Понятие автокорреляции. Методы ее обнаружения и устранения

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 14Следующая ⇒

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Методы обнаружения автокорреляции остатков.

1. Критерий Дарбина-Уотсона.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе чаще других проверяют выполнимость одной предпосылки, а именно, условия статистической независимости отклонений между собой. Поскольку значения ε _i теоретического уравнения регрессии Y = β ₀+ β ₁X + ε остаются неизвестными ввиду неопределенности истинных значений коэффициентов регрессии, то проверяется статистическая незначимость их оценок – отклонений е_i, i = 1, 2, …, n. При этом обычно проверяется их некоррелированность, являющаяся необходимым, но недостаточным условием независимости. Причем проверяется некоррелированность не любых, а только соседних величин е_i. Соседними обычно считаются соседние во времени (при рассмотрении временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной X (в случае перекрестной выборки) значения е_i. Для этих величин несложно рассчитать коэффициент корреляции, называемый в этом случае коэффициентом автокорреляции первого порядка,

(3.1)

При этом учитывается, что M(e_i) = 0, i = 1, 2, …, n.

На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно с ним связанную статистику Дарбина-Уотсона DW, рассчитываемую по формуле:

(3.2)

Действительно,

Здесь сделано допущение, что при больших n выполняется соотношение: .

Тогда

. (3.3)

Нетрудно заметить, что если при любом i, то и DW = 0. Если , то , и DW = 4. Во всех других случаях 0< DW< 4.

Согласно формуле 3.1 статистика Дарбина-Уотсона тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции :

(3.4)

Таким образом, и его значения могут указать на наличие либо отсутствие автокорреляции. Действительно, если (автокорреляция отсутствует), то . Если (положительная автокорреляция), то . Если (отрицательная автокорреляция), то .

Для более точного определения, какое значение DW свидетельствует об отсутствии автокорреляции, а какое о ее наличии, была построена таблица критических точек распределения Дарбина-Уотсона. По ней для заданного уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m определяются два значения: d_L – нижняя граница и d_U – верхняя граница.

Общая схема критерия Дарбина-Уотсона будет следующей:

1. По построенному эмпирическому уравнению регрессии определяются значения отклонений e_i для каждого наблюдения.

2. По формуле 3.2 рассчитывается статистика DW.

3. По таблице критических точек Дарбина-Уотсона определяются два числа d_L и d_U и осуществляют вывод по следующей схеме:

0 ≤ DW < d_L – существует положительная автокорреляция,

d_L ≤ DW < d_U – вывод о наличии автокорреляции не определен,

d_U ≤ DW < 4 – автокорреляция отсутствует,

4- d_U ≤ DW < 4-d_L – вывод о наличии автокорреляции не определен,

4-d_L ≤ DW ≤ 4 – существует отрицательная автокорреляция.

2. Метод рядов.

Этот метод достаточно прост: последовательно выписываются знаки отклонений e_i. Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Для более детального анализа предлагается следующая процедура. Пусть

n – объем выборки;

n₁ – общее количество знаков «+» при n наблюдениях (количество положительных отклонений e_i);

n₂ – общее количество знаков «-» при n наблюдениях (количество отрицательных отклонений e_i);

k – количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n₁ > 10, n₂ > 10) и отсутствии автокорреляции СВ k имеет асимптотически нормальное распределение с

; .

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

При небольшом числе наблюдений (n₁< 20, n₂< 20) Свед и Эйзенхарт разработали таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях. Суть таблиц в следующем. На пересечении строки n₁ и столбца n₂ определяется нижнее k₁ и верхнее k₂ значения при уровне значимости a = 0, 05.

Если k₁< k < k₂, то говорят об отсутствии автокорреляции.

Если k ≤ k₁, то говорят о положительной автокорреляции остатков.

Если k ≥ k₂, то говорят об отрицательной автокорреляции остатков.

Решение типовых задач

На примере задачи 2.6.1 рассмотрим обозначенные выше способы обнаружения автокорреляции остатков.

1. Критерий Дарбина-Уотсона.

Для расчета данной статистики необходимо рассчитать две суммы: и . Значения этих сумм можно получить используя расчетную таблицу (см. выше задача 2.6.1). В данном случае = 21343, 64, а = 15453, 08, следовательно:

По таблице критических точек Дарбина-Уотсона определяются два числа d_L и d_U и осуществляют вывод по следующей схеме:

В данном случае d_L = 0, 697, d_U = 1, 641. Обозначим, полученные значения на отрезке.

Так как статистика DW = 1, 381 попадает в область неопределенности, то нельзя с полной уверенностью сделать вывод о поведении отклонений e_i. Необходимо воспользоваться другим методом обнаружения автокорреляции остатков, например, методом рядов.

2. Метод рядов.

Последовательно определяются знаки отклонений e_i. В данном случае,

(+)(-----)(+++)(-),

n (объем выборки) = 10;

n₁ (общее количество знаков «+» при n наблюдениях) = 4;

n₂ (общее количество знаков «-» при n наблюдениях) = 6;

k (количество рядов) = 4.

По таблицам критических значений количества рядов для определения наличия автокорреляции по методу рядов на пересечении строки n₁ и столбца n₂ определяется нижнее k₁ и верхнее k₂ значения при уровне значимости a = 0, 05. В данном случае k₁ = 2, верхнее k₂ = 9. Следовательно, если k₁< k < k₂, то делаем вывод об отсутствии автокорреляции.

В случае обнаружения автокорреляции в модели, необходимо ее устранить одним из следующих методов:

1. авторегрессионная схема первого AR(1), второго порядка AR(2), третьего AR(3) порядка;

2. метод Кохрана-Оркатта;

3. метод Хилдрета-Лу

4. метод первых разностей.

Упражнения и задачи

Задача 3.2.1.

По данным задачи 2.7.7. (см. выше) определить наличие в модели автокорреляции остатков, используя статистику Дарбина-Уотсона и метод рядов.

Задача 3.2.2.

Определить наличие автокорреляции методом рядов и проверить ее присутствие с помощью статистики Дарбина-Уотсона.

e_i

8, 3

4, 26

-12, 46

-1, 86

-7, 38

5, 26

-9, 66

-2, 26

8, 34

7, 46

Гетероскедастичность

Суть гетероскедастичности

Одной из предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений (гомоскедастичность). Не должно быть априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую — при других. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью.

На практике гетероскедастичность не так уж и редка. Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов. Оценки, полученные по МНК, при наличии гетероскедастичности не будут эффективными (то есть они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Стандартные ошибки коэффициентов будут занижены. Поэтому статистики будут завышены, что может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, которые таковыми не являются. Доверительные интервалы теоретических коэффициентов уравнения линейной регрессии получаются уже, чем на самом деле.

Как выяснить наличие гетероскедастичности и смягчить ее по следствия?

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