Тема 14. Динамические задачи

Литература: (2, гл. 6).

Понятие о статической и динамической нагрузке. Силы инерции. Принцип Д`Аламбера. Динамический коэффициент. Общая идея расчётов при динамическом нагружении. Напряжения в движущих деталях. Напряжения при ударе. Упругие колебания. Свободные и вынужденные колебания. Частота, период и амплитуда колебаний. Явление резонанса. «Отстройка» от резонанса. Коэффициент нарастания колебаний. Динамичесекий коэффициент. Расчеты на прочность при колебаниях.

Вопросы для самопроверки

1. Как вычисляются напряжения в деталях при равноускоренном поступательном движении? 2. Что называется динамическим коэффициентом? 3. Как определяется динамический коэффициент при ударе? 4. Как изменится напряжение при продольном ударе в случае увеличения площади поперечного сечения в два раза? 5. Зависит ли напряжение при изгибающем ударе от материала балки? 6. Какие колебания называют свободными, а какие вынужденными? 7. Какие колебания называют механическими? 8. Как вычисляют напряжения при колебаниях? Какое явление называется резонансом? 9.В чём заключается «отстройка» от резонанса?

Тема 15. Прочность материалов при переменных напряжениях

Литература: (2, гл. 7).

Усталость и выносливость материала. Виды усталостного излома. Виды циклов напряжений. Кривая Велера, предел выносливости. Причины усталостных разрушений. Влияние различных факторов (концентрация напряжений, масштабный фактор, качество поверхности детали и др.) на величину предела выносливости. Диаграммы предельных напряжений. Расчёты на прочность при переменных напряжениях.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется усталостью материала, а что – выносливостью? 2. Какие бывают циклы напряжений? 3. Что называется пределом выносливости и как его найти? 4. Какой цикл напряжений называется предельным? 6. Какие факторы влияют на усталостную прочность материала?

После изучения данного курса необходимо уметь:

- определять вид нагружения бруса;

- определять внутренние силовые факторы и строить их эпюры для различных видов нагружения бруса;

- определять напряжения при различных видах нагружения бруса;

- производить простые расчёты на прочность и жёсткость при различных видах нагружения бруса;

- определять перемещения при различных видах нагружениях бруса;

- рассчитывать сжатые стержни на устойчивость;

- решать простые задачи при динамическом характере нагрузок (учёт сил инерции, удар, колебания).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

По завершении курса студентам предлагается выполнить контрольные работы.

1. Перечень задач, входящих в контрольные работы, приведён в табл. 1 и 2.

По всем специальностям выполняются четыре контрольные работы (таблица 1).

Таблица 1

Контрольные работы	Задачи	Рекомендуемые сроки выполнения
1 часть № 1 № 2	1, 2, 3. 4, 5, 6.	ноябрь декабрь
2 часть № 3 № 4	7, 8, 9. 10, 11, 12.	март май

По ускоренной форме подготовки выполняются две контрольные работы (табл. 2).

Таблица 2

Контрольные работы	Задачи	Рекомендуемые сроки выполнения
№ 1 № 2	1, 4, 5. 8, 10, 11.	март май

2. Исходные данные для индивидуальных заданий берутся из приводимых далее таблиц в строгом соответствии с личным номером (шифром). Для этого шифр необходимо написать столько раз, чтобы получилось шесть цифр, и под цифрами указать буквы: а, б, в, г, д, е. Тогда цифра над буквой а укажет, какую строку следует взять из столбца а; цифра над буквой б - какую строку следует взять из столбца б, и т.д.

Например, при номере « 305» шифр нужно написать два раза подряд, а под цифрами указать буквы:

3 0 5 3 0 5

а б в г д е

3. Контрольная работа выполняется на листах формата А4 с полями 5 см для замечаний рецензента. На титульном листе должны быть чётко написаны: номер контрольной работы, название дисциплины, фамилия, имя и отчество студента (полностью), название факультета и специальности, учебный шифр, дата отсылки работы, точный почтовый адрес. Выполненная контрольная работа представляет собой пояснительную записку, включающую текст, расчетные схемы, эскизы и выводы.

4. Перед решением задачи надо написать полностью её условие с числовыми данными, составить аккуратный эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для расчёта. Реакции опор определяются с помощью уравнений равновесия. Построение эпюр необходимо выполнять тщательно. Эпюры располагаются непосредственно под схемой бруса. Решение должно сопровождаться краткими, последовательными, без сокращения слов, объяснениями и чертежами, на которых все входящие в расчёт величины должны быть показаны в числах. Необходимо указывать размерности всех величин и подчёркивать окончательные результаты.

