Функциональная, статистическая и корреляционная

Зависимости экономических переменных

Любая экономическая политика заключается в регулировании определенных экономических показателей. Однако стратегия регулирования может быть весьма неэффективной и рискованной без достаточного знания того, как эти показатели связаны с другими переменными, часто имеющими ключевое значение для принимающего решение политика или предпринимателя. Кроме того, воздействие на многие экономические показатели не может осуществляться непосредственно. Например, нельзя непосредственно регулировать темп инфляции, но на него можно воздействовать средствами фискальной (бюджетно-налоговой) и монетарной (кредитно-денежной) политики. Поэтому, в частности, должна быть изучена зависимость между предложением денег и уровнем цен.

В реальных экономических ситуациях даже устоявшиеся зависимости могут проявляться неоднозначно. Еще более сложной проблемой является анализ малоизученных и нестабильных зависимостей, построение моделей которых является основной задачей современной эконометрики. Разработка эффективных эконометрических моделей невозможна без проведения на всех этапах исследований качественного и количественного анализа с использованием реальных статистических данных. Основными инструментами таких исследований являются методы корреляционного и регрессионного анализа. Модели регрессионного анализа занимают центральное место в математическом аппарате эконометрики.

В естественных науках обычно имеют дело со строгой (функциональной) зависимостью, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. В экономике в большинстве случаев имеют место зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой. Такую зависимость называют статистической (вероятностной). В частности, статистическая зависимость может проявляться в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение (условное математическое ожидание) другой. В этом случае статистическая зависимость называется корреляционной. Так, например, при рассмотрении взаимосвязи между двумя переменными Х и Y может быть представлена усредненная по Х схема зависимости, где условное математическое ожидание М_х(Y) изменяется в зависимости от Х = х.

Односторонняя зависимость, выражаемая соотношением

М_х(Y) = φ (x), (2.1)

называется функцией регрессии или просто регрессией Y на Х. При этом зависимую переменную Y называют также функцией отклика, результативным признаком или результирующей переменной, а независимую переменную Х – регрессором, фактором-аргументом, факторным признаком. Соотношение (2.1), определяющее взаимосвязь между двумя переменными, представляет собой парную регрессию. Зависимость нескольких экономических переменных, выражаемую уравнением:

, (2.2)

называют множественной (многомерной) регрессией.

Термин «регрессия» (движение назад, возвращение в прежнее состояние) был введен Френсисом Галтоном в конце XIX в. при анализе зависимости между ростом родителей и ростом детей. Галтон установил, что рост детей у высоких родителей меньше, чем средний рост родителей. У низких родителей, наоборот, средний рост детей выше. И в том, и в другом случае средний рост детей стремится (возвращается) к среднему росту людей в данном регионе. Сущность такой зависимости отражается используемым термином.

В настоящее время основными задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между СВ, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Парная линейная регрессия

Под уравнением регрессии будем понимать функциональную зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится с целью определения оценки этого среднего значения.

Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии, и общее теоретическое уравнение парной регрессии имеет вид:

М_х(Y) = b₀ + b₁_x. (2.3)

Для отражения того факта, что реальные значения зависимой переменной Y не всегда совпадают с ее условными математическими ожиданиями, следует ввести в соотношение (2.3) случайное слагаемое (случайное отклонение) ε:

Y = M_x(Y) + ε = b₀ + b₁ + ε, (2.4)

которое по существу является СВ и указывает на вероятностный характер зависимости.

Соотношение (2.4) представляет теоретическую линейную регрессионную модель (модель парной линейной регрессии) в общем виде. Тогда для каждого индивидуального значения (наблюдения) y_i будем иметь:

. (2.5)

Индивидуальные значения y_i представлены в виде двух компонент – систематической, объясняемой уравнением регрессии b₀ + b₁x_i, и случайной (необъясненной) – ε _i.

По реальным наблюдениям (по выборке ограниченного объема) мы сможем построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии.

, (2.6)

где Ŷ -оценка условного математического ожидания М_х(Y), и - оценки неизвестных теоретических параметров модели b₀ и b₁, называемые эмпирическими коэффициентами регрессии. Следовательно, для конкретных значений y_i в случае эмпирической парной модели справедливо следующее соотношение:

, (2.7)

где отклонение (остаток) e_i представляет собой оценку теоретического случайного отклонения ε _i.

Линейная регрессионная модель является наиболее распространенным и удобным для анализа видом зависимости между экономическими переменными. Простейшее парное уравнение позволяет достаточно наглядно (часто с помощью графической интерпретации) рассмотреть основные приемы регрессионного анализа. Кроме того, парная регрессия может служить начальной точкой эконометрического моделирования. Например, это может быть линейная зависимость спроса на некоторый товар или услугу от цены или зависимость частного потребления от располагаемого дохода (модель Дж. Кейнса) и т. д.

Метод наименьших квадратов

Рассмотрим задачу аппроксимации набора наблюдений x_i, y_i (i = 1, 2, …, n) линейной функцией регрессии. Основной этап решения этой задачи состоит в определении по конкретной выборке пар значений (x_i, y_i) таких оценок и неизвестных параметров b₀ и b₁, чтобы построенная линия регрессии (эмпирическая линейная регрессионная модель) являлась «наилучшей» среди всех других прямых. Другими словами, построенная прямая (линия модели) (рис. 2.1) должна быть ближайшей к точкам наблюдений по их совокупности.

