение 50 га пахотной земли по количеству внесенных удобрений х (ц на 1 га) и по урожайности у (ц с 1 га), приведенное в табл. 1.2. В этой таблице, например, число 4, стоящее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, показывает, что на 4 га из 50 было внесено по 10 ц удобрений и при этом получена урожайность по 15 ц с га. Найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х, коэффициент корреляции и корреляционное отношение по данным корреляционной табл. 1.2.

 

Таблица 1.2

у	х
			ny
		–
nх				n =50
ух

Вычислим сначала все средние и дисперсии:

у=(38× 15+12× 25)/50=17.4,

х=(10× 10+28× 20+12× 30)/50=20.4,

=(10× 100+28× 400+12× 900)/50=460,

ху=(4× 10× 15+28× 20× 15+6× 30× 15+6× 10× 25+6× 30× 25)/50=354,

s_х = Ö – ( )² =Ö 460 – 20.4² =Ö 43.84=6.62,

s_y =Ö (38× (15 – 17.4)² +12× (25 – 17.4)²)/50=4.27,

s_Yx =Ö (10× (21 – 17.4)²+28× (15 – 17.4)²+12× (20 – 17.4)²)/50=Ö 7.44=2.73.

Тогда коэффициент корреляции из (1.2)

r_yx =(354 – 20.4× 17.4)/(6.62× 4.27)= – 0.034,

коэффициент регрессии из (1.5)

r_yx = –0.034× 4.27/6.62= –0.022,

уравнение прямой регрессии имеет вид

у_х – 17.4= –0.022(х – 20.4) или у_х = –0.022х + 17.85

и корреляционное отношение из (1.9)

h_yx=2.73/4.27=0.64.

Из вычисленных показателей можно сделать следующий вывод:

Линейной связи между признаками нет, но какая-то связь есть, причем весьма существенная. Диаграмма рассеяния и прямая линия регрессии построены на рис.1.1. (В кружках проставлены n_yx).

 

25

у_х = -0.022х+17.85

 

10 20 30

Рис.1.1. Диаграмма рассеяния (пример 1.2).

1.7. Практический блок

Примеры

1. Построить линейную регрессию, график, определить коэффициент корреляции, найти стандартные ошибки регрессии, интерпретировать уравнение регрессии и коэффициент корреляции.

А)

x	1351.8	1369.4	1479.2	1682.6	1799.1	1924.6	2046.1
y	117, 8	122, 4	125, 4	129, 1	134, 2	138, 3	141, 0

Здесь х –личные доходы;

y – текущие траты на отдых среднестатистической семьи с 2006 по 2012 г.

Оценить регрессию y=ax+b.

 

Рассчитать коэффициенты aиb по формулам (2.5).

 

Ответ:

y=78, 97+0.03x

 

Найти коэффициент корреляции по формуле (1.2):

r_xy=0.986

 

Построим график:

Получили, что с каждого рубля семья в период 2006-2012 г. использовала 3 копейки на текущие траты на отдых.

 

Б)

x	1351.8	1369.4	1479.2	1682.6	1799.1	1924.6	2046.1
y	164, 4	173, 8	181, 4	243, 3	337, 8	376, 5	356, 7

Здесь х –личные доходы;

y – текущие траты на бензин среднестатистической семьи с 2006 по 2012 г.

 

Оценим регрессию y=ax+b.

 

Рассчитайте коэффициенты aиb по формулам (2.5).

 

Ответ:

y=–281, 8+0.33x

Находим коэффициент корреляции по формуле (1.2):

r_xy=0.962

Построим график:

Получили, что с каждого рубля семья в период 2006-2012 г. использовала 33 копейки на текущие траты на бензин.

