Теорема сложения вероятностей.

Основы геостатистики.

Лекция N 1.

Применение математических методов в геологии, вероятно, происходило еще многие сотни лет назад, по крайней мере, людям уже очень давно приходилось делать количественную оценку мест рудной минерализации, так как на планете известны места, из которых добывались полезные для людей минералы, еще в доисторическое время.

Однако первые серьезные опубликованные работы по применению математических методов в геологической практике относятся к началу 19 века. Ученый Чарльз Лайель, имея выборочные данные, произвел на основе количественного анализа соотношений различных видов ископаемых раковин стратиграфическое расчленение третичных отложений. В конце 19 века ученые Г.Ниггли и Ф.Ю.Левинсон-Лессинг по результатам математической обработки химических анализов и микроскопических исследований шлифов выделили типы магматических пород.

При поисках и разведке месторождений полезных ископаемых специалисты стали использовать математические методы с начала 20 века. Наибольший вклад в нашей стране в пропаганде использования математических методов при поисках, разведке и оценки месторождений полезных ископаемых внесли Зенков, В.Г.Соловьев, Н.К.Разумовский, Родионов, А.Б.Вистелиус, А.Аренс, Марголин, А.П.Калистов, А.М.Шурыгин, Рыжов, В.М.Гудков, А.Б.Каждан, О.И.Гуськов и другие исследователи.

Среди зарубежных исследователей можно отметить Д.Криге, Карлье, У.Крамбейна, Т.Лаудона и много других исследователей. Особенно нужно отметить работы Ж.Матерона и Д.Давида, разработавших методы оценки и подсчета запасов месторождений полезных ископаемых, которые сейчас внедрены во все современные программные продукты, используемые для трехмерного моделирования месторождений и подсчета запасов и так же фундаментальный труд Дж.С.Девиса, который в конце прошлого века в своей работе описал все математические методы, когда либо использованные в геологии.

Уже, начиная с 60-х годов 20 века, вычислительные машины стали широко применяться в университетах, научно-исследовательских организациях и производственных объединениях. Геологи стали значительно чаще прибегать к использованию математического анализа первичных данных, поставляемых из пунктов наблюдений, несмотря на то что, методы математического анализа были разработаны для других наук и не разу не использовались до этого в геологии. Однако разработанные геологами математические правила построения карт, геологических разрезов, графиков, правил оконтуривания скоплений ценных минералов привели к прогрессу также и в других науках.

Повсеместное внедрение математических методов в геологии стало возможных с конца 20 века, когда снизилась стоимость персональных компьютеров и компьютеры стали доступны практически для каждого геолога. Одновременно с начала 80-х годов 20 века частные компании стали выбрасывать на рынок значительное количество компьютерных программ, написанных нередко специально для решения конкретных задач в различных отраслях, в том числе и геологической отрасли. Сейчас уже создано большое количество таких программ, и многие геологи стремятся использовать эти программы для своей непосредственной работы. Однако чтобы эффективно использовать эти программы нужно хорошо понимать математические приемы и методы, алгоритмизированные в этих программных продуктах. Этот курс лекций посвящен разбору математических количественных методов анализа геологических данных, получаемых в результате поисков, разведки и эксплуатации месторождений полезных ископаемых.

