Свойства алгебраических операций

Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно отно­сительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объедине­ние и пересечение множеств.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозна­чать символами: * (читается - «звездочка») и ^о (читается - «кружок»).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство

(x*y)*z=x*(y*z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых на­туральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. По­этому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х - у) - z ≠ х - (у - z). Например, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3).

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пере­ставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называ­ется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из мно­жества X выполняется равенство

х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен­ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х - у ≠ у - х. На­пример, 12-7≠ 7-12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и ^о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическая операция ^о называется дистрибу­тивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

1) (х*y)^оz = (x ^o z)*(y ^o z) и 2) z ^o (х*у) = (z ^o х)*(z ^о у).

Если выполняется только равенство 1), то операцию ^о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет­ся только равенство 2), то операцию ^о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: воз­ведение в степень (она соответствует операции ^о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х· у)^z - = х^z-у^z. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натураль­ных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получа­ем х ^уz = х^у-х^z. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. опера­ция возведения в степень не является дистрибутивной слева отно­сительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень - операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как из­вестно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для лю­бых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства

(x+y)· z + x· z + y· z и z· (x+y) = z· x + z· y

А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z - справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях вы­ражений. Если операция ^о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на при­мере преобразования выражения (x + у)· (z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то

(x + у)· (z + р)= x· (z + р) + у· (z + р)= (x· z + x· р) + (у· z + y· р).

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно за­писать без скобок. Следовательно, (x + у)· (z + р)= )=x· z + x· р +у· z + y· р.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре ней­тральными и поглощающими.

Определение. Элемент е из множества X называется нейтраль­ным относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Определение. Элемент р из множества X называется поглощаю­щим относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической опера­ции существует, то он единственный.

Так, в множестве Z_о целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества Z_о выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умноже­ния: для любого x из множества Z_о верны равенства: х· 0 = 0· х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сло­жению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.

Определение. Пусть * - сократимая и коммутативная алгебраи­ческая операция, заданная на множестве X. Тогда операция ^о назы­вается обратной для операции *, если х ^о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.

Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х - у тогда и только тогда, когда у + z = х.

Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество Z_о целых неотрицательных чисел, которое являет­ся объединением множества натуральных чисел и нуля: Z_о = N U{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сло­жения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру ( Z_о, +, •). Ее основ­ные характеристики:

1) Сложение и умножение на множестве Z_о ассоциативно и комму­тативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:

(V х, у? Z_о ) х + у = у + х;

(V х, у? Z_о ) х· у = у· х;

(V х, у, z? Z_о ) (х + у) + z = х + (у + z);

(V х, у, z? Z_о ) (х· у)· z = х· (у· z);

(V х, у, z? Z_о ) (х +у)· z = х· z +у· z.

2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произ­ведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х, у и а справедливы утверждения:

х + а= у + а => х = у

х· а = у· а => х = у.

3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:

(V х? Z_о ) х + 0 = 0 + х = x:;

(V х? Z_о ) х· 0 = 0· x = 0.

Единица является нейтральным элементом относительно умножения:

(V х, у? Z_о ) х •1 = 1•x = x.

4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в Z_о частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умно­жению (исключая деление на нуль):

x-у = z ó у + z = x

х: у~2 ó у-z = х.

5) Вычитание и деление обладают свойствами:

(a-c)+b, если а≥ с

(а+b) – c= a+(b-c), если b≥ c

а - (b + с) = (а - b) - с = (a - с) - b, если a ≥ b + с;

(a+b): c = a: c+b: c, если a: c и b: c;

(a: c)· b, если а: с

(а· b): c= a· (b: c), если b: c

а: (b-с) = (а: b): с= (а: с): b, если a: b и a: c

Названные характеристики алгебры ( Z_о, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.

Упражнения

1. Запишите, используя символы, что сложение и умножение ком­мутативно и ассоциативно на множестве Q рациональных чисел, а умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

2. Коммутативны ли следующие алгебраические операции:

а) возведение в степень на множестве N;

6) деление на множестве Q;

в) нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел?

