Тема 2.1. Определенный интеграл

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Пусть на отрезке [a, b] задана функция , и отрезок разбит на n элементарных отрезков точками x₀, x₁, …, x_n: a= x₀ < x₁ < …< x_n=b, Dx=x_i-x _i-1/

Определенным интегралом от функции не отрезке [a, b] называется предел интегральной функции при Dx®0, а функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b – его верхним пределом.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в следующем. Если функция неотрицательна на отрезке [a, b], где a< b, то численно равен площади под кривой на [a, b]. Для нахождения определенного интеграла пользуются формулой Ньютона-Лейбница:

, (1)

где F(a) и F(b) первообразные для f(x) в точках a и b. Первообразной функцией для функции на промежутке Х называется функция F(x), если в каждой точке x этого промежутка .

Однако применение формулы Ньютона-Лейбница на практике связано с трудностями, поэтому используют численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла. Рассмотрим два метода:

- метод прямоугольников – как суммы элементарных прямоугольников

- (2)

Суть метода прямоугольников в том, что на каждом из участков разбиения [x_i_-1, x_i] участок кривой заменяется отрезком прямой, параллельным оси абсцисс. Тогда определенный интеграл приближенно равен сумме площадей прямоугольников на каждом участке разбиения.

- метод трапеций – как суммы элементарных трапеций

- (3)

метод трапеций является более точным, т.к. каждый участок кривой заменяется не прямыми, а хордами, стягивающими концевые точки. Тогда каждое слагаемой интегральной суммы будет равно площади трапеции с основаниями f(x_i) и f(x_i_-1) и высотой Dх.

Пример. Методом прямоугольника и методом трапеции найти с шагом Dх=0, 1. Заметом, что этот интеграл легко вычислить аналитически:

Решение1.

На листе Excel составляем таблицу данных. Заполняем значение аргумента (в ячейки А1: А32) и значение функции ( ) (в ячейки В1: В32) (см. Декартова система координат, Пример 1).

Введем слово интеграл в ячейку А33 и в соседней ячейке формулы =0, 1*, затем вызываем Мастер функций и в категории Математические выбираем функцию СУММ. Нажимаем ОК. В диалоговое окно Мастера функции вводим диапазон суммирования – значения функции (В2: В32). В ячейке В33 появляется приближенное значение интеграла (9, 455).

Ошибка в методе прямоугольников составила 0, 455.

Решение 2.

Используем метод трапеции. Для этого в ячейку А34 введем слово интеграл 2. В соседнюю ячейку вводим формулу =0, 1*((В2+В32)/2+ ) затем вызываем функцию СУММ. Нажимаем ОК. В диалоговое окно Мастера функции вводим диапазон суммирования – значения функции (В3: В31). В ячейке В34 появляется значение =9, 005. В данном случае ошибка метода составляет 0, 005, что вполне приемлемо.

Упражнения.

Найти при помощи метода прямоугольника и трапеции определенные интегралы:

с шагом Dх=0, 1.
с шагом Dх=0, 1.
с шагом Dх=0, 1.

Раздел 3. Задачи оптимизации.

Очень широкий класс задач составляют задачи оптимизации. Наиболее типовыми задачами оптимизации являются следующие: решение уравнения с одним неизвестным, задачи линейного программирования и аппроксимация функции.

Тема 3.1 Решение уравнения с одним неизвестным

Одним из приложений задач оптимизации является численное решение уравнения вида f(x)=0. Для решения подобных уравнений в программе Excel; используется удобный и простой инструмент Подбор параметров. Процесс решения распадается на два этапа:

Задание на рабочем листе ячейки, содержащей переменную решаемого уравнения (влияющую ячейку), и ячейки, содержащей формулу уравнения ( зависящей или целевой ячейки).
Ввод адресов влияющей и целевой ячеек в диалоговом окне Подбор параметра и получение ответа (или сообщение и его отсутствии).

Пример 1. Найти решение уравнения lnx=0.

Решение.

Этап 1.

В ячейку А1 вводим – корень, в ячейку В1 – функция.
В ячейку А2 вводим ориентировочное значение корня, например, 3.
Заносим в ячейку В2 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку А2. В ячейке В2 появляется число 1, 098612.

Этап 2.

1. Вызываем процедуру Подбор параметров (Сервис – Подбор параметра).

2. В поле Установить в ячейке мышью указываем В2, в поле Значение с клавиатуры задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки мышью указываем А2 (см. рис).

3. Щелкаем на кнопке ОК и получаем результат подбора, отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на ОК, чтобы сохранить полученные значения ячеек, участвовавших в операции. При этом существует погрешность решения (вместо 0 в правой части уравнения получаем -0, 00013).

Пример 2. Найти решение уравнения .

Решение. Уравнение имеет два корня. Решение начинаем с нахождения первого корня.

В ячейку А4 вводим заголовок корни, в ячейку В4 – функция.
В ячейку А5 вводим ориентировочное значение корня, например, 3.
Заносим в ячейку В5 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку А5.
Производим подбор параметров. В результате получаем значение первого корня х1=2, 000019, значение функции при этом получаем 1, 94Е-05 (0, 000019).
Повторяем расчет для второго корня. Для этого в ячейку А6 вводим значение -3, в ячейку В6 копируем формулу функции. Производим подбор параметров. Значение второго корня х2=0, 99960.

Упражнения.

Решить уравнение cos(x)=0 в диапазоне хÎ [0; 2].
Решить уравнение
Решить уравнение

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