Нередко многие ученые объединяют эти методы в одну науку, которую называют геоматематикой или геостатистикой. В широком смысле статистика это обобщение и наглядное представление эмпирических данных большого объема с возможностью легко сделать выводы из этого обобщения. Статистика позволяет распространить выводы, полученные по ограниченному числу наблюдений на весь изучаемый объект. Ограниченное число наблюдений мы будем называть – выборкой, а весь изучаемый объект – совокупностью. Эти определения основаны на предпосылке, что представление о каком-либо объекте, находящемся на определенной глубине в земной коре можно получить на основе отрывочной информации, получаемой в результате нашего изучения этого объекта по ограниченному количеству или естественных (например, обнажения горных пород) или искусственных (например, буровые скважины или горные выработки) точек наблюдения. Однако при решении этой задачи могут возникнуть разные ситуации, например, когда мы можем проверить наши предположения относительно формы изучаемого природного объекта и когда мы не при каких обстоятельствах этого сделать не можем. Например, когда мы изучаем положение некоторого стратиграфического горизонта на территории крупного сегмента земной коры, например, платформы, никто не будет бурить бесчисленное количество скважин, чтобы получить истинное представление о залегании этого стратиграфического горизонта в земной коре, как бы это важно не было для развития науки. Поэтому многие выдвигаемые геологами представления, гипотезы нельзя проверить. Тем не менее, при выдвижении и таких гипотез нередко геологи опираются на статистические процедуры, даже если не все формальные требования, которые необходимо соблюдать, были выполнены.

В других случаях очень часто за исследовательскими и поисково-разведочными работами происходит промышленное освоение выявленных месторождений ценных минералов. В этом случае геологи всегда, хотя и с определенной долей условности, могут проверить первоначальные гипотезы относительно формы выявленных объектов и их ценности, так как в результате эксплуатации получают истинное представление об этих объектах. Это не относится к природным процессам, создавшим эти объекты, так как часто эти процессы и после эксплуатации месторождения часто оказываются не понятыми исследователями. Имея истинные представления о форме и ценности объектов, геологи могут рассчитать какое необходимое количество пунктов наблюдения нужно создать, что бы изучив их получить правильное представление об подобных изучаемых природных объектах. К сожалению, особенно на первоначальных стадиях изучения месторождений, геологи берут пробы только там, где это возможно. Проходка горных выработок и бурение скважин может быть не оправдана, пока специалисты не убедятся, что они исследуют природные объекты, содержащие промышленные количества полезных компонентов. Поэтому часто геологи судят, в том числе и о крупных геологических объектах по достаточно ограниченному количеству данных, собранных в пунктах наблюдения и практически всегда этих данных бывает недостаточно для суждений, однако наблюдения геологов слишком важны для развития человеческой цивилизации, чтобы можно было бы их игнорировать. Таким образом, геологи сталкиваются с задачами, в которых они могут контролировать и планировать правильно эксперимент, например, когда они могут рассчитать (хотя бы методом аналогий), какое количество точек наблюдения необходимо иметь для получения достоверной информации об изучаемом объекте. И также геологи сталкиваются с задачами, при решении которых они не могут рассчитать количество точек наблюдения, необходимое для получения достоверной информации об объекте. При этом так называемом неконтролируемом эксперименте многие требования формальной статистики и сами статистические процедуры не работают, и нередко исследователь принимает решения, опираясь на свой опыт и везение.

Нередко свои гипотезы геологи оформляют в виде проекций: - разрезов земной коры, геологических карт, планов подземных горизонтов месторождений и в виде геолого-математических моделей изучаемых объектов. Геолого-математическими моделями можно назвать такие модели природных объектов, в которых отражены не только морфологические особенности строения объектов (форма, мощность, элементы залегания), но и отражены геологические и математические закономерности распределения ведущих признаков этих объектов, изучены их количественные взаимосвязи, установлены природные механизмы, процессы, создавшие изучаемые объекты.

Прежде чем начать излагать сам предмет, который мы назвали геоматематикой или геостатистикой, нужно иметь представление о природе систем чисел, в которых проводятся измерения в пунктах наблюдения. Что такое измерение? Измерение это присваивание некоторой изучаемой характеристике объекта ее величины. Существует четыре шкалы измерений: номинальная, порядковая, интервальная и относительная.

Номинальная шкала измерений основана на присваивании наблюдениям некоторых величин в виде чисел или обозначений, взаимно исключающих друг друга и классифицирующих наблюдения по одинаковым категориям, эти одинаковые категории могут обозначаться цветами, буквами алфавита или цифрами, при чем цифры в этом случае используются только как идентификаторы, отражающие типы объектов. Не обязательно в этом случае, что цифра 2 больше чем цифра 1.