5. Студент обязан сохранить до экзамена все выполненные контрольные работы, имеющие пометку рецензента «Зачтена».

Задачи, входящие в контрольные работы, относятся к наиболее важным разделам курса. Приступая к их решению, следует вначале проработать материал соответствующей темы:

· растяжение и сжатие (темы 1 - 4): задачи 1 – 3;

· геометрические характеристики сечений (тема5): задача 4;

· прямой изгиб бруса (тема6): задачи 5, 6;

· сложное сопротивление бруса ( тема 10): задачи 7 – 9;

· устойчивость сжатого стержня (тема 11): задача 10;

· динамическое нагружение (тема 14): задачи 11, 12.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Задача 1

Для бруса прямоугольного сечения (рис. 1) определить несущую способность и вычислить перемещение свободного конца бруса. Исходные данные взять из таблицы 3.

Порядок решения задачи 1

1. Вычертить схему бруса и его поперечное сечение.

2. Определить опорную реакцию.

3. Составить для каждого участка бруса аналитическое выражение продольной силы N.

4. Построить эпюру N и выявить опасное сечение в растянутой и сжатой части бруса.

5. Исходя из условия прочности на растяжение, определить нагрузку . Принять расчётное сопротивление материала бруса растяжению равным коэффициент условий работы

6. Исходя из условия прочности на сжатие, определить нагрузку . Принять расчётное сопротивление материала бруса сжатию равным коэффициент условий работы

7. Выбрать одно из найденных значений нагрузки и в качестве несущей способности бруса.

8. Вычислить перемещение свободного конца бруса. Модуль продольной упругости материала бруса .

Таблица 3

Номер строки	Схема бруса рис.1	, м	b	h	Номер строки	Схема бруса рис.1	, м	b	h
см	см
		0, 5					0, 7
		0, 8					1, 2
		1, 0					0, 6
		0, 9					0, 5
		0, 6					0, 9
	е	д	г	е		е	д	г	е

Рис.1

Пример 1. Брус прямоугольного поперечного сечения ( ), один конец которого жёстко заделан, нагружен равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью , и силой (рис. 2, а).

Требуется:

1. Определить реакцию опоры.

2. Построить эпюру продольных сил .

3. Определить несущую способность бруса .

4. Вычислить перемещение D свободного конца бруса.

Дано: = 0, 5 м; = 10 см; = 15 см; расчётное сопротивление материала растяжению МПа, сжатию – МПа. Коэффициент условий работы . Модуль упругости материала МПа.

Решение

1. Определение реакции заделки. Составим уравнение равновесия (рис. 2, а):

, , .

2. Построение эпюры продольных сил N. Данный брус имеет три участка. Проведём произвольные сечения z на каждом участке. Рассматривая отсечённые части в состоянии равновесия (рис. 2, б-г), запишем аналитические выражения для продольной силы.

I участок, ,

, , .

На этом участке продольная сила изменяется по линейному закону:

при , ; при , (сила растягивающая).

II участок, ,

, .

На втором участке продольная сила постоянна и отрицательна.

III участок,

å Z=0, - N₃ +2q× z₃– F + q =0, N₃= - q +2q× z₃.

На этом участке величина продольной силы изменяется линейно:

при , (сжатие); при , (растяжение).

рис. 2

По найденным значениям строим эпюру (рис. 2, д ), откладывая

положительные значения выше базисной линии, отрицательные – ниже.

3. Определение несущей способности бруса. Несущую способность бруса найдём из условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения:

где А – площадь поперечного сечения, постоянная по всей длине бруса. Поэтому опасное сечение установим по эпюре N: в сжатой части бруса – это

любое сечение на втором участке, в растянутой – сечение возле заделки.

Найдём нагрузку из условия прочности на сжатие:

откуда .

Найдём нагрузку из условия прочности на растяжение:

откуда .

Из двух значений и в качестве несущей способности бруса выбираем наименьшее, т. е. q=720 кН/м.

4. Вычисление перемещения свободного конца бруса. Вычислим абсолютные деформации каждого участка по закону Гука

D ,

где i – номер участка; – аналитическое выражение продольной силы на нем.

D ; D ;

D .

Перемещение свободного конца бруса найдем как сумму деформаций всех участков:

D = D _I + D _II + D _III = ;

D =

Ответ: несущая способность бруса кН/м; перемещение свободного конца бруса мм.

Задача 2

Для ступенчатого бруса (рис. 3) при заданных нормативных нагрузках требуется подобрать площадь поперечных сечений каждой ступени.

