Матрицы. Действия над матрицами.

Основные определения

Прямоугольная таблица чисел

, (8)

содержащая m строк и п столбцов, называется матрицей размера m× n. Числа а_ij (i=1, 2, …, mj=1, …, п) называется элементами матрицы. Вместо записи (8) часто употребляют сокращенную форму записи матрицы:

а_ij (i=1, 2, …, mj=1, …, п).

Если m=n, то матрицу называют квадратной порядка п, если m≠ n – то прямоугольной. В частности, матрицу размера 1× п называют строкой, а m× 1 – столбцом.

В дальнейшем матрицы будут обозначаться заглавными буквами А, В и т.д.

Матрицы одинакового размера считаются равными, если они имеют равные соответствующие элементы. Пусть А=(а_ij), В = (b_ij), тогда А = В, если а_ij = b_ij для всех i и j.

Квадратная матрица называется диагональной, если она имеет вид:

В частности, при а_ij =1 (i=1, 2, …, п) такая матрица называется единичной и обозначается посредством Е.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через О.

Квадратная матрица называется невырожденной, если соответствующий ей определитель отличен от нуля, и вырожденный – в противном случае.

Для определителя квадратной матрицы А примем обозначение

Действия с матрицами

1. Сложение матриц. Эту операцию будем производить только с матрицами одинаковых размеров. Суммой двух матриц А = (а_ij) и В = (b_ij) называется матрица С = (с_ij), элементы которой образуются по формуле с_ij= = а_ij+b_ij.

Пример

Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:

А+В = В+А; А+(В+С) = (А+В)+С; А+О = А.

Разностью двух матриц А и В называется такая матрица С, что В+С = А. Матрица С обозначается А-В. Очевидно, что соответствующие элементы матриц А, В, С связаны зависимостью: с_ij = а_ij- b_ij.

2. Умножение матриц на число. Произведение матриц А на число называется матрица , элементы которой получаются умножением всех элементов исходной матрицы на число .

Из определения умножения матрицы на число и сложения матриц непосредственно вытекает следующие свойства этих операций:

1·А=А, 0 ·А=О, ,

3. Умножение матриц. Произведение А·В матрица А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Пусть даны две матрицы:

произведением А·В называется матрица С, элементы которой С_ij образуются по правилу умножения i-той строки первой матрицы на j-й столбец второй:

При этом матрица С будет иметь размеры m× p.

Пример 3. Перемножить матрицы А и В:

Заметим, что произведение В·А в этом случае не определено. Значит, на вопрос о справедливости равенства А·В=В·А для прямоугольных матриц дается отрицательный ответ, так как одна из частей этого равенства не определена.

Рассмотрим этот же вопрос для квадратных матриц одинакового размера. Теперь определены оба произведения А·В и В·А.. Проверим, что и в этом случае, вообще говоря, А·В ≠ В·А. Пусть

Итак, А·В ≠ В·А.

В частных случаях, когда окажется А·В = В·А, матрицы А и В называются перестановочными, или коммутативными.

Проверьте сами, что для любой матрицы А и единичной матрицы Е согласованных порядков имеет место равенство

А·Е = Е ·А =А. (9)

В этом смысле единичная матрица играет роль единицы при умножении матриц. Можно проверить, что введенное нами произведение матриц обладает следующими свойствами:

Определитель произведения квадратных матриц А и В равен произведению определителей этих матриц, то есть .

Ранг матрицы

Пусть дана произвольная матрица размеров

Ранг матрицы есть максимальное число ее линейно независимых строк. Ранг системы строк матрицы совпадает с рангом системы ее столбцов.

Часто употребляется другое определение ранга матрицы. Вычеркиваем из матрицы некоторые строки и столбцы так, чтобы оставшиеся элементы образовали квадратную таблицу размера к× к: соответствующий этой таблице определитель к-го порядка назовем минором нашей матрицы, а число к – порядком нашего минора. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А (сами элементы отнесем к минорам первого порядка); среди этих миноров будут миноры как равные, так и не равные нулю. Рангом матрицы называется наибольший порядок минора, отличного от нуля.

Можно доказать, что оба определения ранга матрицы эквивалентны. Далее мы будем использовать первое определение.

Понятие ранга матрицы является одним из важнейших понятий, поэтому необходимо уметь находить его. Вычисление ранга мы будем осуществлять при помощи так называемых элементарных преобразований матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

1) перестановка двух любых ее строк;

2) умножение некоторой строки на число, не равное нулю;

3) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на любое число;

4) отбрасывание строки, состоящей из одних нулей;

5) аналогичные преобразования со столбцами.

Теорема 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Переходим к вычислению ранга любой ненулевой матрицы. Для этого при помощи элементарных преобразований приведем матрицу А к так называемой ступенчатой форме:

в которой все «диагональные» элементы b_ii (i=1, 2, …, r) отличны от нуля, а все элементы, расположенные под «диагональю», равны нулю. Можно доказать, что ранг ступенчатой матрицы равен r, а значит, и ранг матрицы А также равен r.

Для ранга матрицы А принято обозначение r (А).

Пример 4. Найти r (А), если

Решение. Умножим первую строчку на 1, 3, 3 соответственно и вычтем из второй, третьей и четвертой строки; получим матрицу

Вторую строку этой матрицы умножим на 2, 1 и вычтем соответственно из третьей и четвертой строки; получим

Отбросим две последних строки; получим

Значит, ранг первоначальной матрицы равен 2.

Обратная матрица

Как известно, обратное число b к данному числу а обладает свойством: аb =bа = 1. Мы знаем, что для всех а≠ 0 такое число b является единственным и обозначается а^-1. По аналогии с понятием обратного числа в матричной алгебре вводится понятие обратной матрицы к данной.

Определение. Обратной матрицей к данной квадратной матрице А называется такая квадратная матрица А^-1, которая обладает следующим свойствами:

А·А^-1 = А^-1·А = Е. (10)

Сразу отметим, что вырожденная матрица не может иметь обратную. Действительно, в противном случае из равенства (10) мы имели бы

но а , потому 0=1, что невозможно.

Теорема 2. Любая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Сформулируем один из способов нахождения обратной матрицы:

1) для данной квадратной матрицы А находим ее определитель и убеждаемся, что он отличен от нуля, т.е. матрица невырожденная;

2) для каждого элемента а_ij матрицы А находим соответствующее алгебраическое дополнение А_ij;

3) составляем из алгебраических дополнений так называемую присоединенную матрицу:

(Обратите внимание, что алгебраические дополнения, соответствующие строкам исходной матрицы А, записываются столбцами присоединенной матрицы А^*);

4) получаем обратную матрицу А^-1 следующим образом:

Пример 5. Найти матрицу, обратную данной:

Решение. Определитель равен (-1). Значит, матрица невырожденная, и можно воспользоваться доказанной теоремой об обратной матрице. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

Составим присоединенную матрицу:

Разделив все элементы на -1, получим

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