Порядковая шкала измерений подразумевает присваивание наблюдениям чисел иерархическим способом. Классический пример такой шкалы – шкала твердости Мооса. Эта шкала имеет 10 делений, каждая из которых отражает наши представления о твердости минералов, причем, чем выше деление шкалы, тем тверже минералы. Однако различие между истинной твердостью алмаза (9 деление шкалы) и минералами, находящимися на 8 уровне твердости по этой шкале в несколько раз больше, чем различие по твердости между минералами, находящимися соответственно на 1 и 8 уровнях.

В интервальной шкале длина последовательных интервалов - приращений одинакова. Классический пример такой шкалы – температурная шкала Цельсия. Главный недостаток такой шкалы, препятствующий ее широкому внедрению – отсутствие естественного нуля. Начальная точка отсчета, выбранная в ней это точка замерзания воды, из-за чего мы привыкли к такому распространенному понятию как отрицательная температура. Однако мы знаем, что не существуют отрицательные длины предметов или отрицательные концентрации, например золота.

Относительная шкала имеет не только одинаковые приращения между интервалами, но и истинную точку отсчета. Примером является температурная шкала Кельвина, точка 0 по Кельвину обозначает температуру, при которой останавливается молекулярное движение, никакой предмет не может обладать температурой ниже этой точки, так же как не может быть и отрицательной концентрации вещества или отрицательной длины каких либо предметов.

В относительной шкале производится наибольшее, подавляющее количество всех измерений, однако еще не редки случаи использования многими исследователями при измерении и других шкал, типа номинальной или порядковой.

Что же собой представляют статистические процедуры, позволяющие, имея небольшую выборку наиболее правильно давать оценки изучаемым геологическим признакам, описывать математические законы их распределения в пространстве.

В основном эти приемы основаны на теории вероятности и законах распределения некоторых событий в пространстве и во времени.

Что такое событие? Событием называют факт, который в результате опыта может произойти, а может и не произойти. Классическим примером может служить падение монеты гербом вверх. Что такое распределение событий? Например, монета при подбрасывании 10 раз 7 раз упала гербом вверх, и три раза гербом вниз. В геологической практике событием будет являться, например, обнаружение золотоносной кварцевой жилы пятиметровой мощности с помощью небольших горных выработок – копуш, пройденных через 5 метров друг от друга, или обнаружение той же жилы, с помощью копуш, пройденных через 20 метров друг от друга. Естественно можно поставить вопрос, – с какой степенью возможности может произойти это событие, очевидно, что в первом случае это событие более возможно, чем во втором. Теперь рассмотрим понятие – случайность события. Естественно, что падение монеты гербом вверх – это закономерный итог взаимодействия вращающейся монеты и плоскости, а расположение золотоносной кварцевой жилы – закономерный итог геолого-геохимических процессов, проходивших в данном участке земной коры. Случайным является только появление этих событий для нас, так как мы не можем быстро рассчитать скорость вращения монеты в этом опыте, и в случае с появлением золотоносной жилы плохо представляем геологические и геохимические процессы в земной коре формирующие их. Таким образом, появление этих событий мы можем свести к их прогнозу, то есть случайное для нас событие может быть возможным и прогнозируемым, а значит вероятным.