 

2. Вычислить коэффициенты регрессии общей суммы налогового сбора (переменная y ) на сумму поступлений налога на добавленную стоимость (х) данным:

Время наблюдения	y, млрд. руб.	x, млрд. руб.	xi2	yi2	xiyi
январь	38, 9	13, 4	179, 56	1513, 21	521, 26
февраль	45, 3	15, 4	237, 16	2052, 09	697, 62
март	61, 1	16, 7	278, 89	3733, 21	1020, 37
апрель	70, 4	16, 2	262, 44	4956, 16	1140, 48
май	63, 8	13, 0		4070, 44	829, 4
июнь	67, 7	15, 0		4583, 29	1015, 5
июль	70, 6	20, 8	432, 64	4984, 36	1468, 48
август	78, 9	16, 4	268, 96	6225, 21	1293, 96
сентябрь	73, 2	17, 4	302, 76	5358, 24	1273, 68
октябрь	78, 1	23, 6	556, 96	6099, 61	1843, 16
ноябрь	103, 0	23, 9	571, 21		2461, 7
декабрь	133, 4	34, 4	1183, 36	17795, 56	4588, 96
Σ	884, 4	226, 1	4667, 94	71980, 4	18154, 6

 

График уравнения регрессии y на x выглядит следующим образом:

 

 

 

3. у= b +ахb и а -?

№	Y	Х	X2	XY
	-0, 71	-3		2, 13
	-0, 1	-2		0, 02
	0, 51	-1		-0, 51
	0, 82
	0, 88			0, 88
	0, 81			1, 62
	0, 49			1, 47
Сум å	2, 79			5, 61

Оценим регрессию y=ax+b.

 

Рассчитайте коэффициенты aиb по формулам (1.4).

Ответ:

 

y= 0, 40+0, 20x– уравнение линейной регрессии

 

4. х– мощность пласта, у– смена добычи угля.

 

№	Y	Х	X2	XY
Сум å

 

a = 10*664-94*68 = 1.02

10*908-(94)²

 

b = 68-(-2, 75)*94 = –2.75

Уравнение регрессии

y= 1, 02x–2, 75.

 

Коэффициент корреляции

R= n*å xy–å xå y = 10*664 –94*68 =0.866

Ö (n*å x²– (x)²)(n*å y²– (å y)²) Ö (10*908– (94)²)(10*496– (68)²)

 

Связь между Х и Y ближе к линейной.

Коэффициент детерминации R²½ R½ £ 1

Þ 0.866² = 0.749 Þ на 74, 9% смена добычи угля зависит от мощности пласта и 25, 1% от других факторов.

Контрольные вопросы:

1. Что такое парная регрессия?

2. Какую форму принимает система нормальных уравнений, когда применяется метод наименьших квадратов при построении линейной регрессии?

3. Какая формула служит для вычисления коэффициента парной линейной корреляции?

4. Как вычисляется индекс корреляции?

5. Что показывает и как вычисляется индекс детерминации?

6. Как осуществляется проверка значимости регрессии и ее отдельных коэффициентов?

7. Опишите построение доверительного интервала прогноза при линейной регрессии?

8. В чем сущность метода наименьших квадратов (МНК)?

9. Сформулируйте общую задачу статистической оценки параметров на примере оценки параметров линейной регрессии.

10. Сформулируйте свойства несмещенности, состоятельности и эффективности оценок параметров. Обладают ли этими свойствами оценки параметров линейной регрессии, полученные с помощью МНК?

11. В чем различие, смысловое и количественное, теоретических значений коэффициентов регрессии и их выборочных значений?

12. Какие факторы влияют на величину стандартных ошибок выборочных коэффициентов регрессии?

13. Как связаны выборочные коэффициенты регрессии с коэффициентом корреляции величин х и у?

14. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

15. Как можно оценить «естественный» уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

16. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

Задания и задачи

1. Имеются следующие ряды оценок по тестам чтения и арифметики:

Чтение 43 58 45 53 37 58 55 61 46 64 46 62 60 56

Арифметика 32 25 28 30 22 25 22 20 20 30 21 28 34 28

Вычислите коэффициент корреляции.

2. Известны данные по числу преступлений на 100 тысяч человек, тыс. (y) в зависимости от среднедушевого дохода, тыс.руб. (x) по 10 регионам России. Построить линейную модель.

y	4, 62	2, 87	3, 55	2, 34	2, 30	1, 92	1, 85	1, 30	2, 39	1, 38
x	4, 9	6, 5	6, 9	7, 2	7, 6	8, 8	9, 5	11, 2	15, 6	17, 4

3. Дана зависимость зарплаты y, руб./мес. от стажа x, лет на некотором предприятии. Построить линейную модель.