3. Сократимо ли вычитание и деление на множестве Q рациональных чисел?

4. Какое множество является поглощающим элементом относительно пересечения множеств? Ответ обоснуйте.

5. Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению.

6. Выясните, как формулируются свойства сложения и умножения в различных учебниках по математике для начальной школы.

7. Запишите все свойства действий, характеризующих алгебру ( Z_о, +, •).

53. Основные выводы § 11

Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со сле­дующими понятиями:

- алгебраическая операция на множестве;

- множество, замкнутое относительно алгебраической операции;

- частичная алгебраическая операция;

- нейтральный элемент относительно алгебраической операции;

- поглощающий элемент относительно алгебраической операции;

- обратная операция.

Мы выяснили, что алгебраические операции могут обладать свой­ствами:

- коммутативности;

- ассоциативности;

- дистрибутивности (слева и справа);

- сократимости.

Установили, что в начальном курсе математики изучают алгебру ( Z_о, +, •).

Лекция 24. Выражения

План:

1. Понятие выражения

2. Тождественные преобразования выражений

 

§ 12. ВЫРАЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА

Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначальное зна­комство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, - это уточнить и углубить знания о вы­ражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и число­вых неравенствах, уравнениях и неравенствах.

Изучение данных понятий связано с использованием математиче­ского языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он будет представлен частично в связи с необходимостью больше внимания уде­лить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:

1) цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;

2) знаки операций +, -, •, : ;

3) знаки отношений <, >, =, : ;

4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обозначения чисел;

5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.

Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения - числовые равенст­ва, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.

54. Выражения и их тождественные преобразования

Как известно, записи 3 + 7, 24: 8, 3•2-4, (25 + 3)- •2- 17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, полу­чим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3•2-4 равно 2.

Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.

Рассмотрим запись 2a + 3. Она образована из чисел, знаков дейст­вий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если a = 7, то 2•7 + 3;

если a = 0, то 2•0 + 3;

если а = -4, то 2• (-4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной.

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строч­ной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначе­ния переменной кроме букв используются другие знаки, например ¨. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2- ¨ + 3.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5: (х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х =• 1 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, 2а + 3 - это выражение с одной пере­менной, а (Зх + 8y)· z - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения,

Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если про­вести аналогию с русским языком, то выражения - это слова матема­тического языка.

Но используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - · 12 или 3х -у: +)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения число­вые и с переменными, не является определением этих понятий. Да­дим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).

Определение. Если f и g - числовые выражения, то (f) + (g), (f)-(g), (f) · (g), (f): (g) - числовые выражения. Считают, что каждое чис­ло является числовым выражением.

Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6): (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений скла­дываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо. Например, пишут так: 37-12 + 62-17 + 13 или 120: 15· 7: 12.

Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12· 4: 3) + (5· 8: 2· 7) записывают так: 12· 4: 3 + 5· 8: 2· 7.

Задача. Найти значение выражения 3х(х- 2) + 4(х-2) при х = 6.

Решение.

1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выра­жение: 3· 6· (6 - 2) + 4· (6 - 2). Чтобы найти значение полученного чи­слового выражения, выполним все указанные действия:

3· 6· (6-2) + 4· (6-2) = 18· 4 + 4· 4 = 72 + 16 = 88.

Следовательно, при x = 6 значение выражения 3х(х-2) + 4(х-2) равно 88.

2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: 3х(х - 2) + 4(х - 2) = (х - 2)(3х + 4). И затем, подста­вив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия: (6- 2)· (3· 6 + 4) = 4· (18 + 4) = 4· 22 = 88.

 

Тождественные преобразования выражений

Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Напри­мер, выражение 18· 4 + 4· 4 заменяли выражением 72+16, а выраже­ние 3х(х-2) + 4(х-2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти заме­ны привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выра­жений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выра­жения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных зна­чениях д: их значения равны.