Вероятность события – это численная оценка объективной возможности появления какого-либо события. Понятие вероятности включает в себя некоторую долю неуверенности. Интуитивно мы каждый день имеем дело с вероятностью, например, мы спрашиваем себя, какая будет завтра погода, и с некоторой долей неуверенности отвечаем на этот вопрос. Одним из способов выражения нашей неуверенности или наоборот уверенности является числовая шкала. Обычно принято вероятность выражать от 0 до 1 или от 0% до 100%. Если мы говорим, что вероятность, что завтра будет дождь равна 0%, то это означает, что мы абсолютно уверены, что завтра дождя не будет. И наоборот, если мы говорим, что вероятность, что завтра будет дождь равна 50%, то это означает, что мы абсолютно не уверены, будет завтра дождь или его не будет. Если мы говорим, что вероятность, что завтра будет дождь равна 70%, мы выражаем относительно дождя большую уверенность, чем неуверенность. Наши оценки вероятности появления, какого либо события, например, дождя или золотоносной жилы на конкретном участке могут быть основаны на многих факторах, как на научных данных, так и на наших субъективных ощущениях. Однако в статистике используется подход, в результате которого учитывается появление какого-либо события в предшествующих опытах. То есть прогнозирование дождя или рудоносной жилы может основываться на учете того, сколько было дождливых дней в предыдущем периоде или сколько раз геологи встречали рудоносные жилы в похожих геологических условиях. Такой подход не противоречит научному подходу к решению данной задачи и тем более не противоречит субъективным ощущениям, он просто дополняет и тот и другой способ, так как даже результаты самых точных научных исследований включают некоторую долю неуверенности. В связи с этим понятие вероятности события тесно связано с понятием частота появления события. Частотой появления события может быть количество дождливых дней в прошедшем месяце, количество золоторудных проявлений на какой-либо территории, количество самородков, найденных в ручье и так далее. Несовместными называют события, которые не могут появиться одновременно в данном опыте, например одновременное падение монеты гербом вверх и гербом вниз, или одновременное появление хорошей и плохой погоды или одновременное обнаружение и не обнаружение рудоносной жилы. Равновозможными называют такие события, вероятность появления которых в данном опыте одинакова, например, при подбрасывании монета может упасть гербом вверх и так же гербом вниз.

События, образующие группу равновозможных и несовместных событий называют случаями.

Когда мы проводим опыты, в результате которых появляются равновозможные и несовместные события, мы можем сказать, что наш опыт проходит по “схеме случаев” или “по схеме урны”. В таких опытах вероятность (P) некоторого события (B) оценивается по относительной доле благоприятных случаев.

P(B)=M/N

Где М – это число опытов, в которых появилось событие B, N- это общее число опытов.

Пример. В урне 10 шаров, из них 3 черных и 7 белых, шары в урне перемешаны и на ощупь не различимы. Какова вероятность события, при котором появляется черный шар. Общее число опытов может быть равно 10. Следовательно, мы десять раз, не глядя, вынимаем шары из урны и, следовательно, вероятность появления черного шара равна 0.3.

P(B)=3/10

В опыте “по схемы урны” хорошо раскрывается понятие “частоты или частности появления события”. Например, если в этом примере несколько изменить условие проведения опыта, например, если вынимать из урны по одному шару, отмечать его цвет, снова класть в урну и после перемешивать шары, то возможно, что черный шар появится в 9 случаях из 10 опытов. В другой серии опытов мы вытащим черный шар только один раз. Всегда частота появления какого-либо события – это так же отношение числа опытов М, в которых появилось событие (В) к общему числу произведенных опытов N.

P=M/N

Частота события имеет случайный характер. Но если мы значительно увеличим число опытов, например, будем тысячу раз вынимать шары из урны, отмечать их цвет, класть обратно и перемешивать, то частота появления черного шара будет незначительно отличаться от 0.3, при чем тем меньше, чем больше будет число опытов.

Устойчивость частоты при большом количестве проведения опытов N является характерным свойством случайных событий. При возрастании числа опытов частота появления какого-либо события всегда приближается к вероятности (теорема Бернулли).

Лекция N2.

Основные теоремы теории вероятности.

Теорема полной вероятности.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Ниже приведены результаты опробования горизонтальной выработки (канавы), разделенной на три равных участка.

N пробы	Содержание (%)		N пробы	Содержание (%)	N пробы	Содержание (%)
Участок 1	Участок 2	Участок 3

Теперь мы можем переделать эту таблицу как частотную таблицу, в которой рассчитана частота появления пробы с определенным содержанием.

