Методы обнаружения гетероскедастичности

Тест ранговой корреляции Спирмена

Предполагается, что дисперсии отклонений будут либо увеличиваться, либо уменьшатся с ростом значений X. Пусть n – число наблюдений. Значения переменной X и ранжируются (упорядочиваются по величине). Обозначим через d разность между рангами значений переменной X и ,

Коэффициент ранговой корреляции . (4.1)

Зададим доверительную вероятность p. . По таблицам находим граничную точку . Статистика (4.2)

Если , то на уровне значимости a принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности. Иначе гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. В модели содержащей несколько факторов, проверка гипотезы об отсутствии гетероскедастичности проводится с помощью t-статистики для каждого из них отдельно.

Тест Голдфельда-Квандта

Предполагается, что стандартное отклонение пропорционально значению x_i переменной X в этом наблюдении, т.е. . Также предполагается, что имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков. Все n наблюдений упорядочиваются по величине x. Эта упорядоченная выборка делится на три примерно равные части объемом k, n-2k и k соответственно. При n = 30 k = 11, при n = 60 k = 22.

Для каждой из выборок объема k оценивается свое уравнение регрессии и находятся суммы квадратов отклонений и соответственно.

Задается доверительная вероятность p. a = 1 – p. По F-таблицам находим граничную точку , где m – число факторов модели. Статистика .

Если , то на уровне значимости a принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности. Иначе гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Для множественной регрессии тест обычно проводится для того фактора, который в максимальной степени связан с s_i _.При этом выбирают k > m+1. Если нет уверенности относительно выбора фактора x_j, то данный тест можно осуществить для каждого фактора.

Смягчение проблемы гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов

Гетероскедастичность не позволяет получить эффективные оценки коэффициентов уравнения регрессии, что приводит к необоснованным выводам относительно качества этих оценок. Поэтому при обнаружении гетероскедастичности возникает необходимость каких-то преобразований модели в целях ее устранения. Вид преобразований зависит от того, знаем мы поведение дисперсий отклонений или нет.

Корректировка гетероскедастичности также является достаточно серьезной проблемой. Один из возможных методов устранения гетероскедастичности – это метод взвешенных наименьших квадратов (ВНК). Для его применения необходима определенная информация, либо обоснованные предположения о величине дисперсий отклонений .

Например, может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии отклонений e_i пропорциональны значениям x_i (рис.4.3.1, а) или значениям (рис. 4.3.1, б)

рис.4.3.1

Рассмотрим случай, когда дисперсии отклонений неизвестны и пропорциональны x_i, т.е. . Тогда уравнение преобразуется делением его левой и правой частей на :

где

В случае, когда неизвестны и пропорциональны , в уравнении линейной регрессии разделим обе части на .

Тогда

Обозначим

Тогда .

Для этого уравнения уже выполнено условие гомоскедастичности. Методом наименьших квадратов находим оценки коэффициентов и возвращаемся к исходному уравнению . В случае, когда число факторов m > 1, исходное уравнение делится на переменную, которая в максимальной степени связана с s_i.

Решение типовых задач

Задача 4.4.1

На примере задачи 2.6.1, где m=2 проверим гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в построенной модели по тесту Спирмена. Доверительная вероятность p = 95%.

Решение:

Заполним таблицу. Модули элементов четвертого столбца запишем в 5-й столбец. В 6-м, 7-м и 8-м столбцах ранжированы по возрастанию элементы 2-го, 3-го и 5-го столбцов соответственно. n = 10 наблюдений.

Коэффициент ранговой корреляции

= .

По таблицам находим граничную точку = = = 2, 365.

Статистика = .

Таким образом , то на уровне значимости a принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности по фактору X₁. В модели, содержащей несколько факторов, как уже было сказано, проверка гипотезы об отсутствии гетероскедастичности проводится с помощью t-статистики для каждого из них отдельно. Следовательно, определим наличие гетероскедастичности по фактору X₂.

Коэффициент ранговой корреляции

= .

По таблицам находим граничную точку = = = 2, 365.

Статистика = .

Таким образом , то на уровне значимости a принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности по фактору X₂.

Задача 4.4.2.

Рассматривается регрессионная линейная модель с m=2 факторами. n = 30 наблюдений. Для первых и последних k=11 наблюдений суммы квадратов отклонений S₁=20 и S₃=45 соответственно. С помощью теста Голдфельда-Квандта проверим гипотезу об отсутствии гетероскедастичности. Доверительная вероятность p = 95%.

Решение:

a = 1- p = 1 – 0, 95 = 0, 05. По F – таблицам Фишера находим граничную точку .

Статистика F = = < 3, 44.

Таким образом, на уровне значимости 5% принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности.

Упражнения и задачи

Задача 5.5.1

Рассматривается регрессионная линейная модель с m=2 факторами. n = 30 наблюдений. Для первых и последних k=11 наблюдений суммы квадратов отклонений S₁=18 и S₃=52 соответственно. С помощью теста Голдфельда-Квандта проверим гипотезу об отсутствии гетероскедастичности. Доверительная вероятность p = 99%.

Задача 5.5.2

В задаче 2.7.7 определить наличие гетероскедастичности в построенной модели.

Мультиколлинеарность

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