Если два тождественно равных на некотором множестве выраже­ния соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Например, 5(х + 2) = 5х + 10-тождество на множестве действи­тельных чисел, потому что для всех действительных чисел значе­ния выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначе­ние квантора общности, это тождество можно записать так: (V х? R ) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые ра­венства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некото­ром множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему вы­ражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование пер­вого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо перемен­ных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, кото­рыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразо­вания выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгеб­раических операций.

Приведем пример тождественных преобразований выражения.

Упражнения

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:

а) 42: 5; б) 27; в) 32+-): 14; г) 2· 7 = 7· 2;

д) (17+13): 10-15; е)142> 71· 2.

2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматри­вать их на множестве натуральных чисел:

а) (135 + 67)· 12; б)(135-217): 2; в) 362: 4?

3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:

а)8 + 0, 3b; б)21-(4+y); в) x+2y< 7; г) 32: у + 3 = 5у?

4. Установите, какова область определения выражений, если рас­сматривать их на множестве действительных чисел:

а) (3-y): 64; б) 64: (3-у); в) (5+x): (x-12).

5. Известно, что выражение называется по своему последнему дейст­вию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:

Выражение	Название выражения
(12· 5 + 3: (2 + 7))· 18
(23-	(23 -7· 6-4+ 15): (17-6)
21 +	21 + (35· 3: 8-14: 5)
19-	19-8: 4 + 5

6. Вычислите значение выражения:

а) ((36: 2-14)· (42· 2-14)+ 20): 2;

б)(72: 12-(18-15)): (24: 3-2· 4);

в) (16, 583: 7, 21 + 54, 68· 853, 2 + 28, 82· 0, 1): 1, 6-1, 02.

7. Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 – 3x тождественно равными на множестве:

а) {1, 2, 3, 4}; б) действительных чисел.

8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множе­стве действительных чисел:

а)3p + 5т = 5т + 3р; в) Зр· 5т = 5т· 3р;

б) 3p - 5т = 5т - 3р; г) 3p: 5т = 5т: 3р?

9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:

а) 324· 5 =(300 + 20 + 4)· 5 = 300· 5 + 20· 5 + 4· 5 = 500+100 + 20=1500+120=1620;

6)97· 12 =(100-3)· 12= 100· 12-3· 12=1200-36 = 1100 + (100-36) = 1164;

в) 5(1-2х)+10x = 5-10x+ 10x = 5.

10. Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение» на множестве числовых выражений является отношением эквивалент­ности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?

11. Упростите выражение путем тождественных преобразований:

а)6(2аb-3)+2a(6b-5); б)(12a-16b): 4-(10a-4b).

12. Сравните значения выражений, не выполняя действий:

а)(30+56)· 5 и 30· 5 + 56· 5;

б)(19+4)· 7 и 19· 7+10· 7;

в)(14-7)· 6 и 16· 6-7· 6;

г)(18-9)· 7 и 18· 7-11· 7.

13. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:

а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разби­лись на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?

б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будет шить в день на 50 фартуков больше?

в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

⇐ Предыдущая17181920212223242526Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Активно-пассивные операции: специфика комиссионных и доверительных (трастовых) операций банков
2. Анализ основных финансовых операций.
3. Анализ эффективности лизинговых операций.
4. АУДИТ РАСЧЁТНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ПОКУПАТЕЛЯМИ И ЗАКАЗЧИКАМИ.
5. Валютный контроль импортных операций
6. Виды операций коммерческого банка с ценными бумагами
7. Внеочередное исполнение операций, функциональные устройства
8. Выполнение операций AND, OR, XOR и NOT
9. ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ ЧТЕНИЯ И ЗАПИСИ
10. Глава II. «Психология мышления» и психологическая природа логических операций
11. Глава восьмая. Развитие арифметических операций
12. Глава четвертая. Анализ знаковых операций ребенка