Участок канавы	Содержание металла (%)	Число проб	Частость
Участок канавы N1 (К1)			0.428
		0.286
		0.286
Сумма
Участок канавы N2 (К2)			0.285
		0.285
		0.430
Сумма
Участок N3 (К3)			0.428
		0.572
Сумма

На одном из участков берут пробу, причем участок и место, где берут пробу, выбирают случайно. Случайный отбор может происходить с использованием разных способов, один из них можно назвать способом урны. Сначала скатывают в трубочки листки бумаги с написанными на них номерами канав, кладут в урну, перемешивают и затем выбирают, далее тем же образом приготавливают 7 листков бумаги с предварительно написанными на них содержаниями металла и выбирают из урны один листок.

Вопрос. Какая вероятность появления пробы с содержанием 4%?

Появление события B (то есть появление пробы с содержанием 4%) может произойти только вместе с одним из событий К1, К2, К3 - то есть, появление события В может произойти только в одном из трех участков нашей канавы. События К1, К2, К3 образуют полную группу несовместных событий (событий, которые не могут появиться одновременно в данном опыте), но то что одно из этих событий произойдет в данном опыте равно 100%. Назовем эти события – гипотезами.

Вероятность события В определяется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе по следующей формуле

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

Это формула полной вероятности. Событие B может появиться только в комбинации с одной из гипотез К1, К2, К3, образующих полную группу несовместных событий. Комбинации К1В, К2В, К3В так же несовместны, так как несовместны гипотезы К1, К2, К3. Применяя к данным комбинациям (гипотезы-события) теорему сложения получим

P(B) = P(B/K1) + P(B/K2) + P(B/K3) = ∑ P(B/Ki)

Далее применим теорему умножения и получим

P(Ki, B) = P(Ki)*P(B/Ki)

Поэтому

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

По условию задачи гипотезы К1, К2, К3 - равновозможные, следовательно

P(K1) = P(K2) = P(K3) = 0.33

Следовательно легко можно рассчитать, что вероятность появления события В ( то есть вероятность появления пробы с содержанием 4 %) равна

P(B) = P(4%) = 0.33*0.285 + 0.33*0.285 + 0.33*0.572 = 0.38

Таким образом, наугад взятая в канаве проба с вероятность 38% покажет содержание металла равное 4 %.

Такая же вероятность получится, если мы рассчитаем ее по простой формуле, однако, если гипотезы не равны друг другу, то есть например, длина участков будет разная, а количество проб то же, то по простой формуле вероятности мы уже не получим этот же результат.

Лекция 3

Лекция 4

Многие математики, начиная с 18 века (Гаусс, Лаплас, Бернулли и другие) стали разрабатывать теоретические модели распределения дискретных случайных величин, используя для этого опыты типа “схемы урн”. Интерес математиков к этим исследованиям был в то время обусловлен развитием в Европе карточных игр. Позднее эти исследования явились отправной точкой развития статистики, которую успешно стали применять почти во всех науках, в том числе и в геологии.

ГГГ ГРГ РРР

ГГР РГГ [РГР]

[ГРР] [РРГ]

В скобках находятся комбинации, в которых выпало по одному гербу. Всего возможны три комбинации, в которых выпадает один герб при трех бросаниях или по другому возможны три комбинации с одним успехом в трех следующих друг за другом опытах. Символически это изображается как (ⁿ_r) или n по r, где n – это число опытов, а r – это число успехов. Число комбинаций в n опытах при r успехах легко рассчитать по формуле

n! / r! (n-r)! .

В данном случае

(ⁿ_r) = (³₁) = 3! / 1! *(3-1)! = 3*2*1 / 1*(2*1) = 6 / 2 = 3

Так же по этой формуле можно рассчитать число возможных комбинаций, содержащих 2, 3 или 0 успехов. Напомним, что 0! = 1, а не нулю. Число возможных комбинаций в 2 успехах равно 3, число комбинаций 3 успехов равно 1, и при нуле успехов число комбинаций также равно 1, при общем числе возможных комбинаций равном 8. Обозначим вероятность выпадения герба буквой p, а решки – буквой q, при чем ясно, что q = 1-p.