Исходные данные взять из таблицы 4.

Порядок решения задачи 2

1. Вычислить расчётные значения нагрузок. Принять следующие коэффициенты надёжности для нагрузок:

= 1, 1 – для постоянной (F),

= 1, 4 – для временной (q).

2. Вычертить расчётную схему бруса и указать на ней численные значения размеров и нагрузок.

3. Определить опорную реакцию.

4. Для каждого участка бруса составить аналитическое выражение продольной силы N и построить её эпюру.

5. Построить эпюру нормальных напряжений , выразив их через площадь сечения А. Выявить опасное сечение бруса.

6. Исходя из условия прочности, установить площадь сечения А. Расчётное сопротивление материала растяжению и сжатию R = 240 МПа; коэффициент условий работы = 0, 9.

Таблица 4

Номер строки	Схема бруса рис.3	, м	, кН/м	, кН	Номер строки	Схема бруса рис.3	, м	, кН/м	, кН
		0, 5					0, 9
		0, 6					0, 5
		0, 4					0, 8
		0, 8					0, 4
		0, 7					0, 7
	е	д	г	е		е	д	г	е

Рис.3

Пример 2. Ступенчатый брус (рис. 4, а) нагружен постоянной силой F и временной равномерно распределённой нагрузкой q.

Требуется:

1. Определить расчётные значения нагрузок.

2. Определить реакцию опоры.

3. Построить эпюру продольных сил.

4. Построить эпюру нормальных напряжений.

5. Определить площади поперечных сечений каждой ступени.

Дано: = 0, 8 м; Нормативные нагрузки и соответствующие коэффициенты надёжности по нагрузке: = 32 кН и _f = 1, 1; = 18 кН/м и _f = 1, 4. Расчётное сопротивление материала растяжению и сжатию = 240 мПа, коэффициент условий работы = 0, 9.

Решение

1. Определение расчетных значений нагрузок:

F = F_n× g_f=32× 1, 1=35, 2кН.

q = q_n × g _f =18× 1, 4=25, 2кН/м.

2.Определение реакции жесткой заделки:

å Z=0; ; .

3. Построение эпюры продольных сил.

Брус имеет три участка. Проведем произвольные сечения z на каждом участке и запишем аналитические выражения силы.

I участок, ,

Сила постоянна и отрицательна.

II участок, ,

при , ; при , .

Сила изменяется по линейному закону.

III участок, ,

при , ; при , .

Сила изменяется по линейному закону.

По найденным значениям продольных сил строим эпюру (рис. 4, б).

Рис. 4

4. Построение эпюры нормальных напряжений. Нормальные напряжения в поперечных сечениях определим по формуле , где – продольная сила в сечении; – площадь сечения.

I участок, ,

На этом участке напряжение постоянное и отрицательное.

II участок, ,

при , ; при , .

Напряжение изменяется по линейному закону.

III участок, ,

при , ; при ,

По найденным значениям напряжений на определённых участках строим эпюру (рис.4, в). По эпюре выявляем опасное сечение, которое находится на границе I и II участков:

5. Определение площади поперечных сечений бруса. Запишем условие прочности:

где – значение продольной силы, найденное с учетом расчётных нагрузок. Условие прочности для опасного сечения имеет вид

отсюда

Ответ: Площади сечений ступеней бруса на участках равны: , , .

Задача 3

Абсолютно жёсткий брус ВС (рис.6) поддерживается тремя стержнями и загружен постоянной нагрузкой и временной . Требуется подобрать размеры поперечных сечений стержней, если первый стержень имеет квадратное сечение, второй – трубчатое, третий состоит из двух равнополочных уголков (рис.5, а-в). Исходные данные взять из таблицы 5.

а б в

Рис.5

Порядок решения задачи 3

1. Вычислить расчётные значения нагрузок. Принять коэффициент надёжности для нагрузок: постоянной временной

2. Вычертить расчётную схему бруса с указанием размеров и нагрузок.

3. Определить усилия в стержнях.

4. Исходя из условия прочности, установить площадь поперечных сечений каждого стержня. Принять расчетное сопротивление материала R=210 МПа, коэффициент условий работы g_с = 0, 9.

Таблица 5

	Номер строки	Схема бруса рис. 6	Угол	, м	, м	, кН
				0, 6	0, 8			0, 6
				0, 7	0, 9			0, 65
				0, 8	0, 6			0, 7
				0, 6	1, 2			0, 75
				0, 5	0, 7			0, 8
				0, 4	0, 8			0, 85
				0, 8	1, 5			0, 5
				0, 9	0, 6			0, 4
				1, 0	1, 3			0, 45
				1, 2	1, 1			0, 35
		е	а	б	г	д	е	в
1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	0)

Рис. 6

Пример 3. Абсолютно жёсткий брус ВС поддерживается тремя стержнями и загружен заданными нормативными нагрузками (рис.7.а).

Требуется:

1. Вычислить расчётные значения нагрузок.

2. Определить усилия в стержнях.

3. Исходя из условия прочности, установить площади поперечных сечений, учитывая, что первый стержень имеет квадратное сечение, второй – трубчатое, третий состоит из двух равнополочных уголков (рис. 5, а-в).

Рис.7

Дано: = 1, 2 м; = 0, 8 м; ; = 0, 6; нормативные нагрузки и соответствующие коэффициенты надёжности по нагрузке: = 42 кН и = 1, 2; = 20 кН/м и = 1, 3. Расчетное сопротивление материала растяжению и сжатию R=210МПа, коэффициент условий работы g_с =0, 9.

Решение

1. Вычисление расчётных значений нагрузок:

;

2. Определение усилий в стержнях. Мысленно рассекаем стержни и заменяем действие «отброшенных» частей продольными силами (рис.7, б). Запишем уравнение равновесия и определим усилия в стержнях:

Проверим правильность определения усилий в стержнях. Для этого запишем уравнение равновесия:

Подставим найденные значения усилий в это уравнение:

Усилия найдены верно.

3. Определение площадей поперечных сечений стержней. Условие прочности при растяжении и сжатии:

откуда

Первый стержень (рис. 5, а) должен иметь площадь

Однако площадь сечения стержня в виде квадрата , откуда сторона квадрата

Площадь сечения второго стержня (рис. 5, б):

Площадь кольца:

откуда наружный диаметр составляет

тогда .

Площадь сечения третьего стержня (рис. 5, в) из двух уголков составляет .

Площадь одного уголка:

Из табл. 3 приложения выбираем уголок в соответствии с найденной площадью:

с площадью .

Ответ: Размеры поперечных сечений стержней: первого а=2, 76 см; второго D=3, 3 см, d=1, 98 см; третьего из двух уголков 5, 6´ 56´ 4 см.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ

Задача 4

Для заданного поперечного сечения (рис. 8), состоящего из двух частей, требуется найти положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции. Исходные данные взять из табл. 6.

Порядок решения задачи 4

1. Выписать из сортамента геометрические характеристики для двутавра, швеллера и уголка, а для полосы – рассчитать по формулам.

2. На миллиметровой бумаге вычертить схему сечения с соблюдением масштаба, указать все размеры в числах и оси.

3. Найти общую площадь сечения.

4. Установить положение его центра тяжести.

5. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести (параллельно полкам).

6. Определить угол наклона главных осей U и V к центральным осям. Вычертить главные центральные оси на расчетной схеме.

7. Вычислить моменты инерции относительно главных центральных осей и проверить правильность вычислений.

Таблица 6

	Номер строки	Схема сечения рис.8	Швеллер (ГОСТ 8240-89)	Двутавр (ГОСТ 8239-89)	Равнополочный уголок (ГОСТ 8509-86)	Размерыполосы, мм










		д	е	е	г	д

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

рис. 8

Пример 4. Поперечное сечение бруса состоит из швеллера № 20 и равнополочного уголка (рис. 9).

Требуется: определить положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции.

Дано: из табл. 3 приложения находим:

1. Для швеллера № 20: А₁ = 23, 4 см ², = 1520 см ⁴, = 113 см ⁴, = 0, координата центра тяжести = 2, 07 см;

2. Для уголка 125х125х12: А₂ =28, 9см ⁴, = = 422 см ⁴, = 248 см ⁴, координата центра тяжести = 3, 53 см.

Решение

1. Определение положения центра тяжести сечения. Изображаем данное сечение с соблюдением масштаба и проставляем размеры в сантиметрах (рис. 9). Обозначим центр тяжести первой фигуры (швеллера) С₁ и собственные центральные оси х₁ и у₁, второй фигуры (уголка) соответственно С₂ и оси х₂ у₂.

Площадь составного сечения: А = А₁+ А₂ =23, 4 + 28, 9 = 52, 3 см².

Рис. 9

В качестве вспомогательных осей выбираем оси х₁С₁у₁ швеллера (рис. 9). Относительно них статические моменты швеллера равны нулю. Статические моменты заданного сечения относительно осей х₁ и у₁ соответственно равны:

Координаты центра тяжести заданного составного сечения относительно вспомогательных осей х₁ и у₁:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