зарплата	стаж
4 949
9 094
9 167
11 836
9 683
9 927
11 970
10 607
5 747
15 327
9 844
4 953
6 152
9 109
1 6235
2 621
13 702
5 771
15 416
12 035

4. Известна доля владельцев персональных компьютеров в зависимости от среднедушевого дохода ; объем выборки .

Логистическая модель:

Þ

Построить линейную зависимость z от х.

x	p
	0, 20	-1, 386
	0, 10	-2, 197
	0, 20	-1, 386
	0, 30	-0, 847
	0, 20	-1, 386
	0, 60	0, 405
	0, 40	-0, 405
	0, 80	1, 386
	0, 50
	0, 60	0, 405
	0, 60	0, 405
	0, 80	1, 386
	0, 70	0, 847
	0, 80	1, 386
	0, 80	1, 386
	0, 90	2, 197
	0, 70	0, 847
	0, 80	1, 386
	0, 90	2, 197
	0, 90	2, 197

 

Тесты

1. Равный нулю коэффициент корреляции означает, что между факторами:

а) отсутствует линейная связь;

б) линейная связь существует;

в) неопределенная ситуация.

 

2. Равный –1коэффициент корреляции означает, что между факторами:

а) отсутствует линейная связь;

б) линейная связь существует;

в) функциональная зависимость;

г) ситуация не определенна.

 

3. Коэффициент регрессии показывает:

а) на сколько единиц увеличится или уменьшится в среднем y, если x увеличить на единицу;

б) долю дисперсии некоторой случайной величины, вызванную вариацией другой;

в) на сколько % увеличится или уменьшится в среднем y, если x увеличится на 1 %.

 

4. Коэффициент регрессии изменяется в пределах:

а) от –1 до 1;

б) от 0 до 1;

в) принимает любое значение.

 

5. В двумерной модели для вывода о независимости признаков х и y в генеральной совокупности достаточно проверить значимость:

а) только коэффициента корреляции;

б) коэффициента корреляции и регрессии;

в) коэффициента корреляции, детерминации и регрессии.

 

6. Если коэффициент корреляции положителен, то в линейной модели

a) с ростом х уменьшается у,

б) с ростом х увеличивается у,

в) с уменьшением х растёт у.

 

7.Если коэффициент корреляции отрицателен, то в линейной модели

a) с ростом х уменьшается у,

б) с ростом х увеличивается у,

в) с уменьшением х уменьшается у.

 

8.В модели парной регрессии у = 4 + 2х изменение х на 2 единицы вызывает изменение у на __ единиц

а) 2,

б) 4,

в) 6.

 

9. В парном регрессионном анализе коэффициент детерминации R² равен

а) ,

б) ,

в) .

 

1.8. Самостоятельная работа студентов

Литература для самостоятельной работы

1. Новиков, А. И. Эконометрика: учеб. пособие: Дашков и К, 2013, -224 с.

2. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: Учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко.-М.: ЮНИТИ, 2012. -310с.

3. Бывшев, В. А. Эконометрика: учеб. пособие / В. А. Бывшев. -М.: Финансы и статистика, 2009. -477с.

4. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144 с.

5. Доугерти Кр. Введение в эконометрику/ Пер. с англ. – М.: МГУ; ИНФРА-М, 2003.

 

INTERNET-ресурсы

1. http: //upereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/top1/tsld006.htm

2. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

3. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm

4. http: //www.statsoft.ru/home/textbook/def ault.htm

5. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

6. http: //www.dataforce.net/~antl/article/econometric

7. http: //www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

8. http: //www.tvp.ru/vnizd/mathem4.htm

9. http: //www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/textbook/modules/stmulreg.html

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Аджиевская интерпретация (с. 50)
2. АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
3. Анализ и интерпретация данных экспериментально-психологического исследования
4. Анализ и интерпретация полученных результатов
5. Анализ результатов исследования и их интерпретация
6. Анализ эмпирического материала и интерпретация результатов
7. Безработица: измерение, формы, естественный уровень. Закон Оукена. Регулирование уровня безработицы
8. Безработица: сущность, виды, измерение и издержки
9. Безработица: типы, измерение, социально-экономические последствия
10. Виды распределений непрерывной случайной величины.
11. Виды силы, измерение показателей силы
12. Гамма-распределение непрерывной случайной величины и его разновидность - распределение Пуассона непрерывной случайной величины.