В этом случае мы можем переписать возможные исходы при трех бросаниях как

p³ p²q q

qp² qp² pq²

q²p q²p

Полную систему событий можно записать как

q³ +3q²p +3p²q +p³ =1 = (q+p)³

Так как по теореме сложения вероятности, верно, то, что любая из этих комбинаций обязательно произойдет, то полная вероятность равна 1. Это можно подтвердить и прямым расчетом

0.5³ + 3*0.5² + 3*0.5²*0.5 + 0.5³ = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

Так как вероятности p и q являются членами бинома Ньютона, то и это распределение получило название биноминального распределения. Так как конкретное число комбинаций рассчитывается по формуле n! / r! (n-r)!, то общую формулу биноминального распределения можно написать как

P(n) = n! /r! (n-r)! *( p^r* qⁿ^-r).

Эксперимент с бросанием монеты имеет три особенности:

1. В каждом испытании имеется только два возможных исхода – успех и неудача.

2. Исход каждого испытания не зависит от предыдущих исходов, и вероятность успеха остается постоянной.

3. Испытания повторяются заданное число раз.

Распределение вероятностей, соответствующее указанному типу экспериментов называется биноминальным распределением.

В качестве примера можно назвать предсказание успеха при бурении поисковых скважин, предназначенных для обнаружения какого-либо полезного ископаемого – нефти, газа, золота, железной руды и так далее.

Каждое испытание или бурение каждой скважины может быть классифицировано как “открытие” (успех), либо как “пустая скважина” (неудача). Успех или неудача при бурении каждой последовательной скважины не зависит от предыдущих результатов бурения, так же как и решение продолжать или не продолжать бурить. Число скважин ограничено денежными средствами, выделяемыми корпорациями или государством в конкретный период времени для поисков на данной территории. В данном случае биноминальное распределение будет подходящим для расчета вероятности успеха, то, есть для расчета вероятности открытия новых объектов, имея ограниченное количество средств. За вероятность открытия новых залежей на прогнозируемой территории могут приниматься субъективные оценки, научные разработки. Однако мы уже знаем, что в статистике используется подход, рассматривающий появление какого-либо события в предшествующем опыте. То есть прогнозирование новых залежей полезных ископаемых должно исходить из анализа, сколько раз были встречены новые залежи в похожих геологических условиях. Такой подход не противоречит научному подходу, он просто его дополняет, так как даже самые продвинутые научные достижения все равно включают некоторую долю неуверенности. Вероятность того, что при бурении на прогнозируемой территории среди n скважин (общего запланированного количества скважин) будет r успешных скважин можно рассчитать по формуле

P(r) = [n! /(r! *(n-r)! )] *( p^r* qⁿ^-^r).

Предположим, что мы хотим рассчитать вероятность успеха программы поисково-разведочных работ, включающей бурение 5 глубоких скважин на территории, хорошо изученной специалистами-геологами и научными работниками и выдвинувших смелые гипотезы о рудоносности конкретных тектономагматических структур, широко развитых на данной территории. Однако не смотря на то что уже доказано, что подобные структуры являются рудоносными, промышленные объекты были выявлены только в одном районе из десяти, в которых проводились поисково-разведочные работы, то есть вероятность успеха – обнаружение промышленных залежей полезных ископаемых в новом одиннадцатом районе равна 10%.

Какая вероятность того, что вся программа, включающая бурение только 5 скважин будет полностью провалена. В этом случае в биноминальное уравнение мы будем подставлять общее количество опытов n = 5, а число успехов r = 0, вероятность p = 0.1.

Тогда вероятность того, что в результате поисково-разведочных работ не одна из скважин не встретит залежь можно легко рассчитать, как

P (r) = (5! /5! *0! )*1*0.9⁵ = 1*1*0.59 = 0.59.

В этом случае вероятность полного провала данной программы будет составлять около 60%.