Рис. 2.1.

Мерой качества найденных оценок параметров могут служить определенные композиции отклонений е_i.

В качестве меры соответствия линии регрессии (модели) наблюдаемым значениям удобно рассматривать сумму квадратов отклонений , что дает возможность построить достаточно развитую статистическую теорию.

Метод определения оценок параметров линейной регрессионной модели (коэффициентов регрессии), заключающийся в минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных y_i от модельных (регрессионных) значений , называется методом наименьших квадратов (МНК).

В случае парной линейной регрессии при использовании МНК минимизируется следующая функция двух параметров:

. (2.8)

На основании необходимого условия существования минимума функции двух переменных (2.8) приравниваем к нулю ее частные производные по неизвестным параметрам и :

. (2.9)

Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим систему двух линейных уравнений для определения и :

. (2.10)

Разделив оба уравнения (2.10) на n и решая систему, найдем

, (2.11)

где соответствующие средние находятся по формулам:

Нетрудно заметить, что решение для можно записать в виде:

, (2.12)

где Cov_в(x, y) – выборочная ковариация, а D_в(x) - выборочная дисперсия объясняющей переменной (фактора-аргумента) Х. Тогда, преобразуя (2.12), получим:

(2.13)

где r_xy - выборочный коэффициент корреляции; – выборочные средние квадратические отклонения. Таким образом, зная коэффициент корреляции, можно легко найти коэффициент парной регрессии .

Оценка называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) и обычно имеет достаточно ясный экономический смысл. В целом он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результирующая переменная Y при увеличении объясняющей переменной Х на одну единицу.

Резюмируя проведенные рассуждения, можно сделать следующие выводы:

1. Оценки параметров модели по МНК являются функциями от объема выборки n, что позволяет достаточно легко их рассчитывать.

2. Оценки по МНК являются точечными оценками теоретических коэффициентов регрессии.

3. Из формулы для определения параметра следует, что эмпирическая прямая регрессии (линия модели) проходит через точку ; т. е. .

4. Из первой формулы соотношения (2.9) следует, что сумма отклонений , а также среднее значение равны нулю.

Для иллюстрации МНК рассмотрим следующий пример.

Пример 2.1. Приведены статистические данные недельного дохода (Х) и недельного потребления (Y) в у.е. для домашних хозяйств (см. таблицу).

Х
Y

Необходимо построить парную (однофакторную) регрессионную модель зависимости потребления от располагаемого дохода.

Для наглядности и предварительного анализа нанесем точки x_i, y_i (n = 8) на координатную плоскость и получим так называемое корреляционное поле или диаграмму рассеяния (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

По характеру расположения точек на корреляционном поле можно предположить, что зависимость между Y и Х является линейной:

Для построения уравнения парной линейной регрессии по МНК составим вспомогательную табл. 2.1. Тогда, согласно МНК, имеем:

– оценка коэффициента регрессии;

– оценка свободного члена.

Для нахождения оценок параметров модели необходимы данные первых четырех столбцов таблицы. Остальные данные будут необходимы для последующего анализа качества построенной модели.

Таблица 2.1

x_i	y_i	x_iy_i
			70, 83 78, 63 86, 43 94, 23 102, 02 109, 82 117, 62 125, 42	791, 02 328, 52 66, 02 66, 02 3, 52 141, 02 478, 52 722, 27	744, 84 380, 02 136, 81 15, 20 15, 20 136, 81 380, 02 744, 84	0, 69 1, 87 12, 76 17, 86 4, 10 0, 03 5, 67 0, 17	0, 0119 0, 0171 0, 0397 0, 0470 0, 0202 0, 0016 0, 0198 0.0033
Сумма:			-	2596, 88	2553, 72	43, 15	0, 1607
Средн.:	98, 13		-	-		5, 39	0, 0201

Таким образом, построенная модель парной регрессии (уравнение регрессии) имеет вид:

По этому уравнению рассчитаем модельные значения и построим линию модели (рис. 2.2).

Графически задачу парной линейной регрессии можно представить следующим образом. В «облаке» точек x_i, y_i плоскости XY следует провести прямую так, чтобы совокупность всех отклонений отвечала условию МНК (2.8).

В нашем примере параметр модели можно трактовать как предельную склонность к потреблению. Фактически он показывает, на какую величину изменяется объем потребления при возрастании располагаемого дохода на одну единицу. Параметр , равный в данной модели 31, 845 у.е., определяет среднюю прогнозируемую величину недельного потребления при отсутствии дохода (Х = 0), т. е. имеет смысл автономного потребления. Этот факт можно объяснить для отдельного домохозяйства как использование одолженных средств (постоянная величина долга) или накопленных сбережений. Следует заметить, что в большинстве ситуаций этот параметр не имеет содержательной экономической интерпретации. В любом случае значение свободного члена определяет точку пересечения прямой с осью ординат и сдвиг линии модели вдоль оси Y.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