Какова вероятность, того, что одна из заявленных скважин подсечет залежь с промышленными содержаниями полезного компонента. В этом случае в биноминальное уравнение мы будем подставлять общее количество опытов n = 5, а число успехов r = 1, вероятность p = 0.1.

Тогда вероятность того, что в результате поисково-разведочных работ одна из скважин вскроет залежь можно легко рассчитать, как

P (r) = (5! /4! *1) *0.1 * 0.9⁴= 5*0.1*0.25 = 0.328.

В этом случае вероятность успеха будет составлять около 33%. Используя либо уравнение или таблицу биноминального распределения, она опубликована во многих учебных пособиях по статистике, легко найти вероятности всех возможных исходов в данной программе, включающей бурение только 5 скважин. Ясно, что увеличение количества скважин в данном проекте приведет к увеличению вероятности успешного его завершения. Приведенные расчеты могут быть весьма полезными для горнорудных корпораций или геологоразведочных компаний при составлении планов бурения на прогнозных территориях. Нужно добавить, что этот способ имеет еще одну очень важную особенность, скважины в пределах предполагаемых рудоносных структур должны располагаться случайным образом, отсюда этот способ расположения скважин для наилучшего достижения результата на изучаемой территории получил название метода дикой кошки (здесь подразумевается, что невозможно спрогнозировать направление каждого шага дикой кошки). Метод дикой кошки не противоречит научному подходу к решению данной проблемы, так как даже самые современные методы поисков и разведки и самые продвинутые научные гипотезы не позволяют определить точное положение залежей полезных ископаемых в земной коре, они могут только значительно сузить радиус поисков.

Лекция 5.

Дискретные распределения мы рассматривали в основном при фиксированном количестве испытаний, так в случае биноминального распределения мы считали, как распределяются вероятности комбинаций гербов и не гербов при трех бросаниях монеты, а что произойдет, если мы увеличим количество испытаний. Можно рассчитать вероятность заданного количества успехов (например, гербов) в 10, 15, 25, 50 бросаниях монеты. Эти вероятности давно рассчитаны и находятся в таблицах биноминального распределения, но так же легко они могут быть вычисленными на калькуляторе или при помощи небольшой компьютерной программы. Однако, при любом количестве испытаний, любая из возможных комбинаций обязательно осуществится на все 100%, поэтому площадь под графиком распределения всегда будет равна 1. А если число бросаний будет увеличиваться, то ширина столбиков будет все меньше и меньше и, в конце концов, вместо столбиков гистограмму можно изобразить плавной непрерывной кривой. В эксперименте бросания монеты мы имеем дело с дискретными исходами эксперимента, однако, в большинстве экспериментов на природных объектах, результаты не являются дискретными. В этом случае, как отмечалось ранее, при подсчете частот учитываются не отдельные значения, а количество чисел, попадающих в намеченные интервалы. Еще одно важное отличие дискретных величин от непрерывных, это то, что дискретные величины можно измерить с абсолютной точностью в отличие от непрерывных величин. В первую очередь это связано с тем, что при измерении свойств у природных объектов в подавляющем большинстве используются приборы, в которых уже заложены ограничения точности измерения, мы знаем, что чем совершеннее прибор, тем выше точность измерения, произведенная им. При повторных измерениях одного и того же свойства природного объекта всегда возникают отклонения малой величины, однако они связаны не только с точностью измерения прибором, но и с изменениями в условии проведения самого эксперимента, а также и с изменчивостью самого измеряемого природного объекта. Никогда не может быть получено единственное, точное истинное значение свойства природного объекта, всегда мы будем наблюдать непрерывное распределение возможных значений этого свойства, что как раз характерно для непрерывных случайных величин. Изменчивость, обусловленная неточностью конкретного прибора, с помощью которого мы производим измерения, возникает, когда делаются повторные измерения на абсолютно том же объекте без каких либо изменений в проведении опыта. Такую изменчивость объясняют и называют ошибками эксперимента или ошибками регистрации. Однако на практике все причины изменчивости проявляются сразу и отражаются в результатах измерений так, что нельзя отличить в силу каких причин данные изменения возникли, или в силу ошибки при измерении прибором, или в силу изменившихся условий эксперимента или в силу природной изменчивости измеряемого свойства. Оценить природную изменчивость по данному измеряемому свойству можно, когда измерения проводятся не на абсолютно том же объекте. Предположим, что мы обладаем столбиком керна некоторой длины (керн это каменный материал, поднятый из скважины). Мы хотим определить проницаемость данного материала, но не можем ввести для измерения проницаемости в прибор весь керн. Вместо этого мы вырезаем из керна несколько пластинок и измеряем проницаемость в каждой из них. Полученный результат и наблюдаемая изменчивость будет обусловлена природной изменчивостью керна, меняющимися условиями эксперимента и ошибкой измерения.

Еще раз остановимся на двух таких важных понятиях как “выборка” и “совокупность”. Совокупность представляет собой множество (либо конечных, либо бесконечных) элементов. Выборка – это подмножество элементов, выбранных из некоторой совокупности. В классических учебниках статистики часто используют термины – выборочная совокупность и генеральная совокупность, что идентично терминам просто выборка и совокупность. Измерения проницаемости, которые мы осуществили, были проведены по выборке образцов взятых из некоторой природной совокупности и те результаты, которые мы получили, являются оценками истинной проницаемости совокупности или изучаемых природных объектов. Обычно выборочные образцы из природной совокупности должны извлекаться случайным образом, что бы все особенности совокупности были представлены в нашей выборке, однако если исключить из выборки, некоторые образцы, отражающие особенности совокупности то мы получим смещенную выборку. Предположим, если мы не станем измерять проницаемость в пластинах керна не обладающих должной на наш взгляд прочностью, раздробленных и с видимыми порами, то мы получим искаженные представления о проницаемости, данной породы. То есть наши оценки истинной проницаемости природного объекта будут неверными. В статистике выделяются два вида ошибок: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случайный (непреднамеренный) или систематический (тенденциозный) характер. Ошибки репрезентативности возникают в силу того, что выборка или выборочная совокупность не полностью отражают генеральную совокупность. Избежать ошибок репрезентативности нельзя, но можно установить границы возникновения этих ошибок. Чем больше по количеству измеряемых проб будет наша выборка, тем точнее будут наши оценки свойств совокупности.

Параметры и статистики.

Все непрерывные распределения совокупностей имеют ряд характеристик, таких как среднее положение распределения, положения распределения, делящие его на равные части, мера разброса относительно среднего положения и характеристики симметрии и формы изучаемых кривых распределений. Наиболее удобно проанализировать эти характеристики на примере как раз нормального распределения непрерывной случайной величины. Будем называть эти характеристики параметрами, если они характеризуют совокупность и статистиками, если они рассчитаны из выборочных данных. Статистики обычно являются оценками параметров изучаемых совокупностей, а сами параметры являются истинными характеристиками изучаемых объектов. Важной особенностью нормального распределения является то, что по плотности распределения или по размеру площади под кривой распределения, заключенной между какими-либо ординатами мы можем оценить величину ошибки при проведении наших измерений.

Лекция 6.

Лекция 7

Рассмотрим пример.

На эксплуатационном блоке полиметаллического месторождения были отобраны пробы и получены данные, содержащиеся в таблице.

Данные были получены следующим образом. При подготовке блока к эксплуатации было пробурено 96 вертикальных скважин по квадратной сети 3.5 метра на 3.5 метра. Каждая скважина была опробована по интервалам (длина интервала -1 метр). Большое число равномерно расположенных в блоке проб позволило определить среднее содержание металла в блоке с большой точностью. Блок был разделен на 24 участка, в каждом из которых, оказалось, по 12 проб (4 скважины на 1 участок, 1 скважина содержит по 3 пробы). Общее количество проб равно 288 (24*12 = 288).

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